高考数学二轮复习专题五解析几何第3讲解析几何的综合问题学案.docx
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高考数学二轮复习专题五解析几何第3讲解析几何的综合问题学案
第3讲 解析几何的综合问题
[考情考向分析] 江苏高考解析几何的综合问题包括:
探索性问题、定点与定值问题、范围与最值问题等,一般试题难度较大.这类问题以直线和圆锥曲线的位置关系为载体,以参数处理为核心,需要综合运用函数与方程、不等式等诸多知识以及数形结合、分类讨论等多种数学思想方法进行求解,对考生的代数恒等变形能力、计算能力等有较高的要求.
热点一 最值、范围问题
例1 (2018·南通模拟)已知椭圆C:
+=1(a>b>0)的左顶点,右焦点分别为A,F,右准线为m,
(1)若直线m上不存在点Q,使△AFQ为等腰三角形,求椭圆离心率的取值范围;
(2)在
(1)的条件下,当e取最大值时,A点坐标为(-2,0),设B,M,N是椭圆上的三点,且=+,求以线段MN的中点为圆心,过A,F两点的圆的方程.
解
(1)设直线m与x轴的交点是R,
依题意FR≥FA,
即-c≥a+c,≥a+2c,≥1+2,≥1+2e,
2e2+e-1≤0,0 (2)当e=且A(-2,0)时,F(1,0),故a=2,c=1, 所以b=, 椭圆方程是+=1, 设M(x1,y1),N(x2,y2),则+=1,+=1. 由=+, 得B. 因为B是椭圆C上一点, 所以+=1, 即2+2+2·· =1,+=0,① 因为圆过A,F两点,所以线段MN的中点的坐标为, 又2=(y+y+2y1y2) =,② 由①和②得2 = ==·=, 所以圆心坐标为, 故所求圆的方程为2+2=. 思维升华 处理求最值的式子常用两种方式 (1)转化为函数图象的最值. (2)转化为能利用基本不等式求最值的形式.若得到的函数式是分式形式,函数式的分子次数不低于分母时,可利用分离法求最值;若分子次数低于分母,则可分子、分母同除分子,利用基本不等式求最值(注意出现复杂的式子时可用换元法). 跟踪演练1 已知椭圆C: +=1(a>b>0)的离心率为,且点在椭圆C上. (1)求椭圆C的标准方程; (2)若直线l交椭圆C于P,Q两点,线段PQ的中点为H,O为坐标原点,且OH=1,求△POQ面积的最大值. 解 (1)由已知得=,+=1, 解得a2=4,b2=1, 椭圆C的标准方程是+y2=1. (2)设l与x轴的交点为D(n,0), 直线l: x=my+n,P(x1,y1),Q(x2,y2), 联立得(4+m2)y2+2mny+n2-4=0, Δ=16(m2-n2+4)>0, y1,2=, 所以=-,y1y2=, 所以==, 即H, 由OH=1,得n2=, 则S△POQ=·OD·|y1-y2|=|n||y1-y2|, n2(y1-y2)2=n2[(y1+y2)2-4y1y2] =12×16×. 设t=4+m2(t≥4), 则==≤, 当且仅当t=,即t=12时取等号,此时S△POQ=1, 所以△POQ面积的最大值为1. 热点二 定点问题 例2 (2018·全国大联考江苏卷)如图,已知A,B是椭圆+=1的长轴顶点,P,Q是椭圆上的两点,且满足kAP=2kQB,其中kAP,kQB分别为直线AP,QB的斜率. (1)求证: 直线AP和BQ的交点R在定直线上; (2)求证: 直线PQ过定点. 证明 (1)根据题意,可设直线AP的方程为y=kAP(x-2),直线BQ的方程为y=kQB(x+2), 则直线AP和BQ的交点R的横坐标x0满足=2,即x0=6. 因此直线AP和BQ的交点R在定直线x=6上. (2)由 (1),可设点R的坐标为(6,m), 则直线AP的方程为y=(x-2),直线BQ的方程为y=(x+2), 联立方程得(m2+12)x2-4m2x+4(m2-12)=0, 设P(xP,yP),则根据根与系数的关系,得2×xP=,即xP=, 代入直线AP的方程得,yP=, 故P. 联立方程得(m2+48)x2+4m2x+4(m2-48)=0, 设Q(xQ,yQ),则-2×xQ=, 即xQ=, 代入直线BQ的方程得,yQ=, 故Q, 当=,即m2=24时,直线PQ与x轴的交点为T, 当≠,即m2≠24时, 下面证直线PQ过点T. kPT-kQT=-=-=0, 故直线PQ过定点T. 思维升华 如果要解决的问题是一个定点问题,我们可以根据特殊情况先找到这个定点,明确解决问题的目标,然后再进行一般性证明. 跟踪演练2 如图,在平面直角坐标系xOy中,已知圆O: x2+y2=4,椭圆C: +y2=1,A为椭圆右顶点.