巴特沃斯滤波器c语言.docx
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巴特沃斯滤波器c语言
1.模拟滤波器的设计
1.1巴特沃斯滤波器的次数
根据给定的参数设计模拟滤波器,然后进行变数变换,求取数字滤波器的方法,称为滤波器的间接设计。
做为数字滤波器的设计基础的模拟滤波器,称之为原型滤波器。
这里,我们首先介绍的是最简单最基础的原型滤波器,巴特沃斯低通滤波器。
由于IIR滤波器不具有线性相位特性,因此不必考虑相位特性,直接考虑其振幅特性。
在这里,N是滤波器的次数,Ωc是截止频率。
从上式的振幅特性可以看出,这个是单调递减的函数,其振幅特性是不存在纹波的。
设计的时候,一般需要先计算跟所需要设计参数相符合的次数N。
首先,就需要先由阻带频率,计算出阻带衰减
将巴特沃斯低通滤波器的振幅特性,直接带入上式,则有
最后,可以解得次数N为
当然,这里的N只能为正数,因此,若结果为小数,则舍弃小数,向上取整。
1.2巴特沃斯滤波器的传递函数
巴特沃斯低通滤波器的传递函数,可由其振幅特性的分母多项式求得。
其分母多项式
根据S解开,可以得到极点。
这里,为了方便处理,我们分为两种情况去解这个方程。
当N为偶数的时候,
这里,使用了欧拉公式
。
同样的,当N为奇数的时候,
同样的,这里也使用了欧拉公式。
归纳以上,极点的解为
上式所求得的极点,是在s平面内,在半径为Ωc的圆上等间距的点,其数量为2N个。
为了使得其IIR滤波器稳定,那么,只能选取极点在S平面左半平面的点。
选定了稳定的极点之后,其模拟滤波器的传递函数就可由下式求得。
1.3巴特沃斯滤波器的实现(C语言)
首先,是次数的计算。
次数的计算,我们可以由下式求得。
其对应的C语言程序为
[cpp] viewplaincopy
1.N = Ceil(0.5*( log10 ( pow (10, Stopband_attenuation/10) - 1) /
2. log10 (Stopband/Cotoff) ));
然后是极点的选择,这里由于涉与到复数的操作,我们就声明一个复数结构体就可以了。
最重要的是,极点的计算含有自然指数函数,这点对于计算机来讲,不是太方便,所以,我们将其替换为三角函数,
这样的话,实部与虚部就还可以分开来计算。
其代码实现为
[cpp] viewplaincopy
1.typedef struct
2.{
3. double Real_part;
4. double Imag_Part;
5.} COMPLEX;
6.
7.
8.COMPLEX poles[N];
9.
10.for(k = 0;k <= ((2*N)-1) ; k++)
11.{
12. if(Cotoff*cos((k+dk)*(pi/N)) < 0)
13. {
14. poles[count].Real_part = -Cotoff*cos((k+dk)*(pi/N));
15. poles[count].Imag_Part= -Cotoff*sin((k+dk)*(pi/N));
16. count++;
17. if (count == N) break;
18. }
19.}
计算出稳定的极点之后,就可以进行传递函数的计算了。
传递的函数的计算,就像下式一样
这里,为了得到模拟滤波器的系数,需要将分母乘开。
很显然,这里的极点不一定是整数,或者来说,这里的乘开需要做复数运算。
其复数的乘法代码如下,
[cpp] viewplaincopy
1.int Complex_Multiple(COMPLEX a,COMPLEX b,
2. double *Res_Real,double *Res_Imag)
3.
4.{
5. *(Res_Real) = (a.Real_part)*(b.Real_part) - (a.Imag_Part)*(b.Imag_Part);
6. *(Res_Imag)= (a.Imag_Part)*(b.Real_part) + (a.Real_part)*(b.Imag_Part);
7. return (int)1;
8.}
有了乘法代码之后,我们现在简单的情况下,看看其如何计算其滤波器系数。
我们做如下假设
这个时候,其传递函数为
将其乘开,其大致的关系就像下图所示一样。
计算的关系一目了然,这样的话,实现就简单多了。
高阶的情况下也一样,重复这种计算就可以了。
其代码为
[cpp] viewplaincopy
1. Res[0].Real_part = poles[0].Real_part;
2. Res[0].Imag_Part= poles[0].Imag_Part;
3. Res[1].Real_part = 1;
4. Res[1].Imag_Part= 0;
5.
