一元一次方程应用题归类汇集.docx
- 文档编号:13623341
- 上传时间:2023-06-15
- 格式:DOCX
- 页数:54
- 大小:146.03KB
一元一次方程应用题归类汇集.docx
《一元一次方程应用题归类汇集.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《一元一次方程应用题归类汇集.docx(54页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
一元一次方程应用题归类汇集
一元一次方程应用题归类汇集:
(一)行程问题:
行程问题是指有关匀速运动的应用题.这类问题可分为:
①基本行程问题;
②相遇问题;
③追及问题;
④航行问题;
⑤环行问题等等。
但无论怎样变化,都离不开匀速运动基本关系式:
,以及由此推导出来的:
,.现将这几类应用题的解法,通过举例介绍如下:
一基本行程问题.基本行程问题的特点是:
同一人(或物体)在去时与回时的运动过程中,改变了路程、速度或时间;也可以是两人(或两物 体)在同一路程行进中,由于速度不同而导致到达的时间不同.解这类问题时,要抓住总路程或总时间不变,直接运用路程、速度与时间三者之间的关系式.
二、相遇问题.相遇问题的特点是:
两个运动着的人(或物体)从两地沿同一路线相向而行,最终相遇.解这类问题时,要抓住甲、乙同时出发至相遇时的基本等量关系:
(1)甲行的路程+乙行的路程=两地间的路程,即:
甲与乙的速度和×相遇时间=两地间的路程;
(2)同时出发到相遇甲与乙所用的时间相等.
三、追及问题.追及问题的特点是:
两人(或两物体)同时沿同一路线,同一方向运动,慢者在前,快者在后,快者追赶慢者.解这类问题要抓住基本等量关系:
(1)快者行的路程-慢者行的路程=两者间的距离,即:
两者的速度差×追及时间=两者间的距离;
(2)从开始追赶到追及时,快者与慢者所用的时间相等.
四、航行问题.航行问题是一种特殊的行程问题,它的特殊性在于要考虑水速对船速的影响,其基本等量关系是:
(1)船顺流速度=船的速度+水流速度;
(2)船逆流速度=船的速度-水流速度.
五、环行问题.环行问题即封闭路线上的行程问题.如果同时从同一地点出发,到第一次相遇,有两种情况:
同向环行类似追及问题,其基本等量关系是:
快者走的路程-慢者走的路程=环形周长;反向环行类似相遇问题,其基本等量关系是:
快者走的路程+慢者走的路程=环形周长.
数学运算之行程问题专题
行程问题的“三原色”路程、速度、时间。
问题千变万化,归根结底就是这三者之间的变化。
行测问题细分来看有四大类:
一是相遇问题;二是追及问题;三是流水问题;四是相关问题。
1、相遇问题:
相遇问题是行程问题的一种典型应用题,也是相向运动的问题.无论是走路,行车还是物体的移动,总是要涉及到三个量--------路程、速度、时间。
相遇问题的核心就是速度和。
路程、速度、时间三者之间的数量关系,不仅可以表示成:
路程=速度×时间,还可以变形成下两个关系式:
速度=路程÷时间,时间=路程÷速度.
一般的相遇问题:
甲从A地到B地,乙从B地到A地,然后两人在A地到B地之的某处相遇,实质上是甲,乙两人一起了AB这段路程,如果两人同时出发,那有:
(1)甲走的路程+乙走的路程=全程
(2)全程=(甲的速度+乙的速度)×相遇时间=速度和×相遇时间
一.相遇问题一、
相遇问题的基本题型
1、同时出发(两段)
2、不同时出发(三段)
相问题的等量关系
S甲+S乙=S总(全程)
S先+S甲+S乙=S总(全程)
例1.电气机车和磁悬浮列车从相距298千米的两地同时出发相对而行,磁悬浮列车的速度比电气机车的5倍还快20千米/时,半小时后两车相遇,两车的速度各是多少?
