最新人教版高中数学必修3第一章《算法的三种基本逻辑结构和框图表示》示范教案.docx
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最新人教版高中数学必修3第一章《算法的三种基本逻辑结构和框图表示》示范教案
示范教案
教学分析
教材分别列举实例介绍了三种基本逻辑结构.值得注意的是教学中要先让学生自己体会实例,采取循序渐进方式学习,毕竟学生接受起来还是需要一个过程的.
三维目标
1.了解三种基本逻辑结构,提高识图和用图的能力.
2.能够画出简单的程序框图,提高学生分析问题和解决问题的能力.
重点难点
教学重点:
了解三种基本逻辑结构和画程序框图.
教学难点:
循环结构的理解和应用.
课时安排
2课时
第1课时
导入新课
思路1(情境导入).我们以前听过这样一个故事,野兽与鸟发生了一场战争,蝙蝠来了,野兽们喊道:
你有牙齿是我们一伙的.鸟们喊道:
你有翅膀是我们一伙的.蝙蝠一时没了主意.过了一会儿蝙蝠有了一个好办法,如果野兽赢了,就加入野兽这一伙,否则加入另一伙,事实上蝙蝠用了分类讨论思想,在算法和程序框图中也经常用到这一思想方法,今天我们开始学习三种基本逻辑结构中的顺序结构和条件分支结构.
思路2(直接导入).我们写出的算法或画出的程序框图,一定要使大家一步步地看得清楚、明白,容易阅读.不然,写的算法乱无头绪,就很难让人阅读和理解.这就要求算法或程序框图有一个良好的结构.通过对各种各样的算法和框图进行分析和研究,证明只须用顺序结构、条件分支结构和循环结构就可表示任何一个算法.用这三种基本结构表述的算法和画出的框图,整齐美观,容易阅读和理解.下面我们分别介绍这三种基本逻辑结构,本节课先学前两种.
推进新课
讨论结果:
(1)顺序结构描述的是最简单的算法结构,语句与语句之间,框与框之间按从上到下的顺序进行,不能越步骤执行.
(2)顺序结构对应的框图,如下图所示.
(3)一些简单的算法可以用顺序结构来表示,但是这种结构无法描述要求进行逻辑判断,并根据判断结果进行不同处理的情况.因此,需要另一种逻辑结构来处理这类问题.这种结构叫做条件分支结构.它是依据指定条件选择执行不同指令的控制结构,又称为条件结构.
(4)条件分支结构的框图如下图所示.
执行过程如下:
若条件成立,则执行A框;若不成立,则执行B框.
思路1
例1已知点P0(x0,y0)和直线l:
Ax+By+C=0,求点P0到直线l的距离d.
分析:
利用点到直线距离公式写出算术步骤,再画出程序框图.只需顺序结构即可.
解:
(1)用数学语言来描述算法:
S1 输入点的坐标x0,y0,输入直线方程的系数A,B,C;
S2 计算z1=Ax0+By0+C;
S3 计算z2=A2+B2;
S4 计算d=
;
S5 输出d.
(2)用框图来描述算法,如下图所示.
点评:
解决此类问题要借助于其他方面知识.本题的解决过程中用到了点到直线的距离公式,弄清公式的结构特点,分步计算.
变式训练
如下图所示,是解决某个问题而绘制的程序框图,仔细分析处理框①~④内的内容及其之间的关系,回答下面的问题:
(1)处理框①中x=2的含义是什么?
(2)处理框②中y1=ax+b的含义是什么?
(3)处理框④中y2=ax+b的含义是什么?
(4)该程序框图解决的是怎样的一个问题?
(5)若最终输出的结果是y1=3,y2=-2.当x取5时输出的结果5a+b的值应该是多大?
解:
(1)处理框①中x=2表示把2赋给变量x.
(2)处理框②中y1=ax+b的含义:
该处理框在执行①的前提下,即当x=2时计算ax+b的值,并把这个值赋给y1.
(3)处理框④中y2=ax+b的含义:
该处理框在执行③的前提下,即当x=-3时计算ax+b的值,并把这个值赋给y2.