6.for(count_1 = 0;count_1 < N-1;count_1++)
7.{
8. for(count = 0;count <= count_1 + 2;count++)
9. {
10. if(0 == count)
11. {
12. Complex_Multiple(Res[count], poles[count_1+1],
13. &(Res_Save[count].Real_part),
14. &(Res_Save[count].Imag_Part));
15. }
16. else if((count_1 + 2) == count)
17. {
18. Res_Save[count].Real_part += Res[count - 1].Real_part;
19. Res_Save[count].Imag_Part += Res[count - 1].Imag_Part;
20. }
21. else
22. {
23. Complex_Multiple(Res[count], poles[count_1+1],
24. &(Res_Save[count].Real_part),
25. &(Res_Save[count].Imag_Part));
26.1 Res_Save[count].Real_part += Res[count - 1].Real_part;
27. Res_Save[count].Imag_Part += Res[count - 1].Imag_Part;
28. }
29. }
30. *(b+N) = *(a+N);
到此,我们就可以得到一个模拟滤波器巴特沃斯低通滤波器了。
2.双1次z变换
2.1双1次z变换的原理
我们为了将模拟滤波器转换为数字滤波器的,可以用的方法很多。
这里着重说说双1次z变换。
我们希望通过双1次z变换,建立一个s平面到z平面的映射关系,将模拟滤波器转换为数字滤波器。
和之前的例子一样,我们假设有如下模拟滤波器的传递函数。
将其做拉普拉斯逆变换,可得到其时间域内的连续微分方程式,
其中,x(t)表示输入,y(t)表示输出。
然后我们需要将其离散化,假设其采样周期是T,用差分方程去近似的替代微分方程,可以得到下面结果
然后使用z变换,再将其化简。
可得到如下结果
从而,我们可以得到了s平面到z平面的映射关系,即
由于所有的高阶系统都可以视为一阶系统的并联,所以,这个映射关系在高阶系统中,也是成立的。
然后,将关系式
带入上式,可得
到这里,我们可以就可以得到Ω与ω的对应关系了。
这里的Ω与ω的对应关系很重要。
我们最终的目的设计的是数字滤波器,所以,设计时候给的参数必定是数字滤波器的指标。
而我们通过间接设计设计IIR滤波器时候,首先是要设计模拟滤波器,再通过变换,得到数字滤波器。
那么,我们首先需要做的,就是将数字滤波器的指标,转换为模拟滤波器的指标,基于这个指标去设计模拟滤波器。
另外,这里的采样时间T的取值很随意,为了方便计算,一般取1s就可以。
2.2双1次z变换的实现(C语言)
我们设计好的巴特沃斯低通滤波器的传递函数如下所示。
我们将其进行双1次z变换,我们可以得到如下式子
可以看出,我们还是需要将式子乘开,进行合并同类项,这个跟之前说的算法相差不大。
其代码为。
[cpp] viewplaincopy
1.for(Count = 0;Count<=N;Count++)
2. {
3. for(Count_Z = 0;Count_Z <= N;Count_Z++)
4. {
5. Res[Count_Z] = 0;
6. Res_Save[Count_Z] = 0;
7. }
8. Res_Save [0] = 1;
9. for(Count_1 = 0; Count_1 < N-Count;Count_1++)
10. {
11. for(Count_2 = 0; Count_2 <= Count_1+1;Count_2++)
12. {
13. if(Count_2 == 0) Res[Count_2] += Res_Save[Count_2];
14. else if((Count_2 == (Count_1+1))&&(Count_1 !
= 0))
15. Res[Count_2] += -Res_Save[Count_2 - 1];
16. else Res[Count_2] += Res_Save[Count_2] - Res_Save[Count_2 - 1];
17. for(Count_Z = 0;Count_Z<= N;Count_Z++)
18. {
19. Res_Save[Count_Z] = Res[Count_Z] ;
20. Res[Count_Z] = 0;
21. }
22. }
23. for(Count_1 = (N-Count); Count_1 < N;Count_1++)
24. {
25. for(Count_2 = 0; Count_2 <= Count_1+1;Count_2++)
26. {
27. if(Count_2 == 0) Res[Count_2] += Res_Save[Count_2];
28. else if((Count_2 == (Count_1+1))&&(Count_1 !
