几何画板应用举例.docx
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几何画板应用举例.docx
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几何画板应用举例
“几何画板”应用范例
一、定义某区上的函数图像
学习用几何画板画定义在某区间上的函数图像。
①建立直角坐标系,在X轴上取两点C、D,并连接线段CD。
②在线段CD上取一点E,度量出E点的坐标,分离出E点的横坐标,利用计算器计算出Sin(XE)的值,并用“参数设置”把角度单位设置成“弧度”。
③选择XE、Sin(XE)度量值,并绘出(X、Y),屏幕上出现一点F,同时选择点E、F(无先后),选择【图表】中的【轨迹】,这时就出现了函数Y=SinX的图像,可以设置合适的颜色和线型。
④按住Nomlock键,利用【文本工具】同时双击Sin(XE)度量值,进入数学编辑状态,可修改成Y=SinX=。
⑤拖动C、D两点可以改变区间的大小及端点值。
二、图形与图像的结合
“以一个面积最大值应用题”为例,进一步理解函数图像的制作方法,了解函数图像在教学中的应用。
①建立直角坐标系,在X轴上任取一点C,在第一象限取一点D,作出△ACD。
②在线段AC上任取一点E,同时选择点E、线段AC,过E点作出直线AC的垂线,交AC于F点,过点F作AC的平行线交CD与G点,过G点作AC的垂线交AC于H。
③同时选择E、F、G、H填充多边形,并度量出矩形EFGH的面积,同时度量出线段AE的长度。
④同时选择AE,面积EFGH的度量值,选择【绘图】菜单中的【绘制点】选项,绘出点(X、Y),屏幕上出现点I,同时选择点E、T,作出T的轨迹,拖动主动点E,观察四边形EFGH的面积及线段AE长度的大小,可以表现出函数值何时最大。
三、函数图像的变换
“以Y=Asin(X-)图像的变换”制作为例,进一步学习带参数的函数图像的制作,用“移动”按钮组成的“系列”按钮控制函数图像的变换。
①建立直角坐标系,用【图表】菜单中的【绘制点】选项,分别作出C(-12,0)、D(-10,0)两点,同时先后选择C、D两点作出圆C。
②双击C点,标记“旋转中心”,选择D点,“旋转”60°得到点D',在圆C上任取点E,连接CE,先后选择点E、D,制作E移动到点D的移动按钮【→移动E→D】,类似地,作出点E移动到点D'移动按钮【→移动E→D】。
③先后选择点D、E圆(周)、C,作出圆弧DE,选择圆弧DE,并度量出弧度角,并按住Numlock键,用【文本编辑】工具双击“弧度角”的度量值,单位设为“弧度”,弹出“编辑数学格式文本”,改为“θ=”。
④利用【图表】菜单中的【绘制点】选项,作出F(0,5),G(0,1)两点,在Y轴上取一点H,计算出H的坐标,并分离出其纵坐标。
并把YH标签改为A,分别作出一个点H“慢速”移动到F的移动按钮【→移动H→F】,点H“快速”移到按钮【→移动H→G】。
⑤在X轴上任取一点I,计算出其坐标,并分离出横坐标XI,计算出Asin(X-)的值。
⑥先后选择XI及Asin(X-)度量值,绘出点J,同时选择点I与J描绘出J点的轨迹,作出函数Y=ASin(X-θ)。
⑦选择移动按钮【→移动E→D¹】与【→移动H→F】,作出一个【系列】按钮并改名为“先平移后振幅变换”,同样,选择移动按钮与【→移动H→G】,作出一个【系列】按钮,并改名为“还原”。
四、根据双曲线的参数方程作双曲线
双曲线的参数方程是X=asecθ(θ为参数),学习根据双曲线的参数方程作出曲线的两Y=btyθ
种方法。
一种为几何法,一种是代数法。
1.几何法
①建立直角坐标系,以圆点A为圆心画一个大圆A,使控制点C落在X轴的正半轴上,画一个小圆A,使控制点D落在Y轴的正半轴上。
②在大圆上任取一点E,作出直线AE,过E点作出AE的垂线,交X轴于F点,过F点作X轴的垂线,作出小圆A与X轴的正半轴的交点G,过G点作X轴的垂线,交AE于H点,过H作X轴的平行线,交过F点的X轴的垂线于I点。
③同时选择点E、I作出I点的轨迹,即可得到双曲线,可给双曲线设置适当的线型、颜色。
2.代数法
①建立直角坐标系,在X轴的正半轴上任取一点C,Y轴的正半轴上取一点D,度量出AC与AD的长度值。
②选择A、B两点,作一个单位圆A,在单位圆A上任取一点E,先后选择B、E和圆A,作出圆弧BE,并度量出∠BAE的大小。