分析:
本题有以下相等关系:
(1)
千米(作方程)
(2)
小时(已知量)
(3)
(作题设)
解:
设电气机车速度为x千米/时,则磁悬浮列车速度为
千米/时,依题意得:
解得
答:
电气机车的速度为96千米/时,磁悬浮列车的速度为500千米/例1:
甲、乙两人分别从A、B两地同时出发,相向而行。
如果两人都按原定速度行进,那么4小时相遇;现在两人都比原计划每小时少走1千米,那么5小时相遇。
A、B两地相距多少千米?
【分析】可以想象,如果甲、乙两人以现在的速度(比原计划每小时少走1千米)仍然走4小时,那么他们不能相遇,而是相隔一段路。
这段路的长度是多少呢?
就是两人4小时一共比原来少行的路。
由于以现在的速度行走,他们5小时相遇,换句话说,再行1小时,他们恰好共同行完这段相隔的路。
这样,就能求出他们现在的速度和了。
【解】1×4×2÷(5-4)×5=40(千米)
这道题属于相遇问题,它的基本关系式是:
速度和×时间=(相隔的)路程。
但只有符合“同时出发,相向而行,经过相同时间相遇”这样的特点才能运用上面的关系式。
但在实际问题中、两人可能在不同的时间出发,或因题目的其他条件使一般的相遇问题变得非常复杂,要小心审题,耐心推敲.对于有三个以上人或车同时参与运动的行程问题,在分析其中某两个的运动情况的同时,还要弄清此时此刻另外的人或车处于什么位置,他与前两者有什么关系。
分析复杂的行程问题时,最好画线段图帮助思考理解并熟记下面的结论,对分析、解答复杂的行程问题是有好处的。
例2:
上午9时,小宇和弟弟同时从家出发去学校参加活动,小宇骑自行车,每分钟行300米;弟弟步行、每分钟行70米.小宇到达学校后,呆了30分钟后立即返回家中、途中遇到正前往学校的弟弟时是10时10分.你知道从家到学校有多远吗?
虽然小宇和弟弟同时从家中出发,似乎不符合相遇问题的条件,但在整个的行走过程中隐含著一个相遇问题,即小宇从学校返回,而弟弟正在途中向学校走去,直到两人相遇.我们可以用图示法将二人的行走路线表示出来,以便於理解.从图中可以看出两人共同走的路程是从家到学校路程的2倍.那只需求出两人共走了多少路程,则从家到学校这段路程可求.两人共走的路程,即小宇骑自行车的速度×所走的时间加上弟弟的步行速度×所走的时间解2从9点到10点10分,共有70分钟,因为小宇呆了30分钟所以小宇走了分钟,弟弟一直没停,则弟弟走了70分钟.
答:
从家到学校距离8450米.
例3有甲,乙两列火车,甲车长96米,每秒钟行驶26米,乙车长104米,每秒钟行驶24米,两车相向而行、从甲列车与乙列车车头相遇到车尾分开、需要多少秒钟?
假设乙列车停止不动,那易知甲行走的路程为两个列车的车身长200米.而实际上乙列车没有停,它的速度是24米秒,也就相当於乙列车把它的速度给了甲列车,使自己的速度为0.相当於甲车速度为50米秒,那从相遇到离开的时间=列车长度和/速度和.
例4:
田田坐在行驶的列车上,发现从迎面开来的货车用了6秒钟才通过他窗口,后来田田乘坐的这列火车通过一座234米长的隧道用了13秒.已知货车车长180米,求货车的速度?
