高中数学题库一元二次不等式.docx
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高中数学题库一元二次不等式.docx
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高中数学题库一元二次不等式
2019高中数学题库一元二次不等式
求使不等式ax2+4x-1≥-2x2-a对任意实数x恒成立的a的取值范围。
答案:
由不等式得(a+2)x2+4x+a-1≥0.①①对任意x∈R成立。
ⅰ)当a=-2时,①化为4x≥3,当x
3
时不成立。
4
ⅱ)当a
ⅲ)当a>-2时,△=4×[4-(a+2)(a-1)]≤0,即a2+a+2≥4,得a≥2,或a≤-3,综上所述,a≥2。
来源:
08年数学竞赛专题二
⎧x2-x+a-a2
题型:
解答题,难度:
中档已知不等式组⎨①②的整数解恰
⎩x+2a>1
好有两个,求a的取值范围。
答案:
因为方程x2-x+a-a2=0的两根为x1=a,x2=1-a,
若a≤0,则x11-2a.因为1-2a≥1-a,所以a≤0,所以不等式组无解。
若a>0,ⅰ)当0
1
时,x1
因为0
1
时,a=1-a,①无解。
21
ⅲ)当a>时,a>1-a,由②得x>1-2a,
2
ⅱ)当a=
所以不等式组的解集为1-a
所以1
来源:
08年数学竞赛专题二题型:
解答题,难度:
较难
已知f(x)=ax2+bx+c在[0,1]上满足|f(x)|≤1,试求|a|+|b|+|c|的最大值。
答案:
⎧⎛1⎫a=2f
(1)+2f(0)-4f⎪⎪f(0)=c⎧⎝2⎭⎪
⎪⎪⎛1⎫⎪⎛1⎫a1
因为⎨f⎪=+b+c,所以⎨b=4f⎪-f
(1)-3f(0),
⎝2⎭⎪⎪⎝2⎭42
⎪c=f(0)⎪⎩f
(1)=a+b+c⎪⎩
所以|a|+|b|+|c|=|2f
(1)+2f(0)-4f⎪|+|4f⎪-f
(1)-3f(0)|+|f(0)|
⎛1⎫⎝2⎭⎛1⎫⎝2⎭
≤3+|f
(1)|+8|f⎪|+6|f(0)|≤17.
另一方面,对于二次函数f(x)=8x2-8x+1,当x∈[0,1]时,|f(x)|≤1,且|a|+|b|+|c|=17,所以|a|+|b|+|c|的最大值为17。
⎛1⎫⎝2⎭
来源:
08年数学竞赛专题二题型:
解答题,难度:
较难
2⎧⎪x-2kx+k-4
对任意x∈[0,1],有⎨2成立,求k的取值范围。
⎪⎩x-kx-k+3>0
答案:
当x∈[0,1]时,有x2-2kx+k-4
⎧f(0)
时-3
⎩f
(1)
记g(x)=x2-kx-k+3.当x∈[0,1]时,g(x)>0,由g
(1)>0可得k
k4(3-k)-k2
>0,即-60当且仅当
24
≤k
ⅱ)当k
k
∉[0,1],g(x)>0当且仅当g
(1)>0,即k
综上所述,对任意x∈[0,1],不等式组成立。
当且仅当-3
来源:
08年数学竞赛专题二题型:
解答题,难度:
较难
设f(x)=ax2+bx+c,a,b,c∈R,a>100,试问满足|f(x)|≤50的整数x最多有几个?