③分别计算出AC/cos(∠BAE),Ad*tg(∠BAE)的值。
④先后选择AC/cos(∠BAE)、Ad*tg(∠BAE)两个度量值,绘出点F(X、Y),先后选择点E、F,描出F点轨迹,作出双曲线。
五、让几何体转动起来
用水平放置的方法几何体转动起来,了解几何画板在立体几何中的应用。
①画圆A,隐藏B点,在圆A上任取一点C,连接AC,同时选择点A,线段AC,作出过A点的线段AC的垂线K。
在直线K上任取一点D,以A为圆心,过点D作小圆A。
②在大圆A上任取一点E,连接半径AE,与小圆A交于F点,过E作AC的垂线,过F作AC的平行线,两线交于G点。
③双击点A,把A标识为“旋转中心”,选择点E、F、线段AE,旋转90°,得到E'、F'及线段AE',(F'为AE'与小圆的交点),类似上步操作,可得到E″、F″及AE″,E''′、F'''及AE'''。
④过点E′作AC的垂线,点F'作AC的平行线,两线交于H点,类似地对E″、F″、E'''、F'''进行同样操作,得到点I、J,连接GH、HJ、JG得到平行四边形GHIJ。
⑤在直线AD上任取一点K,先后选择点A、K,标记向量AK【标记向量“A→K”】。
选择四边形GHIJ的四个顶点,按标记向量AK进行平移,得到四边形G'H'I'J',连接GG'、HH'、JG'、JJ'。
⑥选择点C、大圆A,制作动画按钮,并改名为“绕A旋转”;选择点E、大圆A,制作动画按钮,并改名为“绕高AK旋转”。
可以填充适当的颜色,拖动D点,使四棱柱具有较好的形状。
六、转动几何体中虚线的制作
学习使用在转动几何体中应该显示虚线的位置,在转动过程中总显示虚线的制作方法;几何上的“分段函数”的使用。
①画圆A(圆C1),在圆上任取一点C,制作点C在圆C上的运动的【动画】按钮,作出半径AC,过A点作AC的垂线(K),画一个小圆AD(圆C),使D点在直线K上。
②双击点A,标记为“旋转中心”,把点C旋转45°,得到C',再把C'旋转90°得到C″,先后选择点C'、C″、圆C1,作圆弧C'C″(弧a1),同法作出优弧C″C'(a2)。
③在小圆AD上画一点E,制作E在小圆AD上运动的【动画】按钮,作射线AE交大圆与优弧a2于F点,把射线AE(不包括E、F点),绕A点旋转90°得到E″F',再继续旋转90°,得到E'''、F'''。
④过点F,作半径AC的垂线,过点E作AC的平行线,两点交于G点,并及时隐藏两直线,对F'、E',F″、E″,F'''、E'''用完全类似地方法,得到H、I、J三点。
连接线段GH、HJ、IJ、JG得到一个四边形GHIJ。
⑤在直线AD上任取一点K,标记向量AK,选择四边形GHIJ的四条边,四个顶点,依标记向量AK平移,得到四边形G'H'I'J',连接GG'、HH'、II'、JJ',得到四棱柱,并把HI、HG、HH'设成虚线。
⑥缓慢拖动点E在小圆AD上逆时针转动,使点F位于劣弧a1上,这时整个四棱柱消失得只剩四边形IJJ'I,其余的不见了,这时分别作出射线AE与劣弧a1的交点L,作出AE与优弧a2的交点M,对点L与E,点M与E′按与第④步相同的方法得到两点P、Q,完成四边形PQIJ,并把它按标记向量AK平移,连接各线段,作出四棱柱,并把PQ、PI、PP′都设成虚线。
⑦继续旋转E点,使C转过点C″,四棱柱只剩下四边形QII'Q及线段GG',同样的方法,作出射线AE'''与劣弧的交点R,对R、E'''按与第④步操作相同的方法得到S点,并把它按标记的向量平移得到S',完成四棱柱,把SG、SI、SS'设成虚线。
⑧继续旋转E点,使R转过C″,R点消失,作出射线AE″与劣弧a1交点T,对T、E''按与第④步操作相同的方法得到点U,并按标记向量AK平移得到U'点,完成四棱柱的制作,并把UJ、UQ、UU'设置成虚线,隐藏所有的标签及不必要的对象,得到符合条件的四棱柱,虚线的设置制作完成。
⑨把C点在大圆运动的【动画】按钮,改名为“绕A点转动”,把E点在小圆AD上的【动画】按钮改名为“绕AK转动”。
七、极坐标系中的曲线
通过玫瑰线“ρ=Kcon(nθ)的制作学习极坐标系中曲线的作法。
①建立极坐标系,选【图表】菜单中的【绘制点】,绘出点C(5,-л/2),过C作出极轴的平行线,(直线J),在直线J上取两点D、E,度量出D、E间的距离,如DE=1.37cm.
