《用图象表示的变量间关系》第一课时教案 公开课.docx
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《用图象表示的变量间关系》第一课时教案公开课
4.3用图象表示的变量间关系
●教学目标
〔一〕教学知识点
1.经历从图象中分析变量之间的关系的过程,进一步体会变量之间的关系.
2.结合具体情境理解图象上的点所表示的意义.
3.能从图象中获取变量之间关系的信息,并能用语言进行描述.
〔二〕能力训练要求
1.培养学生从图象中获取信息的广泛性和准确性.
2.在具体情境中锻炼学生对变量之间关系的敏感和语言描述的合理.
〔三〕情感与价值观要求
从解决大量实际问题和学生感兴趣的问题中提高学生用数学的意识,体验数学所蕴含的数学美.
●教学重点
1.用图象表示两个变量之间的关系.
2.从图象中获取变量之间关系的信息,并能用语言合理地表示,并能结合具体情境理解图象上的点所表示的数学意义.
●教学难点
根据图象得出事物变化的规律.
●教学方法
自主探索法
本节课的重点是使学生获得对图象反映变量之间关系的体验,学生可借助于以前读统计图的经验发现两个变量的关系,并尽可能多地从图象中获取信息.
●教具准备
投影片四张
第一张:
人的体温的变化〔记作投影片§4.3A〕
第二张:
某天温度变化情况〔记作投影片§4.3B〕
第三张:
骆驼体温变化〔记作投影片§4.3C〕
第四张:
某港口0~12时水深情况〔记作投影片§4.3D〕
●教学过程
Ⅰ.创设情景,引入新课
[师]我们都知道,人的正常体温是36.5℃左右,这是一个很粗略的说法.
你知道人的体温是随时间变化的吗?
一天之中,在凌晨2时到6时之间,人的体温最低;在下午5时到8时之间,人的体温最高.在正常情况下,人体温度变化的幅度大约是0.6℃.如果变化幅度超过1℃,特别是在“非典〞时期,那就要被“隔离〞观察.
在了解人体体温随时间变化的情况之前,我们不妨先来看一下一天天气温度变化的情况.〔板书§4.3温度的变化〕
Ⅱ.讲授新课
——由学生根据读统计图的经验来自主探索图象中变量之间的关系
1.气温变化的情况
出示投影片〔§4.3A〕
请你根据图象,与同伴讨论某地某天温度变化情况.
〔1〕上午9时的温度是多少?
12时呢?
〔2〕这一天的最高温度是多少?
是几时到达的?
最低温度呢?
〔3〕这一天的温差是多少?
从最低温度到最高温度经过了多长时间?
〔4〕在什么时间范围内温度在上升?
在什么时间范围内温度在下降?
〔5〕图中的A点表示的是什么?
B点呢?
〔6〕你能预测次日凌晨1时的温度吗?
说说你的理由.
图
[师]上述问题反映的是哪两个变量的关系?
[生]是时间和温度这两个变量的关系,其中时间是自变量,温度是因变量.
[师]根据图,同学们可先自己获取上述六个问题的答,并与同伴交流.
[生]〔1〕上午9时的温度是27℃,12时是31℃.
[师]你是如何从图中读出的?
[生]在水平的数轴上找到9,它是表示时间的,过9的一条竖直的线与曲线交于一点,过这一点又有一条水平的线与竖直方向的数轴交于一点,此点表示的正是27℃.
[师]很好.
[生]〔2〕这一天最高的温度是37℃,是在15时到达的.因为最高温度应在曲线的最高点处到达,即C点是最高点,过这个点的水平方向就找到最高温度是37℃,竖直方向就找到了到达这温度的时间.同样,最低点D,就表示在3时,这天的气温到达最低温度23℃.
[生]〔3〕这天的温差应为最高温度-最低温度=37℃-23℃=14℃.而经过的时间应为3时至15时.
〔4〕温度上升,从图中反映的是曲线上升,观察可得3时到15时温度在上升;温度下降,从图中反映的是曲线下降,观察同样可以得出0时到3时、15时到24时温度在下降.
[生]〔5〕图中A点表示的是21时的温度为31℃,B点表示的是0时的温度是26℃.
〔6〕次日凌晨的温度应和前一日凌晨的温度相差不多,所以根据今天的凌晨1时的温度便可预测明日凌晨1时的温度约为24℃.
[师]同学们观察图6-7,可知曲线上的点所表示的意义,谁能用自己的语言描述一下呢?
[生]曲线上的点表示的是某一时刻这天的温度.
[师]而这样的点我们用一条光滑的曲线按时间顺序把它们连起来,就表示了温度随时间变化而变化的情况,它就是温度与时间关系的图象.因此我们又得到了表示变量之间关系的又一种方法——图象法.
用这种方法表示变量之间的关系,有何优点.同学们不妨交流一下.
[师生共析]用这种方法表示,很直观,一眼就可看出什么时间,一天温度到达最高;什么时间,一天温度到达最低.同时,还能观察出在什么时段内温度在上升,什么时段温度在下降.直观、形象、生动.
