春北师大版九年级数学中考一轮复习《全等三角形》培优提升专题训练2附答案.docx
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春北师大版九年级数学中考一轮复习《全等三角形》培优提升专题训练2附答案
2022年春北师大版九年级数学中考一轮复习《全等三角形》培优提升专题训练2(附答案)
1.如图,在△ABC中,AH是高,AE∥BC,AB=AE,在AB边上取点D,连接DE,DE=AC,若S△ABC=5S△ADE,BH=1,则BC= .
2.如图,已知四边形ABCD中,AB=10cm,BC=8cm,CD=12cm,∠B=∠C,点E为AB的中点.如果点P在线段BC上以3cm/s的速度沿B﹣C﹣B运动,同时,点Q在线段CD上由C点向D点运动.当点Q的运动速度为 cm/s时,能够使△BPE与△CQP全等.
3.如图,BD是△ABC的内角平分线,CE是△ABC的外角平分线,过A分别作AF⊥BD、AG⊥CE,垂足分别为F、G,连接FG,若AB=6,AC=5,BC=4,则FG的长度为 .
4.如图,在等边△ABC中,点D、E分别在边AC、BC上,AD=CE,连接BD,AE,点M、N分别在线段BE、BD上,满足BM=BN,MN=ME,若∠DBC:
∠BEN=8:
7,则∠AEN的度数为 .
5.如图,△ABC中,一内角和一外角的平分线交于点D,连结AD,∠BDC=24°,∠CAD= .
6.已知:
△ABC是三边都不相等的三角形,点P是三个内角平分线的交点,点O是三边垂直平分线的交点,当P、O同时在不等边△ABC的内部时,那么∠BOC和∠BPC的数量关系是:
∠BOC= .
7.已知:
如图,BD为△ABC的角平分线,且BD=BC,E为BD延长线上的一点,BE=BA,过E作EF⊥AB,F为垂足,下列结论:
①△ABD≌△EBC;②∠BCE+∠BCD=180°;③AD=EF=EC;④AE=EC,其中正确的是 (填序号)
8.如图,在△ABC中,AB=AC,D为线段BC上一动点(不与点B、C重合),连接AD,作∠DAE=∠BAC,且AD=AE,连接CE.
(1)如图1,当CE∥AB时,若∠BAD=35°,则∠DEC 度;
(2)如图2,设∠BAC=α(90°<α<180°),在点D运动过程中,当DE⊥BC时,∠DEC= .(用含α的式子表示)
9.已知:
如图,AD∥BC,DB平分∠ADC,CE平分∠BCD,交AB于点E,BD于点O.求证:
点O到EB与ED的距离相等.
10.若a、b是△ABC的两边且|a﹣3|+(b﹣4)2=0
(1)试求a、b的值,并求第三边c的取值范围.
(2)若△ABC是等腰三角形,试求此三角形的周长.
(3)若另一等腰△DEF,其中一内角为x°,另一个内角为(2x﹣20)°试求此三角形各内角度数.
11.如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,点F为AB延长线上一点,点E在BC上,BE=BF,连接AE,EF和CF.
(1)求证:
△ABE≌△CBF;
(2)若∠CAE=30°,求∠EFC的度数.
12.如图,已知凸五边形ABCDE中,EC,EB为其对角线,EA=ED.
(1)如图1,若∠A=60°,∠CDE=120°,且CD+AB=BC.求证:
CE平分∠BCD;
(2)如图2,∠A与∠D互补,∠DEA=2∠CEB,若凸五边形ABCDE面积为30,且CD=
AB=4.求点E到BC的距离.
13.如图,在△ABC中,已知∠ABC=45°,过点C作CD⊥AB于点D,过点B作BM⊥AC于点M,CD与BM相交于点E,且点E是CD的中点,连接MD,过点D作DN⊥MD,交BM于点N.
(1)求证:
△DBN≌△DCM;
(2)请探究线段NE、ME、CM之间的数量关系,并证明你的结论.
14.如图1,△ABC的边BC在直线l上,AC⊥BC,且AC=BC;△EFP的边FP也在直线l上,边EF与边AC重合,且EF=FP.
