平面解析几何知识点总结与典型例题解读.docx
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平面解析几何知识点总结与典型例题解读
平面解析几何知识点总结与典型例题解读
平面解析几何
1.直线的倾斜角与斜率:
直线的倾斜角:
在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线,如果把x轴绕着交点按逆时针
方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为叫做直线的倾斜角.倾斜角[0,180),90斜率不存在.直线的斜率:
k
y2y1x2x1
.(x1x2),ktan.
2.直线方程的五种形式:
点斜式:
yy1k(xx1)(直线l过点P1(x1,y1),且斜率为k).
注:
当直线斜率不存在时,不能用点斜式表示,此时方程为xx0.斜截式:
ykxb(b为直线l在y轴上的截距).两点式:
yy1y2y1
xx1x2x1
(y1y2,x1x2).
注:
①不能表示与x轴和y轴垂直的直线;
②方程形式为:
(x2x1)(yy1)(y2y1)(xx1)0时,方程可以表示任意直线.
截距式:
xayb
1.
注:
不能表示与x轴垂直的直线,也不能表示与y轴垂直的直线,特别是不能表示过原点的直线.
一般式:
AxByC0(其中A、B不同时为0).
一般式化为斜截式:
y
ABx
CB
AB
即,直线的斜率:
k.
注:
已知直线纵截距b,常设其方程为ykxb或x0.
已知直线横截距x0,常设其方程为xmyx0(直线斜率k存在时,m为k的倒数)或y0.已知直线过点(x0,y0),常设其方程为yk(xx0)y0或xx0.
解析几何中研究两条直线位置关系时,两条直线有可能重合;立体几何中两条直线一般不重合.3.直线在坐标轴上的截矩可正,可负,也可为0.
直线在两坐标轴上的截距相等....直线的斜率为1或直线过原点.
直线两截距互为相反数.......直线的斜率为1或直线过原点.直线两截距绝对值相等.......直线的斜率为1或直线过原点.4.两条直线的平行和垂直:
若l1:
yk1xb1,l2:
yk2xb2
①l1//l2k1k2,b1b2;②l1l2k1k21.若l1:
A1xB1yC10,l2:
A2xB2yC20,有
①l1//l2A1B2A2B1且A1C2A2C1.②l1l2A1A2B1B20.
5.平面两点距离公式:
(P1(x1,y1)、P2(x2,y2)),P1P2
(x1x2)(y1y2).x轴上两点间距离:
ABxBxA.
2
2
x1x2x02
线段P1P2的中点是M(x0,y0),则.
yy2y1
02
6.点到直线的距离公式:
点P(x0,y0)到直线l:
AxByC0的距离:
d
7.两平行直线间的距离:
两条平行直线l1:
AxByC10,l2:
AxByC20距离:
d
C1C2AB
2
2
Ax0By0C
AB
2
2
8.直线系方程:
平行直线系方程:
①直线ykxb中当斜率k一定而b变动时,表示平行直线系方程..
②与直线l:
AxByC0平行的直线可表示为AxByC10.
③过点P(x0,y0)与直线l:
AxByC0平行的直线可表示为:
A(xx0)B(yy0)0.垂直直线系方程:
①与直线l:
AxByC0垂直的直线可表示为BxAyC10.
②过点P(x0,y0)与直线l:
AxByC0垂直的直线可表示为:
B(xx0)A(yy0)0.定点直线系方程:
①经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为yy0k(xx0)(除直线xx0),其中k是待定的系数.
②经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为A(xx0)B(yy0)0,其中A,B是待定的系数.共点直线系方程:
经过两直线l1:
A1xB1yC10,l2:
A2xB2yC20交点的直线系方
程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(除l2),其中λ是待定的系数.
9.曲线C1:
f(x,y)0与C2:
g(x,y)0的交点坐标方程组10.圆的方程:
222
圆的标准方程:
(xa)(yb)r.
圆的一般方程:
xyDxEyF0(DE4F0).圆的直径式方程:
若A(x1,y1),B(x2,y2),以线段AB为直径的圆的方程是:
(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.注:
(1)在圆的一般方程中,圆心坐标和半径分别是(
D2,E2),r
12
D
2
f(x,y)0
的解.
g(x,y)0
2222
E
2
4F.
一般方程的特点:
2222
①x和y的系数相同且不为零;②没有xy项;③DE4F0二元二次方程AxBxyCy
2
2
DxEyF0表示圆的等价条件是:
2
2
①AC0;②B0;③DE4AF0.