(4)该程序框图解决的是求函数f(x)=ax+b的函数值的问题.其中输入的是自变量x的值,输出的是x对应的函数值.
(5)y1=3,即2a+b=3.①
y2=-2,即-3a+b=-2.②
由①②,得a=1,b=1.∴f(x)=x+1.∴x取5时,5a+b=f(5)=5×1+1=6.
例2用数学语言和程序框图描述求一元二次方程ax2+bx+c=0的根的过程.
分析:
该方程的根的个数由Δ=b2-4ac的符号来确定,则需用条件分支结构.
解:
(1)用数学语言来描述算法:
S1 计算Δ=b2-4ac;
S2 如果Δ<0,则原方程无实数解;
否则(Δ≥0),
x1=
,x2=
;
S3 输出解x1,x2或无实数解信息.
(2)用程序框图来描述算法,如下图所示.
点评:
分类讨论思想是高中数学学习的重要思想方法,在画程序框图时,遇到需要分类讨论的问题时要用到条件分支结构.
变式训练
设计算法,判断一元二次方程ax2+bx+c=0是否有实数根,并画出相应的程序框图.
解:
算法步骤如下:
S1 输入3个系数:
a,b,c;
S2 计算Δ=b2-4ac;
S3 判断Δ≥0是否成立.若是,则输出方程有实数根;否则,输出方程无实数根.结束算法.
相应的程序框图如下:
3设火车托运重量为P(kg)行李时,每千米的费用(单位:
元)标准为
Y=
画出行李托运费用的程序框图.
分析:
由于对P的大小需要进行分类讨论,则使用条件分支结构画出它的程序框图.
解:
先输入托运的重量P和里程D,再分别用各自条件下的计算式子来进行计算处理,然后将结果与托运路程D相乘,最后输出托运行李的费用M.程序框图如下:
点评:
对于分段函数的求值问题,往往需要先对输入的x的值进行判断,根据其取值范围确定解析式,所以一般需要用条件分支结构进行算法设计.
变式训练
到银行办理个人异地汇款(不超过100万),银行要收取一定的手续费,汇款金额不超过100元,收取1元手续费;超过100元但不超过5000元,按汇款金额的1%收取手续费;超过5000元,一律收取50元手续费.试设计算法,描述当汇款额为x元时,银行应收取的手续费y元的过程,画出程序框图.
分析:
这是一个实际问题,依题意,其数学模型为y=
这显然是一个分段函数,要求y的值,应先判断x的范围,故可用条件分支结构描述算法.
解:
程序框图如下:
思路2
例已知一个三角形三条边的边长分别为a,b,c,利用海伦—秦九韶公式设计一个计算三角形面积的算法,并画出程序框图.(已知三角形三边边长分别为a,b,c,则三角形的面积为S=
,其中p=
.这个公式被称为海伦—秦九韶公式)
分析:
只需先算出p的值,再将它代入公式,最后输出结果.因此只用顺序结构应能表达出算法.
解:
算法步骤如下:
S1 输入三角形三条边的边长a,b,c;
S2 计算p=
;
S3 计算S=
;
S4 输出S.
程序框图如下:
点评:
很明显,顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的,它是最简单的逻辑结构,它是任何一个算法都离不开的基本结构.
变式训练
1.下面是一个算法的程序框图,已知a1=3,输出的b=7,求a2的值.
解:
根据题意
=7,∵a1=3,∴a2=11,即a2的值为11.
2.已知分段函数y=
编写程序,输入自变量x的值,输出其相应的函数值.
分析:
由于函数是一个分段函数,所以输入x的值后应根据x的值所在的范围,选择相应的解析式代入求出其函数值,故应用条件分支结构.
解:
程序框图如下图所示:
1.如下给出的是计算
+
+
+…+
的值的一个程序框图,其中处理框内应填入的是______.
答案:
S=S+
2.设计算法求过两点P1(3,5),P2(-1,2)的直线斜率,并画出程序框图.
解:
算法步骤如下:
S1 x1=3,y1=5,x2=-1,y2=2;
S2 K=
;
S3 输出K.
