高考数学二轮复习第1部分专题六解析几何必考点文1.docx
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高考数学二轮复习第1部分专题六解析几何必考点文1
2019年高考数学二轮复习第1部分专题六解析几何必考点文1
必考点一 直线与圆
[高考预测]——运筹帷幄
1.求直线方程.
2.直线位置关系的判定及应用、点到直线的距离问题.
3.求圆的方程.
4.直线与圆的位置关系判定及应用.
[速解必备]——决胜千里
1.与Ax+By+C=0平行的直线可设为Ax+By+m=0(m≠C),与之垂直的直线可设为Bx-Ay+n=0.
2.过两条直线l1:
A1x+B1y+C1=0,l2:
A2x+B2y+C2=0交点的直线可设为(A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+C2)=0.
3.两平行线间的距离:
d=(其中两平行线方程分别为l1:
Ax+By+C1=0.l2:
Ax+By+C2=0).
【提醒】 应用两平行线间距离公式时,注意两平行线方程中x,y的系数应对应相等.
4.以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.
5.过圆x2+y2=r2上的点P(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2.
6.过⊙C1:
x2+y2+D1x+E1y+F1=0,⊙C2:
x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆的方程可设为:
(x2+y2+D1x+E1y+F1)+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0,当λ=-1时,表示两圆的公共弦所在的直线方程.
7.过圆内一点的直线被圆截得的弦中,最长弦是直径,最短的弦是以该点为中点的弦.
8.直线与圆相离,过直线上一点作圆的切线,当该点与圆心连线与该直线垂直时,其切线长最小.
[速解方略]——不拘一格
类型一 直线方程及位置关系
[例1]
(1)已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是( )
A.(0,1) B.
C.D.
解析:
基本法:
①当直线y=ax+b与AB,BC相交时如图
(1),由得yE=.又易知xD=-,
∴|BD|=1+,由S△DBE=××=得
b=∈.
(1)
(2)
②当直线y=ax+b与AC,BC相交时如图
(2),由S△FCG=(xG-xF)·|CM|=得b=1-∈(0<a<1).
∵对于任意的a>0恒成立,
∴b∈∩,
即b∈,故选B.
速解法:
取b=,则直线y=ax+只能与BC和AB相交,才可能分割为面积相等的两部分,
∴D由得E
若S△BED=××=,则24a+9=16a.
显然无解,排除A.
当a→0时,y=ax+b→y=b,如图,
∴==,∴b=1-.
∴b>1-,故选B.
答案:
B
方略点评:
基本法利用直线相交,求出面积表达式,利用函数观点,求b的范围.速解法采用特值验证及极限分析法,得出答案,较简单.
(2)设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|·|PB|的最大值是________.
解析:
基本法:
∵直线x+my=0与mx-y-m+3=0分别过定点A,B,∴A(0,0),B(1,3).
当点P与点A(或B)重合时,|PA|·|PB|为零;
当点P与点A,B均不重合时,
∵P为直线x+my=0与mx-y-m+3=0的交点,且易知此两直线垂直,
∴△APB为直角三角形,
∴|AP|2+|BP|2=|AB|2=10,
∴|PA|·|PB|≤==5,
当且仅当|PA|=|PB|时,上式等号成立.
速解法:
直线x+my=0与mx-y-m+3=0分别过定点A(0,0),B(1,3)且两直线垂直.
∴当P与A,B不重合时,形成直角三角形PAB,|AB|=,而S△PAB=|PA||PB|=|AB|·h.
当P到AB的距离h=|AB|时,S最大,
∴(|PA|·|PB|)max=|AB|2=5.
答案:
5
方略点评:
1基本法是根据基本不等式求解.速解法是利用等积法直接找P的位置.
2求解两条直线平行的问题时,在利用A1B2-A2B1=0建立方程求出参数的值后,要注意代入检验,排除两条直线重合的可能性.
3判定两直线平行与垂直的关系时,如果给出的直线方程中存在字母系数,不仅要考虑斜率存在的情况,还要考虑斜率不存在的情况.
1.设a∈R,则“a=1”是“直线l1:
ax+2y-1=0与直线l2:
x+(a+1)y+4=0平行”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
解析:
基本法:
由l1∥l2,得-=-,解得a=1或a=-2,代入检验符合,即“a=1”是“l1∥l2”的充分不必要条件,故选A.