11.圆的弦长的求法:
几何法:
当直线和圆相交时,设弦长为l,弦心距为d,半径为r。
则:
“半弦长2+弦心距2=半径2”——2d2r2;
2l
代数法:
设l的斜率为k,l与圆交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则
|AB|
k
2
|xAxB|
1k
2
|yAyB|
12.点与圆的位置关系:
点P(x0,y0)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系有三种
①P在在圆外dr(x0a)2(y0b)2r2.②P在在圆内dr(x0a)2(y0b)2r2.
③P在在圆上dr(x0a)2(y0b)2r2.【P
到圆心距离d13.直线与圆的位置关系:
直线AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系有三种(d
AaBbC
2
2】
):
AB
圆心到直线距离为d,由直线和圆联立方程组消去x后,所得一元二次方程的判别式为.
dr相离0;dr相切0;dr相交0.
14.两圆位置关系:
设两圆圆心分别为O1,O2,半径分别为r1,r2,O1O2d
dr1r2外离4条公切线;dr1r2内含无公切线
;
dr1r2外切3条公切线;dr1r2内切1条公切线;
r1r2dr1r2相交2条公切线.
15.圆系方程:
x2y2DxEyF0(D2E24F0)
过直线l:
AxByC0与圆C:
x2y2DxEyF0的交点的圆系方程:
xyDxEyF(AxByC)0,λ是待定的系数.
2
2
过圆C1:
x2y2D1xE1yF10与圆C2:
x2y2D2xE2yF20的交点的圆系方程:
xyD1xE1yF1(xyD2xE2yF2)0,λ是待定的系数.
2222
特别地,当1时,xyD1xE1yF1(xyD2xE2yF2)0就是
2222
(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0表示两圆的公共弦所在的直线方程,即过两圆交点的直线.
16.圆的切线方程:
2222
过圆xyr上的点P(x0,y0)的切线方程为:
x0xy0yr.
过圆(xa)2(yb)2r2上的点P(x0,y0)的切线方程为:
(xa)(x0a)(yb)(y0b)r2.当点P(x0,y0)在圆外时,可设切方程为yy0k(xx0),利用圆心到直线距离等于半径,即dr,求出k;或利用0,求出k.若求得k只有一值,则还有一条斜率不存在的直线xx0.
17.把两圆xyD1xE1yF10与xyD2xE2yF20方程相减
即得相交弦所在直线方程:
(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0.18.对称问题:
中心对称:
①点关于点对称:
点A(x1,y1)关于M(x0,y0)的对称点A(2x0x1,2y0y1).
②直线关于点对称:
法1:
在直线上取两点,利用中点公式求出两点关于已知点对称的两点坐标,由两点式求直线方程.法2:
求出一个对称点,在利用l1//l2由点斜式得出直线方程.轴对称:
①点关于直线对称:
点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数,点与对称点的中点在直线上.
2
2
2
2
kl1kAA·AA⊥l
点A、A关于直线l对称
AA中点在l上AA中点坐标满足
②直线关于直线对称:
l方程
.
法1:
若a,b相交,求出交点坐标,并在直线a上任取一点,求该点关于直线l的对称点.若a//l,则b//l,且a,b与l的距离相等.
法2:
求出a上两个点A,B关于l的对称点,在由两点式求出直线的方程.
点(a,b)关于x轴对称:
(a,-b)、关于y轴对称:
(-a,b)、关于原点对称:
(-a,-b)、
点(a,b)关于直线y=x对称:
(b,a)、关于y=-x对称:
(-b,-a)、
关于y=x+m对称:
(b-m、a+m)、关于y=-x+m对称:
(-b+m、-a+m).19.若A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则△ABC的重心G的坐标是
x1x2x3
3
yy2y31.