(1)示例:
在图1中,通过观察、测量,猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系.
答:
AB与AP的数量关系和位置关系分别是 、 .
(2)将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时,EP交AC于点Q,连接AP,BQ.请你观察、测量,猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系.答:
BQ与AP的数量关系和位置关系分别是 、 .
(3)将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时,EP的延长线交AC的延长线于点Q,连接AP、BQ.你认为
(2)中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗?
若成立,给出证明;若不成立,请说明理由.
15.如图,已知△ABC和△CDE均为等边三角形,且点B、C、D在同一条直线上,连接AD、BE,交CE和AC分别于G、H点,连接GH.
(1)请说出AD=BE的理由;
(2)试说出△BCH≌△ACG的理由;
(3)试猜想:
△CGH是什么特殊的三角形,并加以说明.
16.如图,AP∥BC,∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E,CE的延长线交AP于D.
(1)求证:
AB=AD+BC;
(2)若BE=3,AE=4,求四边形ABCD的面积.
17.如图,在等腰三角形△ABC中,AC=BC,D、E分别为AB、BC上一点,∠CDE=∠A.
(1)如图①,若BC=BD,求证:
CD=DE;
(2)如图②,过点C作CH⊥DE,垂足为H,若CD=BD,EH=1,求DE﹣BE的值.
18.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点P是BC上的一动点,AP=AQ,∠PAQ=90°,连接CQ.
(1)求证:
CQ⊥BC;
(2)△ACQ能否成直角三角形?
若能,请直接写出此时P点的位置;若不能,请说明理由;
(3)当点P在BC上什么位置时,△ACQ是等腰三角形?
并请说明理由.
19.如图,△ABC中,∠C=90°,AB=5cm,BC=3cm,若动点P从点C开始,按C→A→B→C的路径运动,且速度为每秒1cm,设出发的时间为t秒.
(1)出发2秒后,求△ABP的周长.
(2)问t为何值时,△BCP为等腰三角形?
(3)另有一点Q,从点C开始,按C→B→A→C的路径运动,且速度为每秒2cm,若P、Q两点同时出发,当P、Q中有一点到达终点时,另一点也停止运动.当t为何值时,直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分?
20.已知:
△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F,过点F作FG∥BC,交直线AB于点G.
(1)如图1,若△ABC为锐角三角形,且∠ABC=45°.
求证:
①△BDF≌△ADC;
②FG+DC=AD;
(2)如图2,若∠ABC=135°,直接写出FG、DC、AD之间满足的数量关系.
21.如图,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC交AC的延长线于F.
(1)求证:
BE=CF;
(2)如果AB=7,AC=5,求AE,BE的长.
22.如图,已知△ABC,∠C=90°,AC<BC.D为BC上一点,且到A,B两点的距离相等.
(1)用直尺和圆规,作出点D的位置(不写作法,保留作图痕迹);
(2)连接AD,若∠B=35°,求∠CAD的度数.
23.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB交AB于E,F在AC上,∠B=∠CFD.
证明:
(1)CF=EB.
(2)AB=AF+2EB.
24.已知:
∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F.
(1)图中哪条线段和BE相等?
为什么?
(2)若AB=6,AC=3,求BE的长.
25.已知△ABC为等边三角形,E为射线BA上一点,D为直线BC上一点,ED=EC.
(1)当点E在AB上,点D在CB的延长线上时(如图1),求证:
AE+AC=CD;
(2)当点E在BA的延长线上,点D在BC上时(如图2),猜想AE、AC和CD的数量关系,并证明你的猜想;
(3)当点E在BA的延长线上,点D在BC的延长线上时(如图3),请直接写出AE、AC和CD的数量关系.
26.如图1,在△ABC中,∠BAC=75°,∠ACB=35°,∠ABC的平分线BD交边AC于点D.
(1)求证:
△BCD为等腰三角形;
(2)若∠BAC的平分线AE交边BC于点E,如图2,求证:
BD+AD=AB+BE;
(3)若∠BAC外角的平分线AE交CB延长线于点E,请你探究
(2)中的结论是否仍然成立?