田田坐在列车上,货车用6秒通过他的窗口,这是一个相遇问题,是田田与货车相遇,因此与列车车长无关.假设田田不动,则货车行驶了一个货车车长,用时6秒.由速度和=全程/相遇时间,可求田田与货车的速度和,田田的速度即列车的速度.那只需利用下一个过隧道的条件求出列车的速度,此问题可解
例5(用比例关系)学校田径场的环形跑道周长为400米,甲、乙两人同时从跑道上的A点出发背向跑步,两人第一次相遇后,继续往前跑,甲在跑26又2/3秒第一次回到A点,乙再跑1分钟也第一次回到A点,求甲乙两人的速度。
设甲乙二人相遇的时间是X
由题意得知,乙开始X秒所行的距离甲行了:
26又2/3秒
那么甲乙的速度比是:
X:
80/3=3X:
80
甲开始X秒所行的距离乙行了60秒,
即甲乙的速度比也是:
60:
X
所以有:
3X:
80=60:
X
X=40秒
那么甲乙的速度比是:
60:
40=3:
2
又甲乙的速度和是:
400/40=10米/秒
所以甲的速度是:
10*3/[3+2]=6米/秒,乙的速度是:
10*2/5=4米/秒。
2:
追及问题:
两个速度不同的人或车,慢的先行(领先)一段,然后快的去追,经过一段时间快的追上慢的。
这样的问题一般称为追及问题。
有时,快的与慢的从同一地点同时出发,同向而行,经过一段时间快的领先一段路程,我们也把它看作追及问题,因为这两种情况都满足速度差×时间=追及(或领先的)路程。
追及问题的核心就是速度差。
二.追及问题追及问题的基本题型
不同地点同时出发
同一地点不同时出发
追及问题的等量关系
1、追及时快者行驶的路程-慢者行驶的路程=相距的路程
2、追及时快者行驶的路程=慢者行驶的路程或
慢者所用时间=快者所用时间+多用时间追击问题的等量关系:
1)同时不同地:
慢者行的距离+两者之间的距离=快者行的距离
2)同地不同时:
甲行距离=乙行距离或慢者所用时间=快者所用时间+多用时间
:
1、两地相距28公里,小明以15公里/小时的速度。
小亮以30公里/小时的速度,分别骑自行车和开汽车从同一地前往另一地,小明先出发1小时,小亮几小时后才能
追上小明?
解:
设小亮开车x小时后才能追上小明,则小亮所行路
程为30x公里,小明所行路程为15(x+1)
依题意得:
30x=15(x+1)
x=1
则小明共走了2小时,共走了2×15=30公里
例2.跑得快的马每天走240里,跑得慢的马每天走150里,慢马先走12天,快马几天可以追上慢马?
分析:
从同一地方出发,追上的话二者所行路程相等,有以下相等关系:
(作方程)
(已知量)
(作题设)
解:
设快马x天可以追上慢马,依题意得
解得
答:
快马20天可以追上慢马。
例1:
甲、乙两人联系跑步,若让乙先跑12米,则甲经6秒追上乙,若乙比甲先跑2秒,则甲要5秒追上乙,如果乙先跑9秒,甲再追乙,那么10秒后,两人相距多少米?
A.15B.20C.25D.30
【答案】C。
解析:
甲乙的速度差为12÷6=2米/秒,则乙的速度为2×5÷2=5米/秒,如果乙先跑9秒,甲再追乙,那么10秒后,两人相距5×9-2×10=25米。
例2小刚和小强租一条小船,向上游划去,不慎把水壶掉进江中,当他们发现并调过船头时,水壶与船已经相距2千米,假定小船的速度是每小时4千米,水流速度是每小时2千米,那么他们追上水壶需要多少时间?
分析此题是水中追及问题,已知路程差是2千米,船在顺水中的速度是船速+水速.水壶飘流的速度只等于水速。
解:
路程差÷船速=追及时间
2÷4=0.5(小时).
答:
他们二人追回水壶需用0.5小时。
四.环形跑道问题注:
同时同向出发:
快车走的路程-环行跑道周长=慢车走的路程(第一次相遇)同时反向出发:
甲走的路程+乙走的路程=环行周长(第一次相遇)
对于一个环形跑道问题的思考
.一个周长为400米的正方形ABCD跑道,甲在B点,乙在A点,甲的速度是每秒25米,乙的速度是是每秒5米,问多长时间后甲乙第一次相遇?
分析:
因为是环形跑道,所以方向为逆时针,还是顺时针,不知道,所以需要分类讨论.(对于不确定的事情,又合理的问题需要分类讨论)
逆时针时:
可以转化为一般形成问题中的相遇问题。
把BC、CD、AD拉直,问题转化为一般的行程问题:
转化为甲乙相向而行的相遇过程,其中相距的路程是300米.