答案:
A
2.(2016·高考全国甲卷)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=( )
A.-B.-
C.D.2
解析:
x2+y2-2x-8y+13=0,即(x-1)2+(y-4)2=4,圆心为(1,4)到直线ax+y-1=0的距离为d==1,即|a+3|=
解得a=-,选A.
答案:
A
类型二 圆的方程及位置关系
[例2]
(1)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=( )
A.2B.8
C.4D.10
解析:
基本法:
设圆心为P(a,b),由点A(1,3),C(1,-7)在圆上,知b==-2.
再由|PA|=|PB|,得a=1.则P(1,-2),|PA|==5,于是圆P的方程为(x-1)2+(y+2)2=25.令x=0,得y=-2±2,
则|MN|=|(-2+2)-(-2-2)|=4.
速解法:
由题意可知AC为圆的直径,|AC|=10,
∴r=5.AC的中点(1,-2)为圆心,到y轴距离为1.
∴|MN|=2=4.
答案:
C
方略点评:
基本法是求出了圆的方程与y轴的交点,求MN长.速解法是利用了几何法,解三角形求弦长,较简单.
(2)一个圆经过随圆+=1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为________.
解析:
基本法:
由已知得该圆经过椭圆的三个顶点A(4,0)、B(0,2)、C(0,-2).易知线段AB的垂直平分线的方程为2x-y-3=0.令y=0,得x=,所以圆心坐标为,则半径r=4-=.故该圆的标准方程为2+y2=.
速解法:
如图,设圆心M(a,0)
则r2=22+a2=(4-a)2
∴a=,∴r=4-=
∴圆的方程为2+y2=.
答案:
2+y2=
方略点评:
1基本法是利用三角形的外接圆圆心是三边的垂直平分线的交点求的.速解法是利用外接圆的几何意义,用待定系数法求的.
2确定圆心位置的方法
①圆心在过切点且与切线垂直的直线上;
②圆心在任一弦的中垂线上;
③两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线.
1.已知三点A(1,0),B(0,),C(2,),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为( )
A.B.
C.D.
解析:
基本法:
如图,在坐标系中画出△ABC,利用两点间的距离公式,可知|AB|=|BC|=|AC|=2,
即△ABC为等边三角形,设BC的中点为D,点E为三角形外心,圆心即为重心.
∴|AE|=|AD|=,∴|OE|==.
答案:
B
2.(2016·高考全国乙卷)设直线y=x+2a与圆C:
x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=2,则圆C的面积为________.
解析:
基本法:
圆C的方程可化为x2+(y-a)2=a2+2,可得圆心的坐标为C(0,a),半径r=,所以圆心到直线x-y+2a=0的距离为=,所以2+()2=()2,解得a2=2,所以圆C的半径为2,所以圆C的面积为4π.
答案:
4π
[终极提升]——登高博见
选择题、填空题的解法——借鉴法
方法诠释
某些数学问题,涉及到其它学科的概念,在建立关系求解时,可以借鉴其它学科的概念或者公式来建立方程或函数关系.
常见类型
(1)涉及到光线的问题,可以借鉴物理学中光线的性质.
(2)涉及到质点的运动周期,可以借鉴圆周运动、或单摆,建立三角函数关系.
(3)涉及到质点的直线运动,可以借鉴位移公式建立二次函数关系,路程s的导数为速度v,速度v的导数为加速度.
限时速解训练十五 直线与圆
(建议用时40分钟)
一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的)
1.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )
A.(x-1)2+(y-1)2=1
B.(x+1)2+(y+1)2=1
C.(x+1)2+(y+1)2=2
D.(x-1)2+(y-1)2=2
解析:
选D.由题意可得圆的半径r=,故圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2,故选D.
2.直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,则b的值是( )
A.-2或12 B.2或-12
C.-2或-12D.2或12
解析:
选D.依据题意得圆的圆心为(1,1),半径为r=1.因为直线和圆相切,所以=1,解得b=12或b=2,故选D.
3.经过圆x2+2x+y2=0的圆心G,且与直线x+y=0垂直的直线方程是( )
A.x-y+1=0B.x-y-1=0
C.x+y-1=0D.x+y+1=0
解析:
选A.圆心坐标为(-1,0),所求直线的斜率为1,所以方程为x-y+1=0,故选A.