3
20.各种角的范围:
直线的倾斜角0180两条相交直线的夹角090两条异面线所成的角090
高中数学必修2解析几何知识点
一、直线与方程
直线的倾斜角
定义:
x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。
因此,倾斜角的取值范围是0°≤α<180°
直线的斜率
①定义:
倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k
当0,90时,k0;当90,180
②过两点的直线的斜率公式:
k时,k0;当90时,k不存在。
y2y1(x1x2)x2x1
注意下面四点:
(1)当x1x2时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°;
(2)k与P1、P2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
直线方程
①点斜式:
yy1k(xx1)直线斜率k,且过点x1,y1
注意:
当直线的斜率为0°时,k=0,直线的方程是y=y1。
当直线的斜率为90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x1,所以它的方程是x=x1。
②斜截式:
ykxb,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b
yy1xx1直线两点x1,y1,x2,y2y2y1x2x1
xy④截矩式:
1ab
其中直线l与x轴交于点(a,0),与y轴交于点(0,b),即l与x轴、y轴的截距分别为a,b。
③两点式:
⑤一般式:
AxByC0
1各式的适用范围○2特殊的方程如:
注意:
○
平行于x轴的直线:
yb;平行于y轴的直线:
xa;
直线系方程:
即具有某一共同性质的直线
平行直线系
平行于已知直线A0xB0yC00的直线系:
A0xB0yC0
过定点的直线系
斜率为k的直线系:
22yy0kxx0,直线过定点x0,y0;
过两条直线l1:
A1xB1yC10,l2:
A2xB2yC2
两直线平行与垂直
当l1:
yk1xb1,l2:
yk2xb2时,0的交点的直线系方程为,其中直线l2不在直线系中。
A1xB1yC1A2xB2yC20
l1//l2k1k2,b1b2;l1l2k1k21
注意:
利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。
两条直线的交点
l1:
A1xB1yC10l2:
A2xB2yC20相交
A1xB1yC10交点坐标即方程组的一组解。
A2xB2yC20
方程组无解l1//l2;方程组有无数解l1与l2重合
两点间距离公式:
设A(x1,y1)。
则|AB|
点到直线距离公式:
一点Px0,y0到直线l1:
AxByC0的距离d
两平行直线距离公式
在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解。
Ax0By0CAB22
二、圆的方程
1、圆的定义:
平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径。
2、圆的方程
标准方程xaybr2,圆心22a,b,半径为r;
22一般方程xyDxEyF01DE,半径为当DE4F0时,方程表示圆,此时圆心为rD2E24F,22222
当DE4F0时,表示一个点;当DE4F0时,方程不表示任何图形。
求圆方程的方法:
一般都采用待定系数法:
先设后求。
确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程,需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F;
另外要注意多利用圆的几何性质:
如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。
3、直线与圆的位置关系:
直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况,基本上由下列两种方法判断:
设直线l:
AxByC0,圆C:
xa2yb2r2,圆心Ca,b到l的距离为dAaBbC,则有d
A2B22222rl与C相离;drl与C相切;drl与C相交
22设直线l:
AxByC0,圆C:
xaybr2,先将方程联立消元,得到一个
一元二次方程之后,令其中的判别式为,则有
0l与C相离;0l与C相切;0l与C相交
2注:
如果圆心的位置在原点,可使用公式xx0yy0r去解直线与圆相切的问题,其中
x0,y0表示切点坐标,r表示半径。
(3)过圆上一点的切线方程:
2①圆x2+y2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为xx0yy0r(课本命题).
②圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2(课本命题的推广).
4、圆与圆的位置关系:
通过两圆半径的和,与圆心距之间的大小比较来确定。
22设圆C1:
xa12yb12r2,C2:
xa2yb2R2
两圆的位置关系常通过两圆半径的和,与圆心距之间的大小比较来确定。
当dRr时两圆外离,此时有公切线四条;
当dRr时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条;
当RrdRr时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线;
当dRr时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线;当dRr时,两圆内含;当d0时,为同心圆。
解析几何知识点
一、基本内容
直线的方程
1、直线的方程
确定直线方程需要有两个互相独立的条件,而其中一个必不可少的条件是直线必须经过一已知点.确定直线方程的形式很多,但必须注意各种形式的直线方程的适用范围.
2、两条直线的位置关系
两条直线的夹角,当两直线的斜率k1,k2都存在且k1·k2
≠
外注意到角公式与夹角公式的区别.
(2)判断两直线是否平行,或垂直时,若两直线的斜率都存在,可用斜率的关系来判断.但若直线斜率不存在,则必须用一般式的平行垂直条件来判断.
圆的方程
(1)圆的方程
1、掌握圆的标准方程及一般方程,并能熟练地相互转化,一般地说,具有三个条件(独立的)才能确定一个圆方程.在求圆方程时,若条件与圆心有关,则一般用标准型较易,若已知圆上三点,则用一般式方便,注意运用圆的几何性质,去简化运算,有时利用圆系方程也可使解题过程简化.