该算法表示的程序框图如下图所示:
3.设计算法,求ax+b=0的解,并画出程序框图.
分析:
对于方程ax+b=0来讲,应该分情况讨论方程的解.
我们要对一次项系数a和常数项b的取值情况进行分类,分类如下:
(1)当a≠0时,方程有唯一的实数解是-
;
(2)当a=0,b=0时,全体实数都是方程的解;
(3)当a=0,b≠0时,方程无解.
联想数学中的分类讨论的处理方式,可得如下算法步骤.
解:
算法步骤:
S1 判断a≠0是否成立.若成立,输出解为-
;
S2 判断a=0,b=0是否同时成立.若成立,输出解集为R;
S3 判断a=0,b≠0是否同时成立.若成立,输出方程无解.
程序框图如下图所示:
有一城市,市区为半径为15km的圆形区域,近郊区为距中心15~25km的范围内的环形地带,距中心25km以外的为远郊区,如下图所示.市区地价每公顷100万元,近郊区地价每公顷60万元,远郊区地价为每公顷20万元,输入某一点的坐标为(x,y),求该点的地价,并画出程序框图.
分析:
由该点坐标(x,y),求其与市中心的距离r=
,确定是市区、近郊区,还是远郊区,进而确定地价p.由题意知,p=
解:
程序框图如下:
1.理解顺序结构和条件分支结构的特点.
2.能用条件分支结构解决常见的算法问题.
本节练习B 3、4.
本节选用的例题难度适中,有的经典实用,有的新颖独特,每个例题都是很好的素材.条件分支结构是逻辑结构的核心,是培养学生逻辑推理的好素材,本节设计符合新课标精神,难度设计略高于教材.
备选习题
1.设计算法,尺规作图,确定线段AB的一个5等分点,并画出程序框图.
分析:
确定线段AB的一个5等分点,可在线段AB上确定一点M,使得AM=
AB.同学们都熟悉解决这个问题的方法:
第一,从A点出发作一条与原直线不重合的射线;
第二,任取射线上一点C,并在射线上作线段AD,使AD=5AC;
第三,连接DB,并过C点作BD的平行线交AB于M,M就是要找的一个5等分点.
这个过程需要一步一步来实现.
解:
算法如下:
S1 如下图,从已知线段的左端点A出发,作一条射线AP;
S2 在射线上任取一点C,得线段AC;
S3 在射线上作线段CE=AC;
S4 在射线上作线段EF=AC;
S5 在射线上作线段FG=AC;
S6 在射线上作线段GD=AC,那么线段AD=5AC;
S7 连接DB;
S8 过C作BD的平行线,交线段AB于M,这样点M就是线段AB的一个5等分点.
程序框图如下:
2.“特快专递”是目前人们经常使用的异地邮寄信函或托运物品的一种快捷方式.某快递公司规定甲、乙两地之间物品的托运费用根据下列方法计算:
f=
其中f(单位:
元)为托运费,ω为托运物品的重量(单位:
千克).
试画出计算费用f的程序框图.
分析:
这是一个实际问题,根据数学模型可知,求费用f的计算公式随物品重量ω的变化而有所不同,因此计算时先看物品的重量,在不同的条件下,执行不同的指令,这是条件分支结构的运用.其中,物品的重量通过输入的方式给出.
解:
程序框图如下:
第2课时 循环结构
导入新课
思路1(情境导入).我们都想生活在一个优美的环境中,希望看到的是碧水蓝天,大家知道工厂的污水是怎样处理的吗?
污水进入处理装置后进行第一次处理,如果达不到排放标准,则需要再进入处理装置进行处理,直到达到排放标准.污水处理装置是一个循环系统,对于处理需要反复操作的事情有很大的优势.我们数学中有很多问题需要反复操作,今天我们学习能够反复操作的逻辑结构——循环结构.
思路2(直接导入).前面我们学习了顺序结构,顺序结构像一条没有分支的河流,奔流到海不复回;还学习了条件分支结构,条件分支结构像有分支的河流最后归入大海.事实上,很多水系是循环往复的,今天我们学习循环往复的逻辑结构——循环结构.