直接写出正确的结论.
参考答案
1.解:
过点E作EP⊥BA,交BA的延长线于P,
∴∠P=∠AHB=90°,
∵AE∥BC,
∴∠EAP=∠CBA,
在△AEP和△BAH中,
,
∴△AEP≌△BAH(AAS),
∴PE=AH,
在Rt△DEP和Rt△CAH中,
,
∴Rt△DEP≌Rt△CAH(HL),
∴CH=DP,S△ACH=S△APE,
∵S△ABC=S△ABH+S△AHC=2S△ABH+S△ADE=5S△ADE,
∴S△ABH:
S△ADE=2:
1,
∴BH:
AD=2:
1,
∵BH=1,
∴AD=
,
∴DP=CH=1+
=
,
∴BC=BH+CH=1+
=
,
故答案为:
.
2.解:
设点P在线段BC上运动的时间为t,
①点P由B向C运动时,BP=3t,CP=8﹣3t,
∵△BPE≌△CQP,
∴BE=CP=5,
∴5=8﹣3t,
解得t=1,
∴BP=CQ=3,
此时,点Q的运动速度为3÷1=3cm/s;
②点P由B向C运动时,
∵△BPE≌△CPQ,
∴BP=CP,
∴3t=8﹣3t,
t=
,
此时,点Q的运动速度为:
5÷
=
cm/s;
③点P由C向B运动时,CP=3t﹣8,
∵△BPE≌△CQP,
∴BE=CP=5,
∴5=3t﹣8,
解得t=
,
∴BP=CQ=3,
此时,点Q的运动速度为3÷
=
cm/s;
④点P由C向B运动时,
∵△BPE≌△CPQ,
∴BP=CP=4,
3t﹣8=4,
t=4,
∵BE=CQ=5,
此时,点Q的运动速度为5÷4=
cm/s;
综上所述:
点Q的运动速度为
cm/s或3cm/s或
cm/s或
cm/s;
故答案为:
或3或
或
.
3.解:
延长AF交BC于H,延长AG交BC于Q,如图,
∵BD平分∠ABC,
∴∠HBF=∠ABF,
∵AF⊥BD,
∴∠AFB=∠HFB=90°,
∴∠BHA=∠BAH,
∴AB=BH=6,AF=FH,
同理,AC=CQ=5,AG=QG,
∴CH=BH﹣BC=6﹣4=2,
∴HQ=CQ﹣CH=5﹣2=3,
∵AF=FH,AG=QG,
∴FG是△AHQ的中位线,
∴FG=
HQ=
,
故答案为:
.
4.解:
∵∠DBC:
∠BEN=8:
7,
∴设∠DBC=8x°,则∠BEN=7x°,
∵MN=ME,
∴∠MNE=∠BEN=7x°,
∴∠BMN=∠MNE+∠BEN=14x°,
∵BM=BN,
∴∠BNM=14x°,
∴8x°+14x°+14x°=180°,
解得x=5,
∴8x=40,7x=35,
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=∠ABC=∠C=60°,
在△ABD和△CAE中,
,
∴△ABD≌△CAE(SAS),
∴∠ABD=∠CAE,
∵∠AEB=∠BEN+∠AEN=∠CAE+∠C,
∴7x°+∠AEN=∠ABD+60°,
∴7x°+∠AEN=∠ABC﹣∠DBC+60°,
∴7x°+∠AEN=60°﹣8x°+60°,
解得∠AEN=45°.
故答案为:
45°.
5.解:
如图,过点D作DM⊥BE于点M,DN⊥AC于点N,DG⊥BA于点G.
∵CD平分∠ACE,DM⊥BE于M,DN⊥AC于N,
∴DM=DN,∠DCE=
.
∴∠DCE=∠BDC+∠DBC=
.
∴∠BDC=
.
∵BD平分∠ABC,DM⊥BE于M,DG⊥BA于G,
∴DM=DG,∠DBC=
.
∴DG=DN,∠BDC=
﹣∠DBC=
.
∴∠BDC=
.