4.两个圆C1:
x2+y2+2x+2y-2=0,C2:
x2+y2-4x-2y+1=0的公切线的条数为( )
A.1条B.2条
C.3条D.4条
解析:
选B.C1:
(x+1)2+(y+1)2=4,C2:
(x-2)2+(y-1)2=4.圆心距d=|C1C2|==.
|r1-r2|<d<r1+r2,∴两圆C1与C2相交,有两条公切线,故选B.
5.圆C:
x2+y2-4x+8y-5=0被抛物线y2=4x的准线截得的弦长为( )
A.6B.8
C.10D.12
解析:
选B.依题意,圆的标准方程为(x-2)2+(y+4)2=25,圆心为(2,-4),半径为5,抛物线y2=4x的准线为x=-1,故弦长为2=8,故选B.
6.若两直线l1:
3x+4y+a=0与l2:
3x+4y+b=0都与圆x2+y2+2x+4y+1=0相切,则|a-b|=( )
A.B.2
C.10D.20
解析:
选D.注意到直线l1与l2平行,且它们间的距离等于d=;又直线l1,l2均与题中的圆相切,因此它们间的距离等于该圆的直径4,即有=4,即|a-b|=20,故选D.
7.(2016·山东潍坊模拟)圆C:
(x-1)2+y2=25,过点P(2,-1)作圆的所有弦中,以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是( )
A.10B.9
C.10D.9
解析:
选C.因为圆的方程为(x-1)2+y2=25,所以圆心坐标为C(1,0),半径r=5,因为P(2,-1)是该圆内一点,所以经过P点的直径是圆的最长弦,且最短的弦是与该直径垂直的弦.因为|PC|=,所以与PC垂直的弦长为2=2.因此所求四边形的面积S=×10×2=10.
8.(2016·山东烟台诊断)已知P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA是圆C:
x2+y2-2y=0的一条切线,A是切点,若线段PA长度最小值为2,则k的值为( )
A.3B.
C.2D.2
解析:
选D.圆C:
x2+(y-1)2=1,圆心C(0,1),半径r=1,圆心到直线的最小距离d==,解得k=2或k=-2(舍去),故选D.
9.(2016·河北石家庄二检)若圆(x-5)2+(y-1)2=r2(r>0)上有且仅有两点到直线4x+3y+2=0的距离等于1,则实数r的取值范围为( )
A.[4,6]B.(4,6)
C.[5,7]D.(5,7)
解析:
选B.因为圆心(5,1)到直线4x+3y+2=0的距离为=5,又圆上有且仅有两点到直线4x+3y+2=0的距离为1,则4<r<6,故选B.
10.若曲线C1:
x2+y2-2x=0与曲线C2:
x(y-mx-m)=0有三个不同的公共点,则实数m的取值范围是( )
A.(0,)
B.(-,0)∪(0,)
C.
D.∪
解析:
选D.由x(y-mx-m)=0可知x=0,y=m(x+1),当直线y=m(x+1)与圆x2+y2-2x=0相切时,m=±,当m=0时,只有两个公共点,因此m∈∪,故选D.
11.(2016·山东潍坊模拟)已知圆C:
(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m>0),若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则m的最大值为( )
A.7B.6
C.5D.4
解析:
选B.由图可知,若圆C上存在点P使得∠APB=90°,则圆C与以AB为直径的圆有公共点,所以m-1≤≤m+1,即4≤m≤6.
12.已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y=相交于A,B两点,O为坐标原点,当S△AOB=1时,直线l的倾斜角为( )
A.150°B.135°
C.120°D.不存在
解析:
选A.结合图形求解.曲线y=是半圆(如图),当△AOB的面积等于1时,××sin∠AOB=1,∠AOB=90°,此时圆心O到直线AB的距离OC=1,又OP=2,易得∠CPO=30°,所以直线l的倾斜角为150°,故选A.
二、填空题(把答案填在题中横线上)
13.圆心在直线x=2上的圆与y轴交于A(0,-4),B(0,-2)两点,则该圆的标准方程是________.
解析:
根据题意,设圆的方程为(x-2)2+(y-a)2=r2,则
解得所以所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=5.
答案:
(x-2)2+(y+3)2=5
14.已知a,b为正数,且直线ax+by-6=0与直线2x+(b-3)y+5=0互相平行,则2a+3b的最小值为________.
解析:
由两直线互相平行可得a(b-3)=2b,即2b+3a=ab,+=1.又a,b为正数,所以2a+3b=(2a+3b)·=13++≥13+2=25,当且仅当a=b=5时取等号,故2a+3b的最小值为25.
