《角平分线模型》.docx
- 文档编号:13566354
- 上传时间:2023-06-15
- 格式:DOCX
- 页数:14
- 大小:294.93KB
《角平分线模型》.docx
《《角平分线模型》.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《《角平分线模型》.docx(14页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
《角平分线模型》
角平分线模型的构造
角平分线
(I)定义:
如图2T,如果ZAOB=ZBOC,那么ZAOC二2ZAOB二2ZBOC,像OB这样,从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线,叫作这个角的角平分线.
图2・1
(2)角平分线的性质定理
1如果一条射线是一个角的平分线,那么它把这个角分成两个相等的角,
2在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
(3)角平分线的判定定理
1在角的内部,如果一条射线的端点与角的顶点重合,且把一个角分成两个等角,那么这条射线是这个角的平分线,
2在角的内部,到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上,与角平分线有关的常用辅助线作法,即角平分线的四大基本模型,
已知P是ZMoN平分线上一点,⑴若PA丄OM于点A,如图2-2(a),可以过P点作PB丄ON于点B,
则PB二PA.可记为“图中有角平分线,可向两边作垂线”.
⑵若点A是射线OM上任意一点,如图2-2(b),可以在ON上截取
OB二0A,连接PB,构造△OPBSZ∖opa.可记为“图中有角平分线,可以将图对折看,对称以后关系现”.
⑶若AP丄OP于点P,如图2-2(C),可以延长AP交ON于点B,构造
ΔA0B是等腰三角形,P是底边AB的中点,可记为“角平分线加垂线,三线合一试试看”.
⑷若过P点作PQ//ON交OM于点Q,如图2-2(d),可以构造APOQ
是等腰三角形,可记为“角平分线十平行线,等腰三角形必呈现”.
Cl)如图2-3(a),在Z∖ABC中,ZC=90o,AD平分ZCAB,BC=6cm,BD=4cm,
那么点D
到直线AB的距离是()cm.
(2)如图2-3(b),已知:
Z1=∠2,Z3二Z4,
求证:
AP平分ZBAC.
如图2-4(a),RtΔABC中,ZACB=90o,CD丄AB,垂足为D・AF平分
ZCAB,交CD于点E,交CB于点F
⑴求证:
CE=CF.
图2・4(a)
⑵将图2-4(a)中的AADE沿AB向右平移到AA,DE*的位置,使点E-落在BC边上,其它条件不变,如图2-4⑹所示.试猜想:
BE'与CF有怎样的数量关系请证明你的结论.
阅读下列学习材料:
如图2-5(a)所示,OP平分ZMON,A为OM上一点,C为OP上一点,连接AC,在射线ON上截取OB二0A,连接BC(如图2-5(b)),易证△AOCMBOC.
请根据上面的学习材料,解答下列各题:
(I)如图2-5(C)所示,在Z∖ABC中,AD是ABAC的外角平分线,P是
AD上异于点A的任意一点,试比较PB+PC与AB+AC的大小,并说明理由.
图2・5(C)
⑵如图2-5(d)所示,AD是AABC的内角平分线,其它条件不变,试比较PC—PB与AC-AB的大小,并说明理由.
图2・6(a)
⑴如图2-7(a),BD、CE分别是AABC的外角平分线,过点A作ADJLBD.AE丄CE,垂足分别为D、E,连接DE.