又∵∠BDC=24°,
∴∠BAC=48°.
∴∠CAG=180°﹣∠BAC=132°.
在Rt△ADG和Rt△ADN中,
∴Rt△ADG≌Rt△ADN(HL).
∴∠GAD=∠NAD.
∠DAN=
=66°,即∠CAD=66°.
故答案为:
66°.
6.解:
∵BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,
∴∠PBC=
∠ABC,∠PCB=
∠ACB,
∴∠BPC=180°﹣(∠PBC+∠PCB)
=180°﹣(
∠ABC+
∠ACB)
=180°﹣
(∠ABC+∠ACB)
=180°﹣
(180°﹣∠BAC)
=90°+
∠BAC,
即∠BAC=2∠BPC﹣180°;
如图,连接AO.
∵点O是这个三角形三边垂直平分线的交点,
∴OA=OB=OC,
∴∠OAB=∠OBA,∠OAC=∠OCA,∠OBC=∠OCB,
∴∠AOB=180°﹣2∠OAB,∠AOC=180°﹣2∠OAC,
∴∠BOC=360°﹣(∠AOB+∠AOC)
=360°﹣(180°﹣2∠OAB+180°﹣2∠OAC),
=2∠OAB+2∠OAC
=2∠BAC
=2(2∠BPC﹣180°)
=4∠BPC﹣360°,
故答案为:
4∠BPC﹣360°.
7.解:
①∵BD为△ABC的角平分线,
∴∠ABD=∠CBD,
在△ABD和△EBC中,
,
∴△ABD≌△EBC(SAS),
∴①正确;
②∵BD为△ABC的角平分线,BD=BC,BE=BA,
∴∠BCD=∠BDC,∠BAE=∠BEA,
∵△ABD≌△EBC,
∴∠BCE=∠BDA,
∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°,
∴②正确;
③∵∠BCE=∠BDA,∠BCE=∠BCD+∠DCE,∠BDA=∠DAE+∠BEA,∠BCD=∠BEA,
∴∠DCE=∠DAE,
∴△ACE为等腰三角形,
∴AE=EC,
∵△ABD≌△EBC,
∴AD=EC,
∴AD=AE=EC,
∵BD为△ABC的角平分线,EF⊥AB,而EC不垂直与BC,
∴EF≠EC,
∴③错误;
④由③知AD=AE=EC,
∴④正确;
综上所述,正确的结论是①②④.
故答案是:
①②④.
8.解:
(1)∵∠DAE=∠BAC,
∴∠BAC﹣∠CAD=∠DAE﹣∠CAD,
即∠BAD=∠CAE,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴∠B=∠ACE,
∵CE∥AB,
∴∠BAC=∠ACE,
∴∠BAC=∠B,
∴AC=BC,
∴△ABC是等边三角形,
∴∠BAC=∠DAE=∠ACB=∠ACE=60°,
∴△DAE是等边三角形,
∴∠AED=60°,
∴∠DEC=180°﹣35°﹣60°﹣60°=25°,
故答案为:
25;
(2)连接CE,
∵∠BAC=α,AB=AC,
∴∠B=∠ACB=
(180°﹣α)=90°﹣
,
∵∠DAE=∠BAC,
∴∠BAC﹣∠CAD=∠DAE﹣∠CAD,
即∠BAD=∠CAE,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴∠B=∠ACE=90°﹣
,
∴∠DCE=2(90°﹣
)=180°﹣α,
∵DE⊥BC,
∴∠CDE=90°,
∴∠DEC=90°﹣∠DCE=α﹣90°.
故答案为:
α﹣90°.
9.证明:
∵AD∥BC,
∴∠ADC+∠BCD=180°,
∵DB平分∠ADC,CE平分∠BCD,
∴∠ODC+∠OCD=90°,
∴∠DOC=90°,
∴∠DOC=∠BOC,
又∵CO=CO,∠DCO=∠BCO,
∴△DCO≌△BCO(ASA)
∴CB=CD,
∴OB=OD,
∴CE是BD的垂直平分线,
∴EB=ED,又∠DOC=90°,
∴EC平分∠BED,
∴点O到EB与ED的距离相等.
