高中数学随机事件的概率专题自测试题Word文档格式.docx
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C.P(A)>
D.P(A)=
A
(1)频率:
在相同条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,nA为事件A出现的频数,事件A出现的频数为fn(A)=
;
(2)概率:
对于给定的随机事件A,由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A),因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A).
三、事件的关系及运算、概率的性质
1.(课本改编题)从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球,那么互斥而不对立的事件是( )
A.至少有一个红球与都是红球
B.至少有一个红球与都是白球
C.至少有一个红球与至少有一个白球
D.恰有一个红球与恰有二个红球
2.(2014·
广州月考)某射手在一次射击中,射中10环,9环,8环的概率分别是0.20,0.30,0.10,则此射手在一次射击中不够8环的概率为( )
A.0.40B.0.30
C.0.60D.0.90
3.甲、乙二人下棋,甲获胜的概率是0.3,甲不输的概率为0.8,则甲、乙二人下成和棋的概率为( )
A.0.6B.0.3
C.0.1D.0.5
4.给出下列三个命题:
①有一大批产品,已知次品率为10%,从中任取100件,必有10件是次品;
②做7次抛硬币的试验,结果3次出现正面,因此正面出现的概率是
③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.
其中错误的命题有________个.
1.D 2.A 3.D 4.3
◆以上题目主要考查了以下内容:
定义
符号表示
包含关系
如果事件A发生,则事件B一定发生,这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)
B⊇A(或A⊆B)
相等关系
若B⊇A且A⊇B
A=B
并事件(和事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生,称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B(或A+B)
交事件(积事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B也发生,则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B(或AB)
互斥事件
若A∩B为不可能事件,则称事件A与事件B互斥
A∩B=∅
对立事件
若A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件
A∩B=∅P(A∪B)=P(A)+P(B)=1
概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围:
0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率P(E)=1.
(3)不可能事件的概率P(F)=0.
(4)互斥事件概率的加法公式
①如果事件A与事件B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B).
②若事件B与事件A互为对立事件,则P(A)=1-P(B).
【指点迷津】
1.一个关系
两个事件对立则一定互斥,两个事件互斥未必对立.两事件对立是这两事件互斥的充分而不必要条件.
2.两种方法
求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法:
(1)直接法:
将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和,运用互斥事件的求和公式计算;
(2)间接法:
先求此事件的对立事件的概率,再用公式P(A)=1-P(A),即运用逆向思维(正难则反),特别是“至多”、“至少”型题目,用间接法就显得比较简便.
考向一 互斥事件与对立事件的判定
例题1 某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅,记事件A为“只订甲报纸”,事件B为“至少订一种报纸”,事件C为“至多订一种报纸”,事件D为“不订甲报纸”,事件E为“一种报纸也不订”,判断下列每对事件是不是互斥事件;
如果是,再判断它们是不是对立事件.
(1)A与C;
(2)B与E;
(3)B与C;
(4)C与E.
【审题视点】 根据互斥事件,对立事件的定义判定.
【典例精讲】
(1)由于事件C“至多订一种报纸”中有可能“只订甲报纸”,即事件A与事件C有可能同时发生,故A与C不是互斥事件.
(2)事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的,故B与E是互斥事件.由于事件B不发生可导致事件E一定发生,且事件E不发生会导致事件B一定发生,故B与E还是对立事件.
(3)事件B“至少订一种报纸”中有这些可能:
“只订甲报纸”、“只订乙报纸”、“订甲、乙两种报纸”,事件C“至多订一种报纸”中有这些可能:
“什么报纸也不订”、“只订甲报纸”、“只订乙报纸”,由于这两个事件可能同时发生,故B与C不是互斥事件.
(4)由(3)的分析,事件E“一种报纸也不订”只是事件C的一种可能,即事件C与事件E有可能同时发生,故C与E不是互斥事件.
【类题通法】 判断事件的关系,尤其是互斥事件和对立事件,在求概率时非常重要,对互斥事件要把握住不能同时发生,而对于对立事件除不能同时发生外,其并事件应为必然事件,这些也可类比集合进行理解.具体应用时,可把所有试验结果写出来,看所求事件包含哪几个试验结果,从而断定所给事件的关系.
变式训练
1.下列命题:
①将一枚硬币抛两次,设事件M:
“两次出现正面”,事件N:
“只有一次出现反面”,则事件M与N互为对立事件.②若事件A与B互为对立事件,则事件A与B为互斥事件.③若事件A与B为互斥事件,则事件A与B互为对立事件.④若事件A与B互为对立事件,则事件A∪B为必然事件.其中,真命题是( )
A.①②④ B.②④
C.③④D.①②
解析:
选B.对①,将一枚硬币抛两次,共出现{正,正},{正,反},{反,正},{反,反}四种结果,则事件M与N是互斥事件,但不是对立事件,故①错.对②,对立事件首先是互斥事件,故②正确.对③,互斥事件不一定是对立事件,如①中两个事件,故③错.对④,事件A、B为对立事件,则在一次试验中A、B一定有一个要发生,故④正确.
考向二 随机事件的概率与频率
例题2 (2012·
高考陕西卷)假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等,为了解他们的使用寿命,现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试,结果统计如下:
(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率;
(2)这两种品牌产品中,某个产品已使用了200小时,试估计该产品是甲品牌的概率.