答案:
f(x)=a(x-x0)2+f(x0)。
ⅰ)若|f(x0)|≤50,因为满足|n-x0|
ⅱ)若|f(x0)|>50,若f(x0)>50,则|f(x)|≤50无解;若f(x0)
则k|2n+k-2x0|
因为|k(2n+k-2k0)|=|k(2n+2k-2k0-k)|>|k|≥1,所以满足①的k也不存在。
所以满足|f(x)|≤50的整数最多有2个。
1⎫⎛
例如,f(x)=101x-⎪,当x=0,1时有|f(x)|
2⎭⎝
来源:
08年数学竞赛专题二题型:
解答题,难度:
较难
解关于x的不等式:
mx-3(m+1)x+9>0(m∈R)
2
2
答案:
(1)m=0时-3x+9>0∴x
33)(x-3)>0当m0时mm33
100或x1时,x>3或x
mm
(2)m≠3时m(x-
来源:
题型:
解答题,难度:
中档
已知函数f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,当x∈[-2,0)时,f(x)=tx-常数)。
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)当t∈[2,6]时,求f(x)在[-2,0]上的最小值,及取得最小值时的x,并猜想f(x)在[0,2]上的单调递增区间(不必证明);
(3)当t≥9时,证明:
函数y=f(x)的图象上至少有一个点落在直线y=14上。
13
x(t为2
答案:
(1)x∈(0,2]时,-x∈[-2,0),则f(-x)=t(-x)-
11(-x)3=-tx+x322
∵函数f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,即f(-x)=-f(x)
131
x,即f(x)=tx-x3,又可知f(0)=022
13
∴函数f(x)的解析式为f(x)=tx-x,x∈[-2,2]
2
∴-f(x)=-tx+
(2)f(x)=xt-
⎛⎝112⎫
x⎪,∵t∈[2,6],x∈[-2,0],∴t-x2≥0
22⎭
∵[f(x)]
2
11⎛2
2x+t-x2+t-x2
⎛1⎫=x2t-x2⎪≤
3⎝2⎭
⎝⎫⎪3
8t⎪=27⎪⎪⎭
3
∴x=t-
2
122tt6t2x,即x2=,x=-(-∈[-2,0])时,fmin=-tt。
23339
猜想f(x)在[0,2]上的单调递增区间为⎢0,
⎡⎣6t⎤
⎥。
3⎦
(3)t≥9时,任取-2≤x1
⎡122⎤
f(x1)-f(x2)=(x1-x2)⎢t-x1+x1x2+x2⎥
⎣2⎦
∴f(x)在[-2,2]上单调递增,即f(x)∈[f(-2),f
(2)],即f(x)∈[4-2t,2t-4]∵t≥9,∴4-2t≤-14,2t-4≥14,∴14∈[4-2t,2t-4]
∴当t≥9时,函数y=f(x)的图象上至少有一个点落在直线y=14上。
()
来源:
08年高考探索性专题题型:
解答题,难度:
较难
设f(x)=
a的值:
至少有一个正数b,使f(x)的
定义域和值域相同.
答案:
若a=0,则对每个正数b
,f(x)=[0,+∞),
故a=0满足条件
若a>0,则对每个正数b
,f(x)=D=xa2x+bx≥0=-∞,-⎥
a
但f(x)=[0,+∞),
{}
⎛
⎝
b⎤⎦
A⊆[0,+∞)
故D≠A,即a>0不合条件若a<0,则对每个正数b
,f(x)=由于此时f(
x)max=f-
b⎤⎡
D=⎢0,-⎥,
a⎦⎣
⎡⎛b⎫,故
=f(x)=
⎪⎢⎝2a⎭
所以,-b⎧⎪a
⇔⎨⎪⇔a=-4⎩=-a
综合所述,a的值为0或-4
来源:
题型:
解答题,难度:
中档
已知a,b,c∈R,f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,当|x|≤1时,|f(x)|≤1,
(1)求证:
|c|≤1;
(2)求证:
当|x|≤1时,|g(x)|≤2;
(3)当a>0且|x|≤1时,g(x)最大值为2,求f(x).
答案:
(1)令x=0,则|f(0)|≤0,于是|c|≤1。
⎧f(0)=c
(2)因为⎪
⎨f
(1)=a+b+c,
⎪⎩
f(-1)=a-b+c解得a=
12[f
(1)+f(-1)-2f(0)],b=1
2
[f
(1)-f(-1)],所以当|x|≤1时,
⎣
|g(x)|=|ax+b|=|=
11
[f
(1)+f(-1)-2f(0)]x+[f
(1)-f(-1)]|22
1
|(x+1)f
(1)+(x-1)f(-1)-2xf(0)|21
≤|x+1||f
(1)|+|x-1|f(-1)+|2x|·|f(0)|211
≤(|x+1|+|x-1|+2)=[(x+1)+(1-x)+2]=2.22
(3)因为当a>0时g(x)=ax+b在[-1,1]上递增,所以当x=1时,g(x)=2,即
g
(1)=a+b=2=f
(1)-f(0).而-1≤f
(1)≤1,-1≤-f(0)≤1,所以f
(1)=1,-f(0)=1,所以c=-1。
又当|x|≤1时,f(x)≥-1=f(0),所以在[-1,1]上,f(0)为f(x)的最小值,所以0=-f(x)=2x2-1.