等量关系:
甲的路程+乙的路程=相距路
顺时针时:
分析:
因为甲的速度快,乙的速度慢,乙是追不上甲的,要想相遇,必须是甲追上乙,转化行程问题的追及问题:
依上图,问题可以转化为:
甲在A点,乙在B点,同时向右跑的追及问题,开始甲乙相距300米.
等量关系:
甲的路程-乙行的路程=相距路程
转化为一般的行程问题后,问题可以迎刃而解。
这里体现了一个数学思想---转化思想,把未知的知识转化为已知的知识,把复杂的问题,转化为简单的问题,是获得新知的一个很重要的手段。
例4.运动场的跑道一圈长400m,甲练习骑自行车,平均每分骑350m,乙练习跑步平均每分跑250m,两人从同一处同时同向出发,经过多长时间两人首次相遇?
分析:
在环形跑道上两人同时同地同向出发,当两人第1次相遇时,快者比慢者刚好多跑一圈,故本题有如下相等关系:
(1)
(作方程)
(2)
(已知量)
(3)
(作题设)
解:
设x分钟后两人首次相遇,依题意得;
解得
答:
4分钟两人首次相遇。
火车过桥问题
1.某列车通过250米长的隧道用25秒,通过210米的铁桥用23秒,该列车与另一列长320米,速度为每小时行64.8千米的火车错车时需要()秒。
2.一列火车长160m,匀速行驶,首先用26s的时间通过甲隧道(即从车头进入口到车尾离开口为止),行驶了100km后又用16s的时间通过乙隧道,到达了某车站,总行程100.352km。
求甲、乙隧道的长?
3.甲、乙两人分别沿铁轨反向而行,此时,一列火车匀速地向甲迎面驶来,列车在甲身旁开过,用了15秒,然后在乙身旁开过,用了17秒,已知两人的步行速度都是3.6千米/小时,这列火车有多长?
---------------------------------------------------------------------
行程问题之火车过桥训练题答案
1、解:
火车过桥问题
公式:
(车长+桥长)/火车车速=火车过桥时间
速度为每小时行64.8千米的火车,每秒的速度为18米/秒,
某列车通过250米长的隧道用25秒,通过210米的铁桥用23秒,则
该火车车速为:
(250-210)/(25-23)=20米/秒
路程差除以时间差等于火车车速.
该火车车长为:
20*25-250=250(米)
或20*23-210=250(米)
所以该列车与另一列长320米,速度为每小时行64.8千米的火车错车时需要的时间为
(320+250)/(18+20)=15(秒)
2、解:
设甲隧道的长度为xm
那么乙隧道的长度是(100.352-100)(单位是千米!
)*1000-x=(352-x)
那么
(x+160)/26=(352-x+160)/16
解出x=256
那么乙隧道的长度是352-256=96
火车过桥问题的基本公式
(火车的长度+桥的长度)/时间=速度
3、解:
从题意得知,甲与火车是一个相遇问题,两者行驶路程的和是火车的长.乙与火车是一个追及问题,两者行驶路程的差是火车的长,因此,先设这列火车的速度为χ米/秒,两人的步行速度3.6千米/小时=1米/秒,所以根据甲与火车相遇计算火车的长为(15χ+1×15)米,根据乙与火车追及计算火车的长为(17χ-1×17)米,两种运算结果火车的长不变,列得方程为
15χ+1×15=17χ-1×17
解得:
χ=16
故火车的长为17×16-1×17=255米
一、填空题
1.一列火车长200米,它以每秒10米的速度穿过200米长的隧道,从车头进入隧道到车尾离开隧道共需要_______时间.
2.某人沿着铁路边的便道步行,一列客车从身后开来,在身旁通过的时间是15秒,客车长105米,每小时速度为28.8千米,求步行人每小时行______千米?
3.一人以每分钟60米的速度沿铁路步行,一列长144米的客车对面开来,从他身边通过用了8秒钟,列车的速度是______米/秒.
4.马路上有一辆车身为15米的公共汽车,由东向西行驶,车速为每小时18千米,马路一旁的人行道上有甲、乙两名年轻人正在练长跑,甲由东向西跑,乙由西向东跑.某一时刻,汽车追上甲,6秒钟后汽车离开了甲;半分钟之后汽车遇到迎面跑来的乙;又过了2秒钟,汽车离开了乙.问再过_____秒后,甲、乙两人相遇.