推进新课
(1)在科学计算中,会遇到许多有规律的重复运算.例如:
人口预测.已经知道现有的人口总数是P,人口的年增长率是R,预测第T年后人口总数将是多少?
设计算法,写出算法步骤.
(2)当T=10时,乘(1+R)的运算重复多少次?
(3)阅读本节教材,如何设计程序框图求T年后人口总数?
(4)画出循环结构的程序框图.
讨论结果:
(1)算法步骤:
①第一年后的人口总数是P+P×R=P(1+R);
②第二年后的人口总数是P(1+R)+P(1+R)×R=P(1+R)2;
……
以此类推,得第T年后的人口总数是P(1+R)T.
(2)如果要计算第10年后的人口总数,乘(1+R)的运算要重复10次.
(3)如果一个计算过程,要重复一系列的计算步骤若干次,每次重复的计算步骤完全相同,则这种算法过程称为循环过程.循环过程非常适合计算机处理,因为计算机的运算速度非常快,执行成千上万次的重复计算,只不过是一瞬间的事,且能保证每次的结果都正确.由此引出算法的第三种结构:
根据指定条件决定是否重复执行一条或多条指令的控制结构称为循环结构.
通过以上的分析,预测人口的算法中包含循环结构,它可用下图中的程序框图来描述.
画出这张框图的关键,是要理解
“计算增量I=P×R”,“P=P+I”及“t=t+1”
这三个处理框的工作.每重复(循环)一次,I,P,t三个变量都发生变化,这三步要重复计算T次.它是如何工作的,大家一定要清楚.在计算增量这个处理框中,第一次算出的是第一年的人口增量,第二年人口计算的基数发生了变化,它已不是初始值P,它应是P+I,因此在下一个处理框中,用P+I代替P,这时输出的应是P+I,可输出框中仍写的是P,这可能使你有点糊涂,但只要你想到P是一个变化着的量也就容易理解了.开始是初始值,每年后都用新的人口值替代上一年的人口值,再送回“计算增量”的处理框,计算新的一年的人口增量.你不妨把“P=P+I”这个处理框看成一个储存数据的单元,新的数据进入就把旧的数据“赶走”.增长时间变量t的变化类似,每循环一次增长1,用它来对循环次数进行计数.
(4)循环结构的程序框图如下图所示:
其执行方式是:
首先判断条件P是否满足,当条件P不满足时,结束循环;当条件P满足时,执行步骤A,再判断条件P是否满足,…,依次执行下去.
思路1
已知n个正整数排成一行如下:
a1,a2,a3,…,an-1,an.
其中下脚码表示n个数的排列位置.这一行数满足条件:
a1=1,a2=1,an=an-2+an-1.(n≥3,n∈N)
画出计算第n项的程序框图.
分析:
表达式an=an-2+an-1的意义是表示在这个数序列中的第n个数,可由它前面的两个数计算出来,如果给出这个数序列的第一和第二个数,则这个数序列的所有项都可计算出来.即
由a1=1,a2=1,可求出
a3=a1+a2=1+1=2,
a4=a2+a3=1+2=3,
a5=a3+a4=2+3=5,
……
ak=ak-2+ak-1. (*)
解:
由(*)式,我们可看到,ak,ak-2,ak-1都是k的函数,数值随k而变,(*)式中的计算要反复进行,因此在框图中要引入三个变量,分别用C,A,B表示ak,ak-2,ak-1.框图中首先要输入正整数n(n≥3)及给A与B分别输入值1,1,然后循环计算.它的程序框图如下图所示.
点评:
在这张框图中,除引入变量A,B,C外,又引入了一个变量“k”,在进行循环操作前,用这个变量控制是否达到给定的正整数n.
设计算法解决重复做某个步骤时,通常用循环结构来解决.
变式训练
阅读如下图的程序框图,若输入m=4,n=3,则输出a=__________,i=__________.