b
所以b=0,a=2。
所以2a
来源:
08年数学竞赛专题二题型:
解答题,难度:
中档
2⎧⎪x-2x+a≤0
设A={x|1
2⎪⎩x-2bx+5≤0
取值范围使A⊆B
答案:
设f(x)=x-2x+a,g(x)=x-2bx+5要使A⊆B则必须使f(x)与g(x)在[1,3]上的
2
2
⎧f
(1)≤0⎧-1+a≤0
⎪f(3)≤0⎪3+a≤0⎪⎪
图象均在x轴下方(含x轴),则应满足⎨即⎨∴a≤-3b≥3
g
(1)≤06-2b≤0⎪⎪⎪⎪⎩g(3)≤0⎩14-6b≤0
来源:
题型:
解答题,难度:
中档
解关于x的不等式12x-ax>a.
22
答案:
解:
原不等式可化为12x-ax-a>0即(3x-a)(4x+a)>0
2
2
aa
∴(x-)(x+)>0………………………………6分
34
aaaa
当a>0时,>-,原不等式的解集为{x|x…………8分
3443aa
当a=0时,=-=0,原不等式的解集为{x|x≠0}…………10分
34aaaa
当a-…………12分
3434
来源:
07年广西名校联考三题型:
解答题,难度:
容易
已知f(x)是定义[-1,1]在上的奇函数,且f
(1)=1,若a、b∈[-1,1],a+b≠0,有f(a)+f(b)
>0成立。
a+b
(1)判断函数f(x)在[-1,1]上是增函数还是减函数,并证明你的结论;11
(2)解不等式f(x+)
2x-1
(3)若f(x)≤m2-2am+1对所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,求实数m的取值范
围。
答案:
解:
(1)任取x1、x2∈[-1,1]且x1
又f(x)是奇函数,于是f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=
f(x1)+f(-x2)
·(x1-x2),2分
x1+(-x2)
f(x)+f(-x)由已知>0,x1-x2
x1+(-x2)
故f(x)在[-1,1]上是增函数。
4分11
(2)据函数f(x)是定义在[-1,1]上的增函数,不等式f(x+)
2x-1
⎧⎪
⎨⎪⎩
1
-1≤x+≤1
21
-1≤≤1⇒x-1
11x+
⎧⎪
⎨
3
⎪x
31-≤x22x≤0或x≥2
,7分
3
∴原不等式解集为[,-1)。
8分
2(3)由
(1)的结论f(x)是[-1,1]上的增函数,且f
(1)=1,
故对所有的x∈[-1,1]有f(x)≤1。
根据已知,对所有x∈[-1,1],a∈[-1,1],f(x)≤m2-2am+1的恒成立,应有m2-2am+1≥1成立,即m2-2am≥0,
再设g(a)=-2am+m2对所有的a∈[-1,1],g(a)≥0成立,只需g(a)在[-1,1]上的最小值大于等于0。
12分
⎧m>0
①当m>0时g(a)为[-1,1]上的减函数,此时g
(1)最小。
由⎨解得m≥2;2
⎩g
(1)=-2m+m
②当m=0时,g(a)=0,对a∈[-1,1]的g(a)≥0也成立;
⎧m
③当m
⎩g(-1)=2m+m≥0
解得m≤-2。
故m的取值范围为m≤-2,m=0或m≥2。
14分
来源:
题型:
解答题,难度:
较难
某公司生产的A型商品通过租赁柜台进入某商场销售.第一年,商场为吸引厂家,决定
免收该年管理费,因此,该年A型商品定价为每件70元,年销售量为11.8万件.第二年,商场开始对该商品征收比率为p%的管理费(即销售100元要征收p元),于是该商品的定70价上升为每件元,预计年销售量将减少p万件.1-p%
(1)将第二年商场对该商品征收的管理费y(万元)表示成p的函数,并指出这个函数的定义域;
(2)要使第二年商场在此项经营中收取的管理费不少于14万元,则商场对该商品征收管理费的比率p%的范围是多少?