5.一列火车长700米,以每分钟400米的速度通过一座长900米的大桥.从车头上桥到车尾离要_____分钟.
6.一支队伍1200米长,以每分钟80米的速度行进.队伍前面的联络员用6分钟的时间跑到队伍末尾传达命令.问联络员每分钟行_____米.
7.一列火车通过530米的桥需40秒钟,以同样的速度穿过380米的山洞需30秒钟.求这列火车的速度是______米/秒,全长是_____米.
8.已知车长182米,每秒行20米,慢车长1034米,每秒行18米.两车同向而行,当快车车尾接慢车车头时,称快车穿过慢车,则快车穿过慢车的时间是_____秒.
9.一座铁路桥全长1200米,一列火车开过大桥需花费75秒;火车开过路旁电杆,只要花费15秒,那么火车全长是_______米.
10.铁路沿线的电杆间隔是40米,某旅客在运行的火车中,从看到第一根电线杆到看到第51根电线杆正好是2分钟,火车每小时行______千米.
二、解答题
1.一个人站在铁道旁,听见行近来的火车鸣汽笛声后,再过57秒钟火车经过他面前.已知火车汽笛时离他1360米;(轨道是笔直的)声速是每秒钟340米,求火车的速度?
(得数保留整数)
2.某人沿着铁路边的便道步行,一列客车从身后开来,在身旁通过的时间是15秒钟,客车长105米,每小时速度为28.8千米.求步行人每小时行多少千米?
3.一人以每分钟60米的速度沿铁路边步行,一列长144米的客车对面而来,从他身边通过用了8秒钟,求列车的速度.
4.一条单线铁路上有A,B,C,D,E5个车站,它们之间的路程如图所示(单位:
千米).两列火车同时从A,E两站相对开出,从A站开出的每小时行60千米,从E站开出的每小时行50千米.由于单线铁路上只有车站才铺有停车的轨道,要使对面开来的列车通过,必须在车站停车,才能让开行车轨道.因此,应安排哪个站相遇,才能使停车等候的时间最短.先到这一站的那一列火车至少需要停车多少分钟?
1. 火车拉汽笛时离这个人1360米.因为声速每秒种340米,所以这个人听见汽笛声时,经过了(1360÷340=)4秒.可见火车行1360米用了(57+4=)61秒,将距离除以时间可求出火车的速度.
1360÷(57+1360÷340)=1360÷61≈22(米)
2. 火车=28.8×1000÷3600=8(米/秒)
人步行15秒的距离=车行15秒的距离-车身长.
(8×15-105)÷15=1(米/秒)
1×60×60=3600(米/小时)=3.6(千米/小时)
答:
人步行每小时3.6千米.
3. 人8秒走的距离=车身长-车8秒走的距离
(144-60÷60×8)÷8=17(米/秒)
答:
列车速度是每秒17米.
4. 两列火车同时从A,E两站相对开出,假设途中都不停.可求出两车相遇的地点,从而知道应在哪一个车站停车等待时间最短.
从图中可知,AE的距离是:
225+25+15+230=495(千米)
两车相遇所用的时间是:
495÷(60+50)=4.5(小时)
相遇处距A站的距离是:
60×4.5=270(千米)
而A,D两站的距离为:
225+25+15=265(千米)
由于270千米>265千米,因此从A站开出的火车应安排在D站相遇,才能使停车等待的时间最短.
因为相遇处离D站距离为270-265=5(千米),那么,先到达D站的火车至少需要等待:
(小时)
小时=11分钟
此题还有别的解法,同学们自己去想一想.
一、填空题
1.火车过隧道,就是从车头进隧道到车尾离开隧道止.如图所示,火车通过隧道时所行的总距离为:
隧道长+车长.
(200+200)÷10=40(秒)
答:
从车头进入隧道到车尾离开共需40秒.
2.根据题意,火车和人在同向前进,这是一个火车追人的“追及问题”.