过原点O且异于坐标轴的直线与椭圆C交于B,C两点,直线AB与圆O的另一交点为P,直线PD与圆O的另一交点为Q,其中D.设直线AB,AC的斜率分别为k1,k2. (1)求k1k2的值; (2)记直线PQ,BC的斜率分别为kPQ,kBC,是否存在常数λ,使得kPQ=λkBC? 若存在,求λ值;若不存在,说明理由; (3)求证: 直线AC必过点Q. (1)解 设B(x0,y0),则C(-x0,-y0),+y=1, 所以k1k2=·===-. (2)解 由题意得直线AP的方程为y=k1(x-2),联立 得(1+k)x2-4kx+4(k-1)=0, 设P(xp,yp), 解得xp=,yp=k1(xp-2)=, 联立得(1+4k)x2-16kx+4(4k-1)=0, 设B(xB,yB), 同理得xB=,yB=k1(xB-2)=, 所以kBC==, kPQ===, 所以kPQ=kBC,故存在常数λ=,使得kPQ=kBC, (3)证明 当直线PQ与x轴垂直时,Q, 则kAQ===k2,所以直线AC必过点Q. 当直线PQ与x轴不垂直时,直线PQ方程为 y=, 联立, 解得xQ=,yQ=, 所以kAQ==-=k2, 故直线AC必过点Q. 综上可知,直线AC必过点Q. 热点三 定值问题 例3 记焦点在同一条轴上且离心率相同的椭圆为“相似椭圆”.已知椭圆E: +=1,以椭圆E的焦点为顶点作相似椭圆M. (1)求椭圆M的方程; (2)设直线l与椭圆E交于A,B两点,且与椭圆M仅有一个公共点,试判断△ABO的面积是否为定值(O为坐标原点)? 若是,求出该定值;若不是,请说明理由. 解 (1)由条件知,椭圆M的离心率e=,且长轴的顶点为(-2,0),(2,0), ∴椭圆M的方程为+=1. (2)当直线l的斜率存在时,设直线l: y=kx+b. 由得,x2+8kbx+4b2-12=0. 令Δ=64k2b2-4=0得, b2=3+4k2. 联立化简得x2+8kbx+4b2-48=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2), ∴x1,2= ∴ ∴AB= == =,而原点O到直线l的距离d=, ∴S△ABO=AB·d=6. 当直线l的斜率不存在时,l: x=2或x=-2,则AB=6,原点O到直线l的距离d=2, ∴S△ABO=6. 综上所述,△ABO的面积为定值6. 思维升华 (1)从特殊开始,求出定值,再证明该值与变量无关: (2)直接推理、计算,在整个过程中消去变量,得定值. 跟踪演练3 (2018·苏锡常镇四市调研)如图,椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,焦点到相应准线的距离为1,点A,B,C分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点,过点C的直线l交椭圆于点D,交x轴于点M(x1,0),直线AC与直线BD交于点N(x2,y2). (1)求椭圆的标准方程; (2)若=2,求直线l的方程; (3)求证: x1x2为定值. (1)解 由椭圆的离心率为,焦点到对应准线的距离为1. 得解得 所以椭圆的标准方程为+y2=1. (2)解 由 (1)知C(0,1),设D(x0,y0), 由=2,得2y0=-1,所以y0=-, 代入椭圆方程得x0=或-, 所以D或D, 所以kl==-或kl==. 所以直线l的方程为x-2y+2=0或x+2y-2=0. (3)证明 设D(x3,y3),由C(0,1),M(x1,0)可得直线CM的方程为y=-x+1, 联立椭圆方程得 解得x3=,y3=. 由B(,0),得直线BD的方程为 y=(x-), 因为点N(x2,y2)在直线BD上, 所以y2=(x2-),① 直线AC的方程为y=x+1, 因为点N(x2,y2)在直线AC上,所以y2=x2+1,② 联立①②得x2=, 从而x1x2=2为定值. 1.(2017·江苏)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆E: +=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上,且位于第一象限,过点F1作直线PF1的垂线l1,过点F2作直线PF2的垂线l2. (1)求椭圆E的标准方程; (2)若直线l1,l2的交点Q在椭圆E上,求点P的坐标. 解 (1)设椭圆的半焦距为c. 因为椭圆E的离心率为,两准线之间的距离为8, 所以=,=8,解得a=2,c=1, 于是b==, 因此椭圆E的标准方程是+=1. (2)由 (1)知,F1(-1,0),F2(1,0).