10.解:
(1)∵|a﹣3|+(b﹣4)2=0,
∴a=3b=4,
∵b﹣a<c<b+a,
∴1<c<7;
(2)当腰长为3时,此时三角形的三边为3、3、4,满足三角形三边关系,周长为10;
当腰长为4时,此时三角形的三边长为4、4、3,满足三角形三边关系,周长为11;
综上可知等腰三角形的周长为10或11;
(3)当底角为x°、顶角为(2x﹣20)°时,则根据三角形内角和为180°可得
x+x+2x﹣20=180,
解得x=50,
此时三个内角分别为50°、50°、80°;
当顶角为x°、底角为(2x﹣20)°时,则根据三角形内角和为180°可得
x+2x﹣20+2x﹣20=180,
解得x=44,
此时三个内角分别为44°、68°、68°;
当底角为x°、(2x﹣20)°时,则等腰三角形性质可得
x=2x﹣20,
解得x=20,
此时三个内角分别为20°、20°、140°;
综上可知三角形三个内角为50度、50度、80度或44度、68度、68度或20度、20度、140度.
11.解:
(1)∵∠ABC=90°,F为AB延长线上一点,
∴∠ABC=∠CBF=90°.
在△ABE和△CBF中,
,
∴△ABE≌△CBF.
(2)∵在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,点F为AB延长线上一点,点E在BC上,BE=BF,
∴△ABC和△EBF都是等腰直角三角形,
∴∠ACB=∠EFB=45°.
∵∠CAE=30°,
∴∠AEB=∠CAE+∠ACB=30°+45°=75°.
由
(1)知△ABE≌△CBF,
∴∠CFB=∠AEB=75°.
∴∠EFC=∠CFB﹣∠EFB=75°﹣45°=30°.
12.
(1)证明:
延长CD到T,使得DT=BA,连接ET.
∵∠CDE=120°,
∴∠EDT=180°﹣120°=60°,
∵∠A=60°,
∴∠A=∠EDT,
在△EAB和△EDT中,
,
∴△EAB≌△EDT(SAS),
∴EB=ET,
∴CB=CD+BA=CD+DT=CT,
在△ECB和△ECT中,
,
∴△ECB≌△ECT(SSS),
∴∠ECB=∠ECD,
∴CE平分∠BCD.
(2)解:
延长CD到Q,使得∠QED=∠AEB,过点E作EH⊥BC于H.
∵∠A+∠CDE=180°,∠CDE+∠EDQ=180°,
∴∠A=∠EDQ,
在△AEB和△DEQ中,
,
∴△AEB≌△DEQ(ASA),
∴EB=EQ,
∵∠AED=2∠BEC,
∴∠AEB+∠CED=∠BEC,
∴∠CED+∠DEQ=∠BEC,
∴∠CEB=∠CEQ,
在△CEB和△CEQ中,
,
∴△ECB≌△ECQ(SAS),
∵S五边形ABCDE=S四边形EBCQ=2S△EBC=30,
∴S△EBC=15,
∵CD=
AB=4,
∴AB=6,CD=4,
∴BC=CD+QD=CD+AB=10,
∴
×10×EH=15,
∴EH=3,
∴点E到BC的距离为3.
13.
(1)证明:
∵∠ABC=45°,CD⊥AB,
∴∠ABC=∠DCB=45°,
∴BD=DC,
∵∠BDC=∠MDN=90°,
∴∠BDN=∠CDM,
∵CD⊥AB,BM⊥AC,
∴∠ABM=90°﹣∠A=∠ACD,
在△DBN和△DCM中,
,
∴△DBN≌△DCM.
(2)结论:
NE﹣ME=CM.
证明:
由
(1)△DBN≌△DCM可得DM=DN.
作DF⊥MN于点F,又ND⊥MD,
∴DF=FN,
在△DEF和△CEM中,
,
∴△DEF≌△CEM,
∴ME=EF,CM=DF,
∴CM=DF=FN=NE﹣FE=NE﹣ME.