②在极轴上取一点F,量出F极坐标,并分离出F的极半径,rf=3.56cm。
③作出以极点A为圆心经过单位点B的圆A,在圆A上任取一点G,连接AG。
④先后选择B、A(极点)、G,度量出∠BAG的大小,如∠BAG=55.4°,把角度单位设置成“弧度”,利用计算器,计算出rfCoS(DE·∠BAG)的值。
⑤先后选择rfCoS(DE·∠BAG)与∠BAG的度量值,选择【图表】中的【按(r,theta)绘制】,绘制出点H,选择G、H,描出H点的轨迹,并设置合适的颜色和线型.
⑥ 拖动点E,改变DE的长度,可以看到“玫瑰花”的花瓣是怎样长出来的。
八.分段函数的图像
学习利用函数制作分段函数图像的方法。
设分段函数为F(x)=x2(a<x≤t )
1-(x-1)2(t<x<b)
①建立直角坐标系,在X轴取两点C、D,隐藏坐标系,作出线段CD,在线段CD上画两点E、F(F在E的右边),选择E、F两点,度量出其坐标值,并分离出这两点的横坐标。
②假设函数的定义域是由点C横坐标Xc到点D的横坐标XD范围确定的。
E点的横坐标XE为分界点,在区间(Xc、XE)上函数表达式为Y=X2,在区间(XE、XD)上函数表达式为Y=1-(X-1)2,XF是自变量的一个值。
③利用计算器,计算符号函数Sgn,Sgn(XE-XF)=1.0,Sgn(XE-XF)=-1.00;
再计算出(Sgn(XE-XF)+1)/2=1.00,(Sgn(XF-XE)+1)/2=0.00;
再计算(Sgn(XE-XF)+1)/2*XF2+(Sgn(XF-XE)+1)/2*(1-(XF-1)2)
即F(XF)的值。
④显示坐标轴,先后选择XF、F(XF)的度量值,绘出点G(XF,F(XF)),同样选择X、G点,描出G的轨迹,即是分段函数F(X)的图像。
⑤为使两个区间的连接处函数值相等,先后选择点E、B,制作一个使E移动到B的移动按钮【→移动E→B】,双击这个按钮可使F移动B点。
若为三段分段函数如F(X)= f1(X)(x<a)
f2(x)(a≤x≤b)
f3(x)(x>b)
则可用F(x)={[(Sgn(XA-X)+1)/2]*f1(x)+[(Sgn(X-XA)+1)/2]*f2(x)}*[(Sgn(XB-X)+1)/2]+[(Sgn(X-XB)+1)/2]*f3(x)
也可用F(x)=[(Sgn(XA-X)+1)/2]*f1(x)+[(Sgn(X-XA)+(Sgn(XB-X))/2]*f2(x)+[(Sgn(X-XB)+1)/2]*f3(x)
九、凸轮的旋转
通过制作的凸轮的旋转,学习使曲线转动的方法。
①建立极坐标系,作出一个单位圆A,在单位圆A上任取一点G,用线段连接AG,度量出∠BAG的弧度数,设θ=∠BAG(角度单位设成“弧度”)。
②作线段CD,在CD上任取两点E、F,设CE=a,CF=b,并度量出它的长度值。
③计算a+b|θ|,作出点H(a+b|θ|,θ),同时选择点G、H,描出H点的轨迹,即是一个凸轮。
④在画板其它的位置上任画一点I,过I作X轴的平行线n,作线段AG的平行线P,在原凸轮上任画一点J,用线段连接AJ,标记∠BAJ,标记I为旋转中心,把直线P绕点I按照标记的∠BAJ旋转得到直线P′。
⑤以I为圆心,以线段AJ为半径画圆I,作出圆I与直线P'交点。
同时选择J、K,描出K的轨迹,即可作出可以旋转的凸轮。
⑥制作点G在单位圆A上运动的【动画】按钮,拖动点G或双击【动画】按钮,左上方的凸轮将围绕点I旋转。
⑦以I为圆心,以AH为半径画圆I,作出圆与直线n的交点L,点M是n上的点,若IM为定长,当凸轮旋转时,点L来回移动,可以表现凸轮的顶杆现象,LM为顶杆,点L是被顶物体的一个固定点。
做凸轮等曲线转动的方法很多,也可以利用平移点围绕“旋转中心”转动的情况进行转动。
十.光的反射、全反射、折射
简要步骤:
①作一个比较大的长方形ABCD作为另一种介质(如玻璃介质n=1.414),设置适当的颜色。