设P(x0,y0), 因为P为第一象限的点,故x0>0,y0>0. 当x0=1时,l2与l1相交于F1,与题设不符. 当x0≠1时,直线PF1的斜率为, 直线PF2的斜率为. 因为l1⊥PF1,l2⊥PF2, 所以直线l1的斜率为-, 直线l2的斜率为-, 从而直线l1的方程为y=-(x+1),① 直线l2的方程为y=-(x-1).② 由①②,解得x=-x0,y=, 所以Q. 因为点Q在椭圆上,由对称性,得=±y0, 即x-y=1或x+y=1. 又点P在椭圆上,故+=1. 由解得x0=,y0=, 由无解. 因此点P的坐标为. 2.(2018·苏州调研)已知椭圆C: +=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2,一条准线方程为x=2,P为椭圆C上一点,直线PF1交椭圆C于另一点Q. (1)求椭圆C的方程; (2)若点P的坐标为,求过P,Q,F2三点的圆的方程; (3)若=λ,且λ∈,求·的最大值. 解 (1)由题意得解得c=1,a2=2, 所以b2=a2-c2=1. 所以椭圆C的方程为+y2=1. (2)因为P(0,1),F1(-1,0), 所以PF1的方程为x-y+1=0. 由解得或 所以点Q的坐标为. 设过P,Q,F2三点的圆为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 则 解得D=,E=,F=-. 所以圆的方程为x2+y2+x+y-=0. (3)设P,Q,则=(x1+1,y1),=(-1-x2,-y2). 因为=λ, 所以即 所以+λ2y=1,+y=1, 解得x2=. 所以·=x1x2+y1y2=x2-λy=-x-(1+λ)x2-λ =-2--λ =-, 因为λ∈,所以λ+≥2,当且仅当λ=, 即λ=1时取等号. 所以·≤,即·的最大值为. A组 专题通关 1.已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点F是椭圆+=1(a>b>0)的一个焦点,若P,Q是椭圆与抛物线的公共点,且直线PQ经过焦点F,则该椭圆的离心率为______. 答案 -1 解析 方法一 由抛物线方程,得焦点为F. 由椭圆方程,可得上焦点为(0,c), 故=c, 将y=c代入椭圆方程可得x=±. 又抛物线通径为2p, 所以2p==4c, 所以b2=a2-c2=2ac, 即e2+2e-1=0,解得e=-1. 方法二 如图所示,由抛物线方程以及直线y=, 可得Q. 又=c,即Q(2c,c), 代入椭圆方程可得+=1, 化简可得e4-6e2+1=0, 解得e2=3-2,e2=3+2>1(舍去), 即e==-1(负值舍去). 2.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为________. 答案 6 解析 由题意得F(-1,0),设点P(x0,y0), 则y=3(-2≤x0≤2). ·=x0(x0+1)+y=x+x0+y =x+x0+3=(x0+2)2+2. 又因为-2≤x0≤2, 所以当x0=2时,·取得最大值6. 3.已知两定点A(-1,0)和B(1,0),动点P(x,y)在直线l: y=x+2上移动,椭圆C以A,B为焦点且经过点P,则椭圆C的离心率的最大值为________. 答案 解析 A(-1,0)关于直线l: y=x+2的对称点为 A′(-2,1),连结A′B交直线l于点P, 则椭圆C的长轴长的最小值为 A′B==, 所以椭圆C的离心率的最大值为==. 4.如图,已知F1,F2是椭圆C: +=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆C上,线段PF2与圆x2+y2=b2相切于点Q,且点Q为线段PF2的中点,则椭圆C的长轴长是短轴长的________倍. 答案 解析 连结PF1,OQ,则PF1=2OQ=2b,PF1⊥PF2, 由PF+PF=F1F,得(2b)2+(2a-2b)2=(2c)2, 解得=,故=. 5.(2018·江苏省扬州树人学校模拟)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C: +=1(a>b>0)的短轴长为2,离心率为. (1)求椭圆C的方程; (2)已知A为椭圆C的上顶点,点M为x轴正半轴上一点,过点A作AM的垂线AN与椭圆C交于另一点N,若∠AMN=60°,求点M的坐标. 