由图示可知:
人步行15秒钟走的距离=车15秒钟走的距离-车身长.
所以,步行人速度×15=28.8×1000÷(60×60)×15-105
步行人速度=[28.8×1000÷(60×60)-105]÷5=1(米/秒)
=3.6(千米/小时)
答:
步行人每小时行3.6千米.
3.客车与人是相向行程问题,可以把人看作是有速度而无长度的火车,利用火车相遇问题:
两车身长÷两车速之和=时间,可知,
两车速之和=两车身长÷时间
=(144+0)÷8
=18.
人的速度=60米/分
=1米/秒.
车的速度=18-1
=17(米/秒).
答:
客车速度是每秒17米.
4.
(1)先把车速换算成每秒钟行多少米?
18×1000÷3600=5(米).
(2)求甲的速度.汽车与甲同向而行,是追及问题.甲行6秒钟的距离=车行6秒钟的距离-车身长.
所以,甲速×6=5×6-15,
甲速=(5×6-15)÷6=2.5(米/每秒).
(3)求乙的速度.汽车与乙相向而行,是相向行程问题.乙行2秒的距离=车身长-车行2秒钟的距离.
乙速×2=15-5×2,
乙速=(15-5×2)÷2=2.5(米/每秒).
(4)汽车从离开甲到离开乙之间的时间是多少?
0.5×60+2=32秒.
(5)汽车离开乙时,甲、乙两人之间的距离是多少?
(5-2.5)×(0.5×60+2)=80(米).
(6)甲、乙两人相遇时间是多少?
80÷(2.5+2.5)=16(秒).
答:
再过16秒钟以后,甲、乙两人相遇.
5.从车头上桥到车尾离桥要4分钟.
6.队伍6分钟向前进80×6=480米,队伍长1200米,6分钟前进了480米,所以联络员6分钟走的路程是:
1200-480=720(米)
720÷6=120(米/分)
答:
联络员每分钟行120米.
7.火车的速度是每秒15米,车长70米.
8.1034÷(20-18)=517(秒)
9.火车速度是:
1200÷60=20(米/秒)
火车全长是:
20×15=300(米)
10.40×(51-1)÷2×60÷1000=60(千米/小时)
二、解答题
11.火车拉汽笛时离这个人1360米.因为声速每秒种340米,所以这个人听见汽笛声时,经过了(1360÷340=)4秒.可见火车行1360米用了(57+4=)61秒,将距离除以时间可求出火车的速度.
1360÷(57+1360÷340)=1360÷61≈22(米)
12.火车=28.8×1000÷3600=8(米/秒)
人步行15秒的距离=车行15秒的距离-车身长.
(8×15-105)÷15=1(米/秒)
1×60×60=3600(米/小时)=3.6(千米/小时)
答:
人步行每小时3.6千米.
13.人8秒走的距离=车身长-车8秒走的距离
(144-60÷60×8)÷8=17(米/秒)
答:
列车速度是每秒17米.
14.两列火车同时从A,E两站相对开出,假设途中都不停.可求出两车相遇的地点,从而知道应在哪一个车站停车等待时间最短.
从图中可知,AE的距离是:
225+25+15+230=495(千米)
两车相遇所用的时间是:
495÷(60+50)=4.5(小时)
相遇处距A站的距离是:
60×4.5=270(千米)
而A,D两站的距离为:
225+25+15=265(千米)
由于270千米>265千米,因此从A站开出的火车应安排在D站相遇,才能使停车等待的时间最短.
因为相遇处离D站距离为270-265=5(千米),那么,先到达D站的火车至少需要等待:
(小时)
小时=11分钟
此题还有别的解法,同学们自己去想一想.
3、流水问题。
船在江河里航行时,除了本身的前进速度外,还受到流水的推送或顶逆,在这种情况下计算船只的航行速度、时间和所行的路程,叫做流水行船问题。
流水行船问题,是行程问题中的一种,因此行程问题中三个量(速度、时间、路程)的关系在这里将要反复用到.此外,流水行船问题还有以下两个基本
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 一元一次方程 应用题 归类 汇集