解析:
该程序框图的运行过程是:
m=4;
n=3;
i=1;
a=4+1=5;
n=3整除a=5,否;
i=1+1=2;
a=4+2=6;
n=3整除a=6,是;
输出a=6,i=2.
答案:
6 2
思路2
执行如下图所示的程序框图,若p=0.8,则输出的n=________.
解析:
该程序框图的运行过程是:
p=0.8;
n=1;
S=0;
S=0
S=0+
=0.5;
n=1+1=2;
S=0.5
S=0.5+
=0.75;
n=2+1=3;
S=0.75
S=0.75+
=0.875;
n=3+1=4;
S=0.875
输出n=4.
答案:
4
点评:
判断程序框图的输出结果时,按流程线依次执行各步骤即可得结果.
变式训练
观察下面的程序框图,指出该算法的功能.
分析:
按流程线依次执行,观察每次循环后结果s发生的变化.
解:
这是一个累加求和问题,共99项相加,该算法是求
+
+
+…+
的值.
1.由相应的程序框图(如下图),补充完整一个计算1+2+3+…+100的值的算法.
S1 设i的值为________;
S2 设sum的值为________;
S3 如果i≤100执行第________步,否则,转去执行第________步;
S4 计算sum+i并将结果代替______;
S5 计算________并将结果代替i;
S6 转去执行第________步;
S7 输出________的值.
分析:
程序框图各图框的内容(语言和符号)要与算法步骤相对应,在程序框图中算法执行的顺序应按箭头方向进行.
解:
S1 设i的值为1;
S2 设sum的值为0;
S3 如果i≤100,执行第四步,否则,转去执行第7步;
S4 计算sum+i并将结果代替sum;
S5 计算i+1并将结果代替i;
S6 转去执行第3步;
S7 输出sum的值.
2.设计程序框图,求1+3+5+7+…+131的值.
分析:
由于需加的数较多,所以要引入循环结构来实现累加.观察所加的数是一组有规律的数(每相邻两数相差2),那么可考虑在循环过程中,设一个变量i,用i=i+2来实现这些有规律的数,设一个累加器sum,用来实现数的累加,在执行时,每循环一次,就产生一个需加的数,然后加到累加器sum中.
解:
算法如下:
S1 赋初值i=1,sum=0;
S2 sum=sum+i,i=i+2;
S3 如果i≤131,则反复执行第2步,否则,执行下一步;
S4 输出sum.
程序框图如下图.
高中某班一共有40名学生,设计算法程序框图,统计班级数学成绩良好(分数>80)和优秀(分数>90)的人数.
分析:
用循环结构实现40个成绩的输入,每循环一次就输入一个成绩s,然后对s的值进行判断.设两个计数器m,n,如果s>90,则m=m+1,如果80
解:
程序框图如下:
1.循环结构的特点及功能.
2.能用循环结构画出求和等实际问题的程序框图.
本节练习A 2、3.
本节的引入抓住了本节的特点,利用计算机进行循环往复运算,解决累加、累乘等问题.循环结构是逻辑结构中的难点,它一定包含一个条件分支结构,它能解决很多有趣的问题.本节选用了大量精彩的例题,对我们系统掌握程序框图有很大的帮助.
备选习题
1.设计一个用有理数幂逼近无理指数幂5
的算法,画出算法的程序框图.
解:
算法步骤:
S1 给定精确度d,令i=1;
S2 取出
的到小数点后第i位的不足近似值,记为a;取出
的到小数点后第i位的过剩近似值,记为b;
S3 计算m=5b-5a;
S4 若m≥d,则将i的值增加1,返回第二步;否则,执行下一步;
S5 得到5
的近似值为5a.
程序框图如下:
分析:
如果采用逐步计算的方法,利用顺序结构来实现,则非常麻烦,由于前后的运算需重复多次相同的运算,所以应采用循环结构,可用循环结构来实现其中的规律.观察原式中的变化的部分及不变项,找出总体的规律是4+
,要实现这个规律,需设初值x=4.
解:
程序框图如下:
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- 算法的三种基本逻辑结构和框图表示 新人 高中数学 必修 第一章 算法 基本 逻辑 结构 框图 表示 示范 教案