解 (1)因为椭圆C的短轴长为2,离心率为, 所以解得 所以椭圆C的方程为+=1. (2)因为A为椭圆C的上顶点,所以A(0,). 设M(m,0)(m>0),则kAM=-. 又AM⊥AN,所以kAN=, 所以直线AN的方程为y=x+. 由消去y,整理得 (2+3m2)x2+12mx=0, 所以xN=,yN=×+, 所以AN==×, 在Rt△AMN中,由∠AMN=60°,得AN=AM, 所以×=×,解得m=. 所以点M的坐标为. 6.已知椭圆C: +y2=1(常数m>1),点P是C上的动点,M是右顶点,定点A的坐标为(2,0). (1)若M与A重合,求C的焦点坐标; (2)若m=3,求PA的最大值与最小值; (3)若PA的最小值为MA,求m的取值范围. 解 (1)m=2,椭圆方程为+y2=1,c==, ∴左、右焦点坐标为(-,0),(,0). (2)m=3,椭圆方程为+y2=1,设P(x,y),则 PA2=(x-2)2+y2=(x-2)2+1- =2+(-3≤x≤3), ∴当x=时,(PA)min=, 当x=-3时,(PA)max=5. (3)设动点P(x,y),则 PA2=(x-2)2+y2=(x-2)2+1- =2-+5(-m≤x≤m), ∵当x=m时,PA取最小值,且>0, ∴≥m且m>1, 解得1<m≤1+. 7.(2018·江苏)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C过点,焦点为F1(-,0),F2(,0),圆O的直径为F1F2. (1)求椭圆C及圆O的方程; (2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P. ①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点,求点P的坐标; ②直线l与椭圆C交于A,B两点.若△OAB的面积为,求直线l的方程. 解 (1)因为椭圆C的焦点为F1(-,0),F2(,0), 可设椭圆C的方程为+=1(a>b>0). 又点在椭圆C上, 所以解得 因此,椭圆C的方程为+y2=1. 因为圆O的直径为F1F2,所以其方程为x2+y2=3. (2)①设直线l与圆O相切于点P(x0,y0)(x0>0,y0>0), 则x+y=3, 所以直线l的方程为y=-(x-x0)+y0, 即y=-x+. 由消去y,得 (4x+y)x2-24x0x+36-4y=0.(*) 因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点, 所以Δ=(-24x0)2-4(4x+y)·(36-4y) =48y(x-2)=0. 因为x0>0,y0>0, 所以x0=,y0=1. 因此,点P的坐标为(,1). ②因为△OAB的面积为, 所以AB·OP=,从而AB=. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 由(*)得x1,2=, 所以AB2=(x1-x2)2+(y1-y2)2 =·. 因为x+y=3, 所以AB2==,即2x-45x+100=0, 解得x=(x=20舍去),则y=, 代入Δ=48y(x-2)>0,满足题意, 因此点P的坐标为. 所以直线l的方程为y=-x+3,即x+y-3=0. B组 能力提高 8.如图,在平面直角坐标系xOy中,焦点在x轴上的椭圆C: +=1经过点(b,2e),其中e为椭圆C的离心率.过点T(1,0)作斜率为k(k>0)的直线l交椭圆C于A,B两点(A在x轴下方). (1)求椭圆C的标准方程; (2)过点O且平行于l的直线交椭圆C于点M,N,求的值; (3)记直线l与y轴的交点为P.若=,求直线l的斜率k. 解 (1)因为椭圆+=1经过点(b,2e), 所以+=1. 因为e2==,所以+=1. 因为a2=b2+c2,所以+=1. 整理得b4-12b2+32=0, 解得b2=4或b2=8(舍). 所以椭圆C的标准方程为+=1. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2). 因为T(1,0),所以直线l的方程为y=k(x-1). 联立直线l与椭圆方程得 消去y,得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-8=0, 所以x1,2=, 所以 因为MN∥l,所以直线MN的方程为y=kx, 联立直线MN与椭圆方程得 消去y,得(2k2+1)x2=8,解得x2=. 因为MN∥l,所以=. 