答案:
25
15.若圆C经过坐标原点和点(4,0),且与直线y=1相切,则圆C的方程是________.
解析:
因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0),所以设圆心坐标为(2,m).又因为圆与直线y=1相切,所以=|1-m|,所以m2+4=m2-2m+1,解得m=-,所以圆的方程为(x-2)2+2=.
答案:
(x-2)2+2=
16.已知P是圆x2+y2-2x-2y+1=0上的动点,PA,PB是圆(x-4)2+(y-5)2=4的切线,A,B为切点,则∠APB的最大值为________.
解析:
依题意,圆C1:
(x-1)2+(y-1)2=1的圆心C1(1,1)、半径是1;圆心C2(4,5)、半径是2,且sin==,当|PC2|最小时,sin最大,∠APB最大,|PC2|的最小值等于|C1C2|-1=4,因此sin的最大值是,的最大值是30°,即∠APB的最大值是60°.
答案:
60°
必考点二 圆锥曲线的方程与性质
[高考预测]——运筹帷幄
1.利用圆锥曲线定义求圆锥曲线的标准方程.
2.根据圆锥曲线方程探究其几何性质、离心率问题.
3.根据圆锥曲线的几何性质求标准方程及与直线的关系问题.
4.圆锥曲线的探索性问题.
[速解必备]——决胜千里
1.如图椭圆中的焦点三角形△ABF2周长为4a,双曲线中的焦点三角形ABF2周长为4a+2|AB|.
2.当椭圆上动点在短轴端点时与两焦点连线的视角最大.椭圆上点到焦点的最长距离为a+c,最短距离为a-c.
3.双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b.
4.双曲线-=1的渐近线为-=0.
5.抛物线:
设y2=2px(p>0),C(x1,y1),D(x2,y2),为抛物线上的点,F为其焦点.
(1)焦半径|CF|=x1+;
(2)过焦点的弦长|CD|=x1+x2+p,|CD|=(其中α为倾斜角),+=;
(3)x1x2=,y1y2=-p2;
(4)以抛物线上的点为圆心,焦半径为半径的圆必与准线相切,以抛物线焦点弦为直径的圆,必与准线相切.
6.斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则所得弦长|P1P2|=|x2-x1|或|P1P2|=|y2-y1|.
[速解方略]——不拘一格
类型一 椭圆标准方程及性质
[例1]
(1)椭圆C:
+=1的左、右顶点分别为A1,A2,点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线PA1斜率的取值范围是( )
A. B.
C.D.
解析:
基本法:
由题意得A1(-2,0),A2(2,0)
若kPA2=-1,∴直线PA2方程为y=-(x-2),联立方程组
得∴P,
此时kPA1==.
若kPA2=-2,直线PA2方程为y=-2(x-2),
由得
∴kPA1==.
∴kPA1∈,故选B.
速解法:
设P(x0,y0),则有+=1,
即4-x=y.①
由题意知A1(-2,0),A2(2,0),设直线PA1的斜率为k1,直线PA2的斜率为k2,则k1=,k2=,
所以k1·k2=.②
由①②得k1·k2=-.
因为k2∈[-2,-1],
所以k1的取值范围为,故选B.
答案:
B
方略点评:
基本法是利用直线PA2与椭圆求交点P,再求kPA1.速解法是设而不求的方法,得出k1·k2=-的规律.
(2)已知椭圆C:
+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,离心率为,过F2的直线l交C于A,B两点.若△AF1B的周长为4,则C的方程为( )
A.+=1B.+y2=1
C.+=1D.+=1
解析:
基本法:
由题意及椭圆的定义知4a=4,则a=,又==,∴c=1,∴b2=2,∴C的方程为+=1,选A.
速解法:
由4a=4,a=.a2=3排除C、D.
对于A.c2=1,∴e==,适合题意,故选A.
答案:
A
方略点评:
1.基本法是待定系数法,求a,b.
速解法结合答案排除选项.
2.求圆锥曲线标准方程常用的方法
(1)定义法.
(2)待定系数法.
①顶点在原点,对称轴为坐标轴的抛物线,可设为y2=2ax或x2=2ay(a≠0),避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论,此时a不具有p的几何意义.
②中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,
椭圆方程可设为+=1(m>0,n>0).
双曲线方程可设为-=1(mn>0).
这样可以避免讨论和烦琐的计算.
对于+=1和-=1来说,抓住a、b、c间的关系是关键.