2、圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2;一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,圆心坐标(
为D2,E2),半径
。
3、在圆(x-a)2+(y-b)2=r2,若满足a2+b2=r2条件时,能使圆过原点;满足a=0,r>0条件时,能使圆心在y轴上;满足br时,能使圆与x
轴相切;满足r条件时,能使圆与x-y=0相切;
满足|a|=|b|=r条件时,圆与两坐标轴相切.
4、若圆以A(x1,y1)B(x2,y2)为直径,则利用圆周上任一点P(x,y),kPAkPB1求出圆方程(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0
(2)直线与圆的位置关系
①在解决的问题时,一定要联系圆的几何性质,利用有关图形的几何特征,尽可能简化运算,讨论直线与圆的位置关系时,一般不用△>0,△=0,△<0,而用圆心到直线距离d<r,d=r,d>r,分别确定相关交相切,相离的位置关系.涉及到圆的切线时,要考虑过切点与切线垂直的半径,计算交弦长时,要用半径、弦心距、半弦构成直角三角形,当然,不失一般性弦长式
(三)曲线与方程
(1)求曲线方程的五个步骤:
(1)建立适当的直角坐标系,用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;建标
(2)写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)};设点
(3)用坐标表示条件P(M),列出方程f(x,y)=0列式
(4)化方程f(x,y)=0为最简方程化简
(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是这条曲线上的点.
除个别情况外,化简过程都是同解变形过程,步骤(5)可以不写,也可以省略步骤
(2),直接列出曲线方程.
求曲线方程主要有四种方法:
(1)条件直译法:
如果点运动的规律就是一些几何量的等量关系,这些条件简单、明确,易于表达,我们可以把这些关系直译成含“x,y”(或ρ,θ)的等式,我们称此为“直译法”.
(2)代入法(或利用相关点法):
有时动点所满足的几何条件不易求出,但它随另一动点的运动而运动,称之为相关点.如果相关点满足的条件简明、明确,就可以用动点坐标把相关的点的坐标表示出来,再用条件直译法把相关点的轨迹表示出来,就得到原动点的轨迹.
(3)几何法:
利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质,发现动点运动规律.
(4)参数法:
有时很难直接找出动点的横纵坐标之间关系.如果借助中间参量(参数),使x,y之间的关系建立起联系,然后再从所求式子中消去参数,这便可得动点的轨迹方程.
圆锥曲线
椭圆
(1)椭圆的定义
平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做焦距.
这里应特别注意常数大于|F1F2|因为,当平面内的动点与定点F1,F2的距离之和等于|F1F2|时,其动点轨迹就是线段F1F2;当平面内的动点与定点F1,F2的距离之和小于|F1F2|时,其轨迹不存在.
椭圆的标准方程
之所以称它为标准方程,是因为它的形式最简单,这与利用对称性建立直角坐标系有关.同时,还应注意理解下列几点。
1)标准方程中的两个参数a和b,确定了椭圆的形状和大小,是椭圆的定形条件.
2)焦点F1,F2的位置,是椭圆的定位条件,它决定椭圆标准方程的类型.也就是说,知道了焦点位置,其标准方程只有一种形式,不知道焦点位置,其标准方程具有两种类型.
3)任何一个椭圆,只需选择适当的坐标系,其方程均可以写成标准形式,当且仅当椭圆的中心在原点,其焦点在坐标轴上时,椭圆的方程才具有标准形式.
1)范围:
焦点在x轴时,椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形里.
2)对称性:
椭圆关于x轴,y轴和原点都是对称的,这时坐标轴为椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心.椭圆的对称中心叫做椭圆中心.
3)顶点:
椭圆与对称轴的交点为椭圆的顶点A1(-a,0)A2(a,0)B1(0,b)B2(0,-b)线段A1A2,B1B2分别叫做椭圆的长轴,短轴,长分别为2a,2b.
<1.e越接近于1,则椭圆越扁,反之,e越接近于0,椭圆越接近于圆.
5)焦半径:
椭圆上任一点到焦点的距离为焦半径.
如图所示,当焦点在x轴上时,任一点到左焦点的焦半径为r1=a+ex0.
6)|A1F1|=a-c|A1F1|=a+c
7)椭圆的第二定义:
平面内的点到定点的距离和它到定直线的距离的比为常数e(e<1=的点的轨迹.
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