(3)第二年,商场在所收管理费不少于14万元的前提下,要让厂家获得最大销售金额,则p应为多少?
答案:
解:
(1)依题意,第二年该商品年销售量为(11.8-p)万件,70年销售收入为(11.8-p1-p%
70则商场该年对该商品征收的总管理费为(11.8-p)p%(万元).
31-p%
7故所求函数为:
y=(118-10p)p.
4100-p
59由11.8-p>0及p>0得定义域为0<p<.
55
(2)由y≥14,得7(118-10p)p≥
14.100-p
化简得p2-12p+20≤0,即(p-2)(p-10)≤0,解得2≤p≤10.
故当比率在[2%,10%]内时,商场收取的管理费将不少于14万元.
8
(3)第二年,当商场收取的管理费不少于14万元时,
70厂家的销售收入为g(p)=(11.8-p)(2≤p≤10).
101-p%
70882∵g(p)=(11.8-p)=700(10+1-p%p-
100
∴g(p)max=g
(2)=700(万元).
故当比率为2%时,厂家销售金额最大,且商场所收管理费又不少于14万元.12分
来源:
题型:
解答题,难度:
较难
a是任意的实数,解关于x的不等式(a+3)x2+2ax+a-3>0.
答案:
解:
当a+3<0即a<-3时,|3-a|>|a+3|,∴
由此得不等式的解集为{x|3-a<-1,3分a+35分3-a<x<-1,x∈R};a+3
当a+3=0,即a=-3时,不等式解集为{x|x<-1,x∈R};7分
3-a63-a-(-1)=>0知>-1,10分a+3a+3a+3
3-a所以a>-3时原不等式解集为{x|x<-1或x>,x∈R}.12分a+3当a+3>0时,由
来源:
题型:
解答题,难度:
较难
2若集合A={x∈R|x-4x+3
答案:
{x|2
来源:
05年重庆
题型:
填空题,难度:
中档
(文科)设x,y为正数,则(x+y)(+1
x4)的最小值为___________y
答案:
9
来源:
08年高考武汉市联考一
题型:
填空题,难度:
中档
使不等式x2+(a-6)x+9>0当|a|≤1时恒成立的x的取值范围是_________.
答案:
x>7+7-或x
2⎧⎪x-5x+9>0不等式是关于a的一次不等式,问题等价于⎨2,即得。
⎪⎩x-7x+9>0
来源:
08年数学竞赛专题二
题型:
填空题,难度:
较难
设A={x|x2-3x≤0},B={x|x2-5x+4<0}那么,A∪B=____________,A∩
B=____________.
答案:
{x|0≤x<4},{x|1<x≤3}
来源:
1
题型:
填空题,难度:
较易
设a1、a2,b1、b2,c1、c2均为非零实数,不等式a1x2+b1x+c1>0和a2x2+b2x+c2>0解集分别为M和N,那么“a1b1c1==”是“M=N”的_________条件。
a2b2c2
答案:
非充分非必要。
若a1b1c1ab===
来源:
08年数学竞赛专题二
题型:
填空题,难度:
中档
当|x-2|
答案:
0-2,所以0
来源:
08年数学竞赛专题二
题型:
填空题,难度:
中档
方程x2-2(m-1)x+m2-4=0的两根异号,则m的取值范围是___________.
答案:
-2
来源:
题型:
填空题,难度:
中档
x-1已知p:
|1-|≤2,q:
x2-2x+1-m2≤0(m>0),若非p是非q的必要不充分条件,则实数3
m的取值范围是_________.