1.已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:
y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|=( )
A.3 B.6
C.9D.12
解析:
抛物线C:
y2=8x的焦点坐标为(2,0),
准线方程为x=-2.从而椭圆E的半焦距c=2.
可设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),
因为离心率e==,所以a=4,所以b2=a2-c2=12.由题意知|AB|==2×=6.故选B.
答案:
B
2.(2016·湖南岳阳模拟)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为坐标原点,F1、F2为它的两个焦点,离心率为,过F1的直线l交椭圆C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,那么椭圆C的方程为________.
解析:
由椭圆的定义及△ABF2的周长知4a=16,则a=4,又=,所以c=a=2,所以b2=a2-c2=16-8=8.当焦点在x轴上时,椭圆C的方程为+=1;当焦点在y轴上时,椭圆C的方程为+=1.综上可知,椭圆C的方程为+=1或+=1.
答案:
+=1或+=1.
3.(2016·高考全国乙卷)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为( )
A.B.
C.D.
解析:
基本法:
设椭圆顶点为B(0,b),焦点F(c,0),则l的方程为+=1,即bx+cy-bc=0.由题意得
=×2b,解得
=,∴e=.
答案:
B
类型二 双曲线标准方程及性质
[例2]
(1)已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为( )
A.B.2
C.D.
解析:
基本法:
设双曲线E的方程为-=1.
如图所示,可知|AB|=|BM|=2a,∠ABM=120°,则∠MBx=60°.
设B(a,0),M(x0,y0),则直线BM的方程为y=(x-a).
从而y0=(x0-a),∴x0-a=.
又|BM|2=(x0-a)2+y==4a2,
∴y0=a,∴x0=2a.
又点(2a,a)在双曲线上,∴-=1,
∴=1,
∴e===.
速解法:
作MD⊥x轴于D点,在Rt△MBD中,BD=a,MD=a
∴M(2a,a)在双曲线上,∴a2=b2,即a=b.
故曲线为等轴双曲线,所以e=.
答案:
D
方略点评:
基本法是根据直线与双曲线联立方程组求M点,并根据离心率定义求解.速解法是利用解三角形求M点,并根据等轴双曲线定义求c.
(2)已知F是双曲线C:
x2-=1的右焦点,P是C的左支上一点,A(0,6).当△APF周长最小时,该三角形的面积为________.
解析:
基本法:
由已知得双曲线的右焦点F(3,0).
设双曲线的左焦点为F′,则F′(-3,0).由双曲线的定义及已知得|PF|=2a+|PF′|=2+|PF′|.△APF的周长最小,即|PA|+|PF|最小.|PA|+|PF|=|PA|+2+|PF′|≥|AF′|+2=17,即当A、P、F′三点共线时,△APF的周长最小.
设P点坐标为(x0,y0),y0>0,由得
y+6y0-96=0,所以y0=2或y0=-8(舍去).
所以当△APF的周长最小时,该三角形的面积S=×6×6-×6×2=12.
答案:
12
方略点评:
1.根据双曲线定义|PF|-|PF′|=2转化|PF|,找到P点位置.利用两个三角形△AF′F与△PF′F面积之差求得.
2.圆锥曲线的定义是转化曲线上的点与两焦点距离的主要依据.
1.已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1,F2,点A在C上.若|F1A|=2|F2A|,则cos∠AF2F1=( )
A. B.
C.D.
解析:
由题意得
解得|F2A|=2a,|F1A|=4a,
又由已知可得=2,所以c=2a,即|F1F2|=4a,
所以cos∠AF2F1=
==.
答案:
A
2.(2016·高考全国乙卷)已知方程-=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是( )
A.(-1,3)B.(-1,)
C.(0,3)D.(0,)
解析:
根据双曲线的焦距,建立关于n的不等式组求解.
若双曲线的焦点在x轴上,则
又∵(m2+n)+(3m2-n)=4,∴m2=1,∴
∴-1 若双曲线的焦点在y轴上,则双曲线的标准方程为 -=1,即 即n>3m2且n<-m2,此时n不存在. 答案: A 3.已知双曲线过点(4,),且渐近线方程为y=±x,则该双曲线的标准方程为________. 解析: 根据渐近线方程为x±2y=0,可设双曲线方程为x2-4y2=λ(λ≠0).因为双曲线过点(4,),所以42-4×()2=λ,即λ=4.故双曲线的标准方程为-y2=1. 答案: -y2=1 类型三 抛物线标准方程及性质
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