【审题视点】 从频数分布图中,读出寿命小于200小时,或大于200小时的频数,用频率估计概率.
【典例精讲】
(1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为
=
,用频率估计概率,所以甲品牌产品寿命小于200小时的概率为
.
(2)根据抽样结果,寿命大于200小时的产品共有75+70=145(个),其中甲品牌产品是75个,所以在样本中,寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是
,用频率估计概率,所以已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为
【类题通法】 利用概率的统计定义求事件的概率是求一个事件概率的基本方法,通过大量的重复试验,事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数,就用事件发生的频率趋近的常数作为事件的概率.
2.某射击运动员在同一条件下进行练习,结果如下表所示:
射击次数n
10
20
50
100
200
500
击中10环次数m
8
19
44
93
178
453
击中10环频率
(1)计算表中击中10环的各个频率;
(2)这位射击运动员射击一次,击中10环的概率为多少?
(1)击中10环的频率依次为0.8,0.95,0.88,0.93,0.89,0.906.
(2)这位射击运动员射击一次,击中10环的概率约为0.9.
考向三 互斥事件、对立事件的概率
例题3 (2014·
青岛市模拟)2014年某省实施通过竞选选拔高校校长,省委组织部拟选拔4位校长,相关单位通过组织提名、领导干部个人提名、群众联合提名、自荐提名四种方式,确定初步人选为4位男竞选者和2位女竞选者,每位竞选者当选校长的机会是相同的.
(1)求选拔的4位校长中恰有1位女竞选者的概率;
(2)求选拔的4位校长中至少有3位男竞选者的概率.
【审题视点】 从6位竞选者选4位,总结果一一列举找出符合题意的情况,至少3个男的包括4男和3男1女两类是互斥事件.
【典例精讲】
(1)将4位男竞选者和2位女竞选者分别编号为1,2,3,4,5,6(其中1,2,3,4是男竞选者,5,6是女竞选者),从6位竞选者中选拔4位的情况有(1,2,3,4),(1,2,3,5),(1,2,3,6),(1,2,4,5),(1,2,4,6),(1,2,5,6),(1,3,4,5),(1,3,4,6),(1,3,5,6),(1,4,5,6),(2,3,4,5),(2,3,4,6),(2,3,5,6),(2,4,5,6),(3,4,5,6),共15种.
选拔的4位校长中恰有1位女竞选者的情况有(1,2,3,5),(1,2,4,5),(1,3,4,5),(1,2,3,6),(1,2,4,6),(1,3,4,6),(2,3,4,5),(2,3,4,6),共8种.
故选拔的4位校长中恰有1位女竞选者的概率为
(2)选拔的4位校长中至少有3位男竞选者包括3位男竞选者、1位女竞选者,4位男竞选者两种情况,
选拔的4位校长都是男竞选者的情况只有(1,2,3,4),则其概率为
,
由
(1)知选拔的4位校长中恰有1位女竞选者的概率为
故选拔的4位校长中至少有3位男竞选者的概率P=
+
【类题通法】 求概率的关键是分清所求事件是由哪些事件组成的,求解时通常有两种方法:
(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件,利用概率加法公式求解概率;
(2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时,需要分类太多,而其对立面的分类较少,可考虑利用对立事件的概率公式,即“正难则反”.
3.袋中有12个除颜色外其余均相同的小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,得到红球的概率为
,得到黑球或黄球的概率是
,得到黄球或绿球的概率是
,试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少?
分别记得到红球、黑球、黄球、绿球为事件A,B,C,D.
由于A,B,C,D为互斥事件,
根据已知得到
解得
∴得到黑球、黄球、绿球的概率分别为
互斥与对立相混致误
典型例题 (2014·
郑州毕业质检)甲、乙两人下棋,和棋的概率为
,乙获胜的概率为
,则下列说法正确的是( )
A.甲获胜的概率是
B.甲不输的概率是
C.乙输了的概率是
D.乙不输的概率是
【正解】 “甲获胜”是“和棋或乙胜”的对立事件,所以“甲获胜”的概率是P=1-
-
设事件A为“甲不输”,则A是“甲胜”、“和棋”这两个互斥事件的并事件,所以P(A)=
乙输了即甲胜了,所以乙输了的概率为
乙不输的概率为1-
【答案】 A
【易错点】 没有分析透整个事件的分类应有三种:
甲胜、和棋、乙胜,彼此互斥,乙获胜的对立事件是“乙不胜”,但不等于“乙输”,错选为C的较多.
【警示】 对立事件和互斥事件都不可能同时发生,但对立事件必有一个要发生,而互斥事件可能都不发生.所以两个事件对立,则两个事件必是互斥事件;
反之,两事件是互斥事件,但未必是对立事件.
真题体验
1.(2013·
高考江西卷)集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B中各任意取一个数,则这两数之和等于4的概率是( )
A.
B.
C.
D.
选C.从A、B中各取一个数有(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共6种情况,其中和为4的有(2,2),(3,1),共2种情况,所以所求概率P=
,选C.
2.(2012·
高考湖北卷)容量为20的样本数据,分组后的频数如下表:
分组
[10,20)
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70)
频数
2
3
4
5
则样本数据落在区间[10,40)的频率为( )
A.0.35B.0.45
C.0.55D.0.65
选B.数据落在[10,40)的频率为
=0.45,故选B.
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