因为(1-x1)·(x2-1)=-[x1x2-(x1+x2)+1] =, (xM-xN)2=4x2=, 所以= =·=. (3)在y=k(x-1)中,令x=0, 则y=-k,所以P(0,-k), 从而=(-x1,-k-y1),=(x2-1,y2). 因为=, 所以-x1=(x2-1),即x1+x2=. 由 (2)知由 解得x1=,x2=. 因为x1x2=, 所以×=, 整理得50k4-83k2-34=0, 解得k2=2或k2=-(舍). 又因为k>0,所以k=. 9.如图,椭圆C: +=1(a>b>0)的顶点分别为A1,A2,B1,B2, =4,直线y=x+与圆O: x2+y2=b2相切. (1)求椭圆C的离心率; (2)若P是椭圆C上除顶点外的任意一点,直线A1P交y轴于点F,直线A1B1交直线B2P于点E,问直线EF是否过定点.若是,求出该定点的坐标;若不是,请说明理由. 解 (1)因为直线y=x+与圆O相切,由点到直线的距离公式得,==b,即b=1. 又 =4,所以×2a×2b=4,所以a=2, 所以椭圆C的方程为+y2=1, 离心率e==. (2)由题意知直线B2P的斜率存在,设直线B2P的斜率为k,由 (1)可知,A1(-2,0),B1(0,-1),B2(0,1), 则直线B2P的方程为y=kx+1. 由得(1+4k2)x2+8kx=0, 其中xB2=0,所以xP=-. 所以P,易知k≠0,且k≠±. 则直线A1P的斜率 ==-, 直线A1P的方程为y=-(x+2), 令x=0,则y=-,即F. 易知直线A1B1的方程为x+2y+2=0, 由解得 所以E, 所以直线EF的斜率k0==-, 所以直线EF的方程为y=-x-, 即2k(x+y+1)-(y-1)=0, 由得 所以直线EF过定点(-2,1). 精美句子 1、善思则能“从无字句处读书”。 读沙漠,读出了它坦荡豪放的胸怀;读太阳,读出了它普照万物的无私;读春雨,读出了它润物无声的柔情。 读大海,读出了它气势磅礴的豪情。 读石灰,读出了它粉身碎骨不变色的清白。 2、幸福幸福是“临行密密缝,意恐迟迟归”的牵挂;幸福是“春种一粒粟,秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下,悠然见南山”的闲适;幸福是“奇闻共欣赏,疑义相与析”的愉悦。 幸福是“随风潜入夜,润物细无声”的奉献;幸福是“夜来风雨声,花落知多少”的恬淡。 幸福是“零落成泥碾作尘,只有香如故”的圣洁。 幸福是“壮志饥餐胡虏肉,笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。 幸福是“先天下之忧而忧,后天下之乐而乐”的胸怀。 幸福是“人生自古谁无死,留取丹心照汗青”的气节。 3、大自然的语言丰富多彩: 从秋叶的飘零中,我们读出了季节的变换;从归雁的行列中,我读出了集体的力量;从冰雪的消融中,我们读出了春天的脚步;从穿石的滴水中,我们读出了坚持的可贵;从蜂蜜的浓香中,我们读出了勤劳的甜美。 4、成功与失败种子,如果害怕埋没,那它永远不能发芽。 鲜花,如果害怕凋谢,那它永远不能开放。 矿石,如果害怕焚烧(熔炉),那它永远不能成钢(炼成金子)。 蜡烛,如果害怕熄灭(燃烧),那它永远不能发光。 航船,如果害怕风浪,那它永远不能到达彼岸。 5、墙角的花,当你孤芳自赏时,天地便小了。 井底的蛙,当你自我欢唱时,视野便窄了。 笼中的鸟,当你安于供养时,自由便没了。 山中的石! 当你背靠群峰时,意志就坚了。 水中的萍! 当你随波逐流后,根基就没了。 空中的鸟! 当你展翅蓝天中,宇宙就大了。 空中的雁! 当你离开队伍时,危险就大了。 地下的煤! 你燃烧自己后,贡献就大了 6、朋友是什么? 朋友是快乐日子里的一把吉它,尽情地为你弹奏生活的愉悦;朋友是忧伤日子里的一股春风,轻轻地为你拂去心中的愁云。 朋友是成功道路上的一位良师,热情的将你引向阳光的地带;朋友是失败苦闷中的一盏明灯,默默地为你驱赶心灵的阴霾。 7、一粒种子,可以无声无息地在泥土里腐烂掉,也可以长成参天的大树。 一块铀块,可以平庸无奇地在石头里沉睡下去,也可以产生惊天动地的力量。 一个人,可以碌碌无为地在世上厮混日子,也可以让生命发出耀眼的光芒。 8、青春是一首歌,她拨动着我们年轻的心弦;青春是一团火,她点燃了我们沸腾的热血; 青春是一面旗帜,她召唤着我们勇敢前行;青春是一本教科书,她启迪着我们的智慧和心灵。
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- 高考 数学 二轮 复习 专题 解析几何 综合 问题