答案:
m≥9。
非p:
x10,非q:
x2-2x+1-m2>0,非p是非q的必要不充分条件⎧1+m≥10且等号不同时成立。
解得m≥9。
⇔⎨⎩1-m≤-2
来源:
08年数学竞赛专题二
题型:
填空题,难度:
中档
关于x的方程x+ax+2b=0的两根分别在区间(0,1)与(1,2)内.则值范围是.2b-2的取a-1
答案:
1(,1)4
来源:
题型:
填空题,难度:
中档
1⎧1⎫2若不等式ax+5x+c>0的解集是⎨x|
答案:
-5
来源:
题型:
填空题,难度:
中档
若关于x的方程4x2-4x+m=0在[-1,1]上至少有一个实根,则m取值范围是_________.
答案:
-8≤m≤1。
因为1∈[-1,1],所以方程无实根⇔∆=16(1-m)12
或m
来源:
08年数学竞赛专题二
题型:
填空题,难度:
中档
若下列三个方程x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根,则实数a的取值范围是_________.
答案:
(-∞,-]∪[-1,+∞)。
3
2
⎧∆1=(4a)2-4(-4a+3)
解得-33
来源:
08年数学竞赛专题二
题型:
填空题,难度:
中档
不等式ax2+(ab+1)x+b>0的解是1
答案:
1⎧⎧a=-1bab+11⎪a=-。
由条件a
来源:
08年数学竞赛专题二
题型:
填空题,难度:
中档
若不等式-x2+kx-4
答案:
-252
来源:
08年数学竞赛专题二
题型:
填空题,难度:
中档
二次函数y=ax+bx+c(x∈R)
2则不等式ax+bx+c>0的解集是_______________________.2
答案:
{xx3}
来源:
04年江苏
题型:
填空题,难度:
中档
使不等式│x│2-2│x│-15>0成立的负值x的范围是________________.
答案:
x
来源:
题型:
填空题,难度:
中档
已知x2-5x+6
答案:
20
来源:
题型:
填空题,难度:
中档
若f(x)=x4+px3+qx2+x对一切x∈R都有f(x)≥x且f
(1)=1,则p+q2=_________.
答案:
-1。
由f(x)≥x得x2(x2+px+q)≥0对一切x∈R成立,所以p2-4q≤0.又f
(1)=1,所以p+q+2=1,所以q=-p-1.代入p2-4q≤0,所以p=-2,q=1。
来源:
08年数学竞赛专题二
题型:
填空题,难度:
中档
当x∈(1,2)时,不等式x+mx+4
答案:
m≤-5
来源:
07年高考山东卷(文)
题型:
填空题,难度:
较难
若关于x的不等式x-ax-a>0的解集为(-∞,+∞),则实数a的取值范围是__________;若关于x的不等式x-ax-a≤-3的解集不是空集,则实数a的取值范围是__________。
22
答案:
(-4,0),(-∞,-6][2,+∞)
来源:
04北京市春
题型:
填空题,难度:
中档
x的解集是____________________.
答案:
(2,4]
来源:
03全国高考
题型:
填空题,难度:
容易
不等式x-(a+1)|x|+a>0的解集为{x|x<-1或x>1,x∈R},则a的取值范围为.2
答案:
a≤0
来源:
题型:
填空题,难度:
中档2已知集合A=x|x-a≤1,B=xx-5x+4≥0.若A{}{}B=∅,则实数a的取
值范围是___________.
答案:
集合A=xx-a≤1={x|a-1≤x≤a+1},B=xx-5x+4≥0={x|x≥4或x≤1}.又A{}{2}⎧a+1⎩a-1>1
来源:
07年高考北京卷
题型:
填空题,难度:
中档
集合A={x|x2-2x-15≤0},B={x|a+1≤x≤4a+1},B⊆A,则a的取值范围是.
答案:
(-∞,1];
来源:
题型:
填空题,难度:
中档
设p:
|4x-3|≤1;q:
x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0.若﹁p是﹁q的必要而不充分的条件,则实数a的取值范围是.
答案:
[0,1]2
来源:
1
题型:
填空题,难度:
中档
设全集为R,若集合A={x|x2-3x+2<0,集合B={x|log1x+log1(x+1)<-1,则22
是=___________;∪
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- 高中数学 题库 一元 二次 不等式