14.解:
(1)AB=AP,AB⊥AP;
(2)BQ=AP,BQ⊥AP;
(3)成立.
证明:
如图,∵∠EPF=45°,
∴∠CPQ=45°.
∵AC⊥BC,
∴∠CQP=∠CPQ,
CQ=CP.
在Rt△BCQ和Rt△ACP中,
∴Rt△BCQ≌Rt△ACP(SAS)
∴BQ=AP;
延长QB交AP于点N,
∴∠PBN=∠CBQ.
∵Rt△BCQ≌Rt△ACP,
∴∠BQC=∠APC.
在Rt△BCQ中,∠BQC+∠CBQ=90°,
∴∠APC+∠PBN=90°.
∴∠PNB=90°.∴QB⊥AP.
15.解:
(1)∵△ABC和△CDE均为等边三角形
∴AC=BC,EC=DC
∠ACB=∠ECD=60°
∴∠ACD=∠ECB
∴△ACD≌△BCE
∴AD=BE;
(2)∵△ACD≌△BCE
∴∠CBH=∠CAG
∵∠ACB=∠ECD=60°,点B、C、D在同一条直线上
∴∠ACB=∠ECD=∠ACG=60°
又∵AC=BC
∴△ACG≌△BCH;
(3)△CGH是等边三角形,理由如下:
∵△ACG≌△BCH
∴CG=CH(全等三角形的对应边相等)
又∵∠ACG=60°
∴△CGH是等边三角形(有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形);
16.
(1)证明:
延长AE交BC的延长线于M,
∵AE平分∠PAB,BE平分∠CBA,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∵AD∥BC
∴∠1=∠M=∠2,∠1+∠2+∠3+∠4=180°
∴BM=BA,∠3+∠2=90°,
∴BE⊥AM,
在△ABE和△MBE中,
∴△ABE≌△MBE
∴AE=ME,
在△ADE和△MCE中,
;
∴△ADE≌△MCE,
∴AD=CM,
∴AB=BM=BC+AD.
(2)解:
由
(1)知:
△ADE≌△MCE,
∴S四边形ABCD=S△ABM
又∵AE=ME=4,BE=3,
∴
,
∴S四边形ABCD=12.
17.解:
(1)∵AC=BC,∠CDE=∠A,
∴∠A=∠B=∠CDE,
∴∠ACD=∠BDE,
又∵BC=BD,
∴BD=AC,
在△ADC和△BED中,
,
∴△ADC≌△BED(ASA),
∴CD=DE;
(2)∵CD=BD,
∴∠B=∠DCB,
又∵∠CDE=∠B,
∴∠DCB=∠CDE,
∴CE=DE,
如图,在DE上取点F,使得FD=BE,
在△CDF和△DBE中,
,
∴△CDF≌△DBE(SAS),
∴CF=DE=CE,
又∵CH⊥EF,
∴FH=HE,
∴DE﹣BE=DE﹣DF=EF=2HE=2.
18.
(1)证明:
∵∠BAP+∠CAP=∠BAC=90°,∠CAQ+∠CAP=∠PAQ=90°,
∴∠BAP=∠CAQ,
在△ABP和△ACQ中,
,
∴△ABP≌△ACQ(SAS),
∴∠ACQ=∠B,
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠B=∠ACB=45°,
∴∠BCQ=∠ACB+∠ACQ=45°+45°=90°,
∴CQ⊥BC;
(2)解:
∠APB=90°时,点P为BC的中点,
∠BAP=90°时,点P与点C重合,
∵△ABP≌△ACQ,
∴点P为BC的中点或与点C重合时,△ACQ是直角三角形;
(3)解:
BP=AB时,△ABP是等腰三角形,
AB=AP时,点P与点C重合,
AP=BP时,点P为BC的中点,
∵△ABP≌△ACQ,
∴点P为BC的中点或与点C重合或BP=AB时,△ACQ是等腰三角形.
19.解:
(1)如图1,由∠C=90°,AB=5cm,BC=3cm,
∴AC=4,动点P从点C开始,按C→A→B→C的路径运
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