求证:
DE∕/BC,DE=I(AB+BC+AC):
2
(2)如图2-7(b),BD、CE分别是AABC的内角平分线,其它条件不变;
图2・7(b)
C
(3)如图2-7(c),BD为AABC的内角平分线,CE为Z∖ABC的外角平分线,其它条件不变,则在图2-7(b)、图2-7(C)两种情况下,DE与BC还平行吗它与AABC三边又有怎样的数量关系请写出你的猜测,并对其中的一种情况进行证明。
变式如图2-8,在AABC中,AB≡3AC,ZBAC的平分线交BC于点D,过点
B作BE丄AD,垂足为E,求证:
AD=DE
如图2-9(a),AB二AC,BD,CD分别平分ZABC,ZACB.问:
(I)图2-9(a)中有几个等腰三角形
⑵过D点作EF√BC,如图2-9(b),交AB于点E,交AC于点F,图中又增加了几个等腰三角形
(3)如图2-9(C),若将题中的AABC改为不等边三角形,其他条件不变,图中有几个等腰三角形直接写出线段EF与BE、CF有什么关系
⑷如图2-9(d),BD平分ZABC,CD平分外角ZACG.DE〃BC交AB于
点E,交AC于点F线段EF与BE、CF有什么关系并说明理由.
⑸如图2-9(e),BD、CD为外角ZCBM、ZBCN的平分线,DE√BC交
AB延长线于点E,交AC延长线于点F,直接写出线段EF与BE、CF
有什么关系
例7如图2-10(a)所示,已知Z∖ABC中,AC二BC,ZC二90°,AD平分
ZCAB,
求证:
AB=ACD
图240(a)
变式1
如图2-门所示,已知AABC中,AB二AC,
ZA=IO8o,BD平分∠ABC.
求证:
BC=AB+CD.
图2・11
变式2如图2-12,已知ZiABC中,AB=AC,∠A≡l00o,BD平分ZABG求证:
BC=BD+AD.
如图2-13(a),OP是ZMON的平分线,请你利用该图形画一对以OP
所在直线为对称轴的全等三角形,
请你参考上图构造全等三角形的方法,解答下列问题:
⑴如图2-13(b),在Z∖ABC中,ZACB是直角,ZB=60o,AD、CE分别是ZBAC.ZBCA的平分线,AD、CE相交于点F.请你判断写出FE与FD之间的数量关系;
(2)如图2-13(c),在AABC中,如果ZACB不是直角,而(I)中的其他条件不变,请问,你在
(1)中所得结论是否依然成立若成立请证明;若不成立,请说明理由.
B
E
≡2-13(C)
牛刀小试⑴如图2-14(a),在Z∖ABC中,ZABC与ZACB的角平分线相交于点
F,过点F作DF∕/BC,交AB于点D,交AC于点E,若BD+CE=9,则线
段DE之长为()
(2)如图2-14(b),在Z∖ABC中,BD、CD分别平分ZABC和ZACB,DE
〃AB,FD∕/AC.,BC二6,求ZWEF的周长,
图2-14(b)
2.已知:
如图2-15,ZBAD=ZCAD,AB>AC,CD丄AD于点是BC中点.
求证:
DH=I(AB-AC).
3、已知如图2-16,四边形ABCD中,∠B+=D≡180o,BC=CD.
求证:
AC平分ZBAD.
4•如图2-17,ΔABC的外角/ACD的平分线CP与内角ZABC的平分线
BP交于点P,连接AP、CP,若ZBPC二40。
,求ZCAP的度数.
5・已知:
如图2-18,在四边形中,BC>AB,AD二CD,BD平分∠ABC.
求证:
ZA+ZC=180o
6.在平行四边形ABCD中,ZBAD的平分线交直线BC于点E,交直线
DC于点F.
⑴在图2-19(a)中证明CE=CF;
B
图2-19(a)
(2)若∠ABC=90o,G是EF的中点(如图2-19(b),直接写出ZBDG的
度数;
⑶若ZABC=120o,FG√CE,FG=CE,分别连接DB、DG(如图2-19
(c),求ZBDG的度数.
D
B
7.已知:
如图2-20,在Z∖0DC中,ZD—90°,EC是ZDCo的角平分线,且OE=CE,过点E作EF丄OC交OC于点F.猜想:
线段EF与OD之间的关系,并证明.
8.已知:
如图2-21,在四边形ABCD中,AB+BC=CD+DA,ZABC的外
角角平分线与ZCDA的外角平分线交于点P,
求证:
ZAPB二ZCPD.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 角平分线模型 平分线 模型