= 0))
29. Res[Count_2] += Res_Save[Count_2 - 1];
30. else
31. Res[Count_2] += Res_Save[Count_2] + Res_Save[Count_2 - 1];
32. }
33. for(Count_Z = 0;Count_Z<= N;Count_Z++)
34. {
35. Res_Save[Count_Z] = Res[Count_Z] ;
36. Res[Count_Z] = 0;
37. }
38. }
39. for(Count_Z = 0;Count_Z<= N;Count_Z++)
40. {
41. *(az+Count_Z) += pow(2,N-Count) * (*(as+Count)) *
42. Res_Save[Count_Z];
43. *(bz+Count_Z) += (*(bs+Count)) * Res_Save[Count_Z];
44. }
45. }
到此,我们就已经实现了一个数字滤波器。
3.IIR滤波器的间接设计代码(C语言)
[cpp] viewplaincopy
1.#include
2.#include
3.#include
4.#include
5.
6.
7.#define pi ((double)3.1415926)
8.
9.
10.struct DESIGN_SPECIFICATION
11.{
12. double Cotoff;
13. double Stopband;
14. double Stopband_attenuation;
15.};
16.
17.typedef struct
18.{
19. double Real_part;
20. double Imag_Part;
21.} COMPLEX;
22.
23.
24.
25.int Ceil(double input)
26.{
27. if(input !
= (int)input) return ((int)input) +1;
28. else return ((int)input);
29.}
30.
31.
32.int Complex_Multiple(COMPLEX a,COMPLEX b
33. ,double *Res_Real,double *Res_Imag)
34.
35.{
36. *(Res_Real) = (a.Real_part)*(b.Real_part) - (a.Imag_Part)*(b.Imag_Part);
37. *(Res_Imag)= (a.Imag_Part)*(b.Real_part) + (a.Real_part)*(b.Imag_Part);
38. return (int)1;
39.}
40.
41.
42.int Buttord(double Cotoff,
43. double Stopband,
44. double Stopband_attenuation)
45.{
46. int N;
47.
48. printf("Wc = %lf [rad/sec] \n" ,Cotoff);
49. printf("Ws = %lf [rad/sec] \n" ,Stopband);
50. printf("As = %lf [dB] \n" ,Stopband_attenuation);
51. printf("--------------------------------------------------------\n" );
52.
53. N = Ceil(0.5*( log10 ( pow (10, Stopband_attenuation/10) - 1) /
54. log10 (Stopband/Cotoff) ));
55.
56.
57. return (int)N;
58.}
59.
60.
61.int Butter(int N, double Cotoff,
62. double *a,
63. double *b)
64.{
65. double dk = 0;
66. int k = 0;
67. int count = 0,count_1 = 0;
68. COMPLEX poles[N];
69. COMPLEX Res[N+1],Res_Save[N+1];
70.
71. if((N%2) == 0) dk = 0.5;
72. else dk = 0;
73.
74. for(k = 0;k <= ((2*N)-1) ; k++)
75. {
76. if(Cotoff*cos((k+dk)*(pi/N)) < 0)
77. {
78. poles[count].Real_part = -Cotoff*cos((k+dk)*(pi/N));
79. poles[count].Imag_Part= -Cotoff*sin((k+dk)*(pi/N));
80. count++;
81. if (count == N) break;
82. }
83. }
84.
85. printf("Pk = \n" );
86. for(count = 0;count < N ;count++)
87. {
88. printf("(%lf) + (%lf i) \n" ,-poles[count].Real_part
89. ,-poles[count].Imag_Part);
90. }
91. printf("--------------------------------------------------------\n" );
92.
93. Res[0].Real_part = poles[0].Real_part;
94. Res[0].Imag_Part= poles[0].Imag_Part;
95.
96. Res[1].Real_part = 1;
97. Res[1].Imag_Part= 0;
98.
99. for(count_1 = 0;count_1 < N-1;count_1++)
100. {
101. for(count = 0;count <= count_1 + 2;count++)
102. {
103. if(0 == count)
104. {
105. Complex_Multiple(Res[count], poles[count_1+1],
106. &(Res_Save[count].Real_part),
107. &(Res_Save[count].Imag_Part));
108. //printf( "Res_Save :
(%lf) + (%lf i) \n" ,Res_Save[0].Real_part,Res_Save[0].Imag_Part);
109. }
110.
111. else if((count_1 + 2) == count)
112. {
113. Res_Save[count].Real_part += Res[count - 1].Real_part;
114. Res_Save[count].Imag_Part += Res[count - 1].Imag_Part;
115. }
116. else
117. {
118. Complex_Multiple(Res[count], poles[count_1+1],
119.
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