在AB边取中点E,以中点E为圆心、线段AE为半径画圆,在圆上任取一点S,连接SE作为入射光线。
②过点E作AB的垂线,作为入射点E的法线J并设为虚线,把它标记为镜面,选择线段SE,根据标记的镜面反射得到S'E,即为反射光线。
③作出直线J与圆的两个交点G、H,度量∠GES的大小,计算出Sin-1(Sin(∠GES)*1.414)的大小(即为折射角的大小),计算出Sin-1(1/1.44)的大小(即临界值Ic的大小)。
④双击E点为旋转中心,标记角Ic,G点,按标记的角顺时针旋转得到G'点,制作一个S点移动到点G'移动按钮,并改名为全反射。
标记角J、H点,按标记的角顺时针旋转,得到H'点,连接H'E,即为折射光线。
⑤拖动S点在圆上运动即可验证反射、折射、全反射定律。
对该课件进行适当的修饰:
把光线加上箭头,把不必要的对象隐藏起来,加入必要的说明即可。
十一.纵波的演示
①建立直角坐标系。
在左上角作两条水平线段CD、EF,一条竖直线段GH,在y轴上任取两点,过这两点作出平行于X轴的两条直线m、n,在直线m上任取一点I,以I为圆心,CD为半径画圆,在圆上任取一点J,连接IJ,在直线n上任取一点K。
②打开一个新的记录文件,单击【录制】按钮,开始录制。
③标记向量EF,把点K按标记的向量移动得到K'点,双击圆心点I,把J点逆时针(或顺时针)方向旋转30°,得到J'。
设置为红色,过J点作直线m的垂线,得到交点L,标记向量IL,选择K点,按标记的向量IL平移得到M点,标记向量HG,选择M点,按标记的向量HG移动,得到M'点,连接MM'.
④选择点K、E、F、J、直线m、点I、H、G,单击循环,选择需要隐藏的对象,单击[停止]按钮,录制完成。
⑤同时选择点K、E、F、J'、直线m、点I、H、G各个对象,单击记录文件中的[播放]按钮,在设置深度中选择“11”次,确定即可。
⑥选择点J、B圆I,制作【动画】按钮,并改名为“纵波演示”。
⑦选择K与第12个移动点标记为向量KM''''''''''',全部选择MM'等12条线段,按标记的向量移动,即可得到另一个周期的纵波图像。
隐藏不必要的图象即可。
十二.透镜成像光路图
1.凸透镜成像光路图
①建立直角坐标系,过原点作一直线m(作为主光轴),将原点O分别向上、向下各平移3cm得O'、O'',连接O'O″,并设置好箭头,作好凸透镜。
②把原点O分别向左、右平移3cm,6cm作为凸透镜的焦点F和2F,过OF向左作射线n。
③在射线n上任取一点A,并把A点向上平移2cm得到工A',连接A、A',设置为粗线,作好箭头作为物。
④过A'作直线m的平行射线,交O'O″于C点,连接AC,并隐藏射线,过CF(右边)作射线,过A'O作射线,与射线CF相交于点B',过B'直线m的垂线,交m于一点B,连接BB',即为像的位置,作好箭头即为像
⑤过A'F(左边)作射线交OO''于D点,并隐藏射线,过D点作平行于直线m的射线。
⑥选择A点、射线n制作动画按钮,选择点A、2F,制作一个移动按钮,选择点A、F,制作一个移动按钮,这样一个凸透镜成像的课件即作好了。
2、凹透镜成像光路图
①前③当同前面的步骤,仅把透镜的箭头方向改为凹透镜即可。
②过A'点作直线m的平行线,设置为虚线,交O'O''于C点,连接A'C,设为粗线,隐藏该射线,过FC作射线,设置为虚线,在透镜右边的该射线上任取一点E,作射线CE,并设置成粗线,作为出射光线。
过A'点作射线A'O,设为粗线,与射线FC的交点为B',过B'作直线m的垂线,交直线m于B点,连接B'B,设为虚线,即得到所成的虚像,隐藏该垂线。
③连接A'F(右边),设为虚线交O'O''于G点,连接A'G,设为粗线,过G点作直线m的平行线L在透镜右边的直线L上任取一点H,,过G点作射线GH,设为粗线,隐藏直线L,连接B'G,设为虚线。
④选择A点,射线OA,制作动画按钮,双击动画按钮,即可得到凹透镜的成像规律。
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