高考数学理科一轮复习正弦定理和余弦定理学案有答案.docx
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高考数学理科一轮复习正弦定理和余弦定理学案有答案
高考数学理科一轮复习正弦定理和余弦定理学案(有答案)
第五章 解三角形与平面向量
学案23 正弦定理和余弦定理
导学目标:
1.利用正弦定理、余弦定理进行边角转化,进而进行恒等变换解决问题.2.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.
自主梳理
1.三角形的有关性质
(1)在△ABC中,A+B+C=________;
(2)a+b____c,a-b (3)a>b⇔sinA____sinB⇔A____B; (4)三角形面积公式: S△ABC=12ah=12absinC=12acsinB=_________________; (5)在三角形中有: sin2A=sin2B⇔A=B或________________⇔三角形为等腰或直角三角形; sin(A+B)=sinC,sinA+B2=cosC2. 2.正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ________________ =2R a2=____________, b2=____________, c2=____________. 变形 形式 ①a=__________, b=__________, c=__________; ②sinA=________, sinB=________, sinC=________; ③a∶b∶c=__________; ④a+b+csinA+sinB+sinC=asinA cosA=________________; cosB=________________; cosC=_______________. 解决 的问题 ①已知两角和任一边,求另一角和其他两条边. ②已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他两角. ①已知三边,求各角; ②已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角. 自我检测 1.(2010•上海)若△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC=5∶11∶13,则△ABC( ) A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形 2.(2010•天津)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2-b2=3bc,sinC=23sinB,则A等于 ( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 3.(2011•烟台模拟)在△ABC中,A=60°,b=1,△ABC的面积为3,则边a的值为( ) A.27 B.21 C.13 D.3 4.(2010•山东)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=2,b=2, sinB+cosB=2,则角A的大小为________. 5.(2010•北京)在△ABC中,若b=1,c=3,C=2π3,则a=________. 探究点一 正弦定理的应用 例1 (1)在△ABC中,a=3,b=2,B=45°,求角A、C和边c; (2)在△ABC中,a=8,B=60°,C=75°,求边b和c. 变式迁移1 (1)在△ABC中,若tanA=13,C=150°,BC=1,则AB=________; (2)在△ABC中,若a=50,b=256,A=45°,则B=________. 探究点二 余弦定理的应用 例2 (2011•咸宁月考)已知a、b、c分别是△ABC中角A、B、C的对边,且a2+c2-b2=ac. (1)求角B的大小; (2)若c=3a,求tanA的值. 变式迁移2 在△ABC中,a、b、c分别为A、B、C的对边,B=2π3,b=13,a+c=4,求a. 探究点三 正、余弦定理的综合应用 例3 在△ABC中,a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边,如果(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),试判断该三角形的形状. 变式迁移3 (2010•天津)在△ABC中,ACAB=cosBcosC. (1)证明: B=C; (2)若cosA=-13,求sin4B+π3的值. 1.解斜三角形可以看成是三角变换的延续和应用,用到三角变换的基本方法,同时它是对正、余弦定理,三角形面积公式等的综合应用. 2.在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角,求另一边的对角,进而求出其他的边和角时,有可能出现一解、两解或无解的情况,应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况,作出正确取舍. 3.在解三角形中的三角变换问题时,要注意两点: 一是要用到三角形的内角和及正、余弦定理,二是要用到三角变换、三角恒等变形的原则和方法.“化繁为简”“化异为同”是解此类问题的突破口. (满分: 75分) 一、选择题(每小题5分,共25分) 1.(2010•湖北)在△ABC中,a=15,b=10,A=60°,则cosB等于 ( ) A.-223 B.223 C.-63 D.63 2.在△ABC中AB=3,AC=2,BC=,则AB→AC→等于 ( ) A.-32 B.-23 C.23 D.32 3.在△ABC中,sin2A2=c-b2c(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则△ABC的形状为( ) A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形 4.(2011•聊城模拟)在△ABC中,若A=60°,BC=43,AC=42,则角B的大小为( ) A.30° B.45° C.135° D.45°或135° 5.(2010•湖南)在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若C=120°, c=2a,则 ( ) A.a>b B.a C.a=b D.a与b的大小关系不能确定 题号 1 2 3 4 5 答案 二、填空题(每小题4分,共12分) 6.在△ABC中,B=60°,b2=ac,则△ABC的形状为________________. 7.(2010•广东)已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边,若a=1,b=3,A+C=2B,则sinC=________. 8.(2011•龙岩模拟)在锐角△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,且BD∶DC∶AD=2∶3∶6,则∠BAC的大小为________. 三、解答题(共38分) 9.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足,AB→AC→=3. (1)求△ABC的面积; (2)若b+c=6,求a的值. 10.(12分)(2010•陕西)在△ABC中,已知B=45°,D是BC边上的一点,AD=10,AC=14,DC=6,求AB的长. 11.(14分)(2010•重庆)设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,且3b2+3c2-3a2=42bc. (1)求sinA的值; (2)求2sinA+π4sinB+C+π41-cos2A的值. 答案 自主梳理 1. (1)π (2)> (3)> > (4)12bcsinA (5)A+B=π2 2.asinA=bsinB=csinC b2+c2-2bccosA a2+c2-2accosB a2+b2-2abcosC ①2RsinA 2RsinB 2RsinC ②a2R b2R c2R ③sinA∶sinB∶sinC b2+c2-a22bc a2+c2-b22ac a2+b2-c22ab 自我检测 1.C 2.A 3.C 4.π6 5.1 课堂活动区 例1 解题导引 已知三角形的两边和其中一边的对角,可利用正弦定理求其他的角和边,但要注意对解的情况进行判断,这类问题往往有一解、两解、无解三种情况.具体判断方法如下: 在△ABC中.已知a、b和A,求B.若A为锐角,①当a≥b时,有一解;②当a=bsinA时,有一解;③当bsinAb时,有一解;②当a≤b时,无解. 解 (1)由正弦定理asinA=bsinB得,sinA=32. ∵a>b,∴A>B,∴A=60°或A=120°. 当A=60°时,C=180°-45°-60°=75°, c=bsinCsinB=6+22; 当A=120°时,C=180°-45°-120°=15°, c=bsinCsinB=6-22. 综上,A=60°,C=75°,c=6+22, 或A=120°,C=15°,c=6-22. (2)∵B=60°,C=75°,∴A=45°. 由正弦定理asinA=bsinB=csinC, 得b=a•sinBsinA=46,c=a•sinCsinA=43+4. ∴b=46,c=43+4. 变式迁移1 (1)102 (2)60°或120° 解析 (1)∵在△ABC中,tanA=13,C=150°, ∴A为锐角,∴sinA=110. 又∵BC=1. ∴根据正弦定理得AB=BC•sinCsinA=102. (2)由b>a,得B>A,由asinA=bsinB, 得sinB=bsinAa=25650×22=32, ∵0° ∴B=60°或B=120°. 例2 解 (1)∵a2+c2-b2=ac, ∴cosB=a2+c2-b22ac=12. ∵0 (2)方法一 将c=3a代入a2+c2-b2=ac,得b=7a. 由余弦定理,得cosA=b2+c2-a22bc=5714.
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