2.骆驼的体温
[师]骆驼被称为“沙漠之舟〞,它的体温随时间变化而发生较大的变化,下面是骆驼的体温随时间变化的图象,我们根据它来分析变量之间的关系.〔出示投影片§4.3B〕
〔图中25时表示次日凌晨1时〕
图
〔1〕一天中,骆驼体温变化范围是什么?
它的体温从最低上升到最高需要多少时间?
〔2〕从16时到24时,骆驼的体温下降了多少?
〔3〕在什么时间范围内骆驼的体温在上升?
在什么时间范围内骆驼的体温在下降?
〔4〕你能看出第二天8时骆驼的体温与第一天8时有什么关系吗?
其他时刻呢?
〔5〕A点表示的是什么?
还有几时的温度与A点所表示的温度相同?
〔6〕你还知道哪些关于骆驼的趣事?
与同伴交流.
[师]在答复上述六个问题之前,我们先来看一下在这个问题中,哪是自变量,哪是因变量?
[生]时间是自变量,骆驼的体温是因变量.
[师]联系某天气温变化的图象,我们可以注意在用图象表示变量之间关系时,一般用水平方向上的数轴〔即横轴〕上的点表示________,用竖直方向的数轴〔即纵轴〕上的点表示________.
[生]用横轴上的点表示自变量,用纵轴上的点表示因变量.
[师]下面我就根据图象分析骆驼体温的变化.
[生]〔1〕一天中骆驼体温变化的范围是35℃到40℃.它的体温从最低上升到最高需要16时-4时.即需要12个小时〔或40-28=12时〕.
〔2〕16时的温度最高是40℃,24时骆驼的体温下降到了37℃,共下降了3℃.
〔3〕每天4时到16时体温在上升,0时到4时、16时到24时,体温在下降.
〔4〕从图象中可以看出第二天8时的体温与第一天8时的体温是相同的,其他时刻也是如此.也就是说骆驼在每天的体温变化规律是相同的.因为图象从24时开始复制了0时到24时的图象.
〔5〕A点表示的是12时的温度,与A点表示的温度相同的时刻还有20时的温度及次日12时和20时的温度.
〔6〕一提起骆驼,就想到了沙漠.骆驼之所以称为“沙漠之舟〞,是由于骆驼耐饥、耐渴、耐劳又耐风沙,这些特殊的能力而使它成为人类的好朋友.
[生]骆驼最明显的特征是长有两个驼峰,一次进食后可以维持较长时间,它的脚掌很大,适宜沙漠行走.骆驼在沙漠上行走总是不紧不慢,踏着很稳健的步伐,但从不停留,靠着一种坚强的意志,到达目的地,我们应学习骆驼这种吃苦耐劳,锲而不舍的精神.
……
[师]同学们讲了很多关于骆驼的趣事,我们也都知道骆驼是人类的好朋友,人类应该和它们友好相处.在我国的珍稀野生动物中,生命力最强的就是在大漠戈壁深处独来独往,靠喝盐水生存的野骆驼.有关骆驼方面的有关资料同学们可到网上查找.
我们研究了体温随时间变化的情况,还记得刚上课时,老师提到的,人的体温也是随时间变化的.同学们可翻开课本阅读P174的读一读,你会更好地了解人体正常体温的变化情况.阅读后,和同伴交流你从中获取的信息.
Ⅲ.随堂练习
出示投影片〔§4.3C〕
1.海水受日月的引力而产生潮汐现象,早晨海水上涨叫做潮,黄昏海水上涨叫做汐,合称潮汐.潮汐与人类的生活有着密切的联系.下面是某港口从0时到12时的水深情况.
图
〔1〕大约什么时刻港口的水最深?
深度约是多少?
〔2〕大约什么时刻港口的水最浅?
深度约是多少?
〔3〕在什么时间范围内,港口水深在增加?
〔4〕在什么时间范围内,港口水深在减少?
〔5〕A,B两点分别表示什么?
还有几时水的深度与A点所表示的深度相同?
〔6〕说一说这个港口从0时到12时的水深是怎样变化的.
解:
〔1〕在凌晨3时港口水最深,深度约为7.5米;
〔2〕上午9时港口水最低,深度约为2.4米;
〔3〕在凌晨0时到3时,上午9时到12时,港口的水深在增加;
〔4〕凌晨3时到上午9时,港口的水深在减少.
〔5〕A点表示上午6时港口的水深为5米,B点表示中午12时港口的水深为4.3米,0时水的深度与A点所表示的深度相同.
〔6〕〔只要描述的是变化过程合理即可〕凌晨0时到3时水深在增加;凌晨3时到上午9时水深在降低;上午9时到12时水深又开始增加.
2.如图,向高为H的圆柱形空水杯中注水,表示注水量y与水深x的关系的图象是下面的哪一个?
图
解:
根据题意可知,x是自变量,y是因变量,当水深x为0时,注水量y也为0;同时,y随x的增大而增大,因此,应选A.
Ⅳ.课时小结
这节课从图象中分析了两个变量之间的关系,结合温度的变化直观而形象地从图象中获得了变量之间的有关信息.用图象来直观地反映变量之间的关系是表格法、关系式法所无法代替的.
Ⅴ.课后作业
1.课本习题4.3第1题;
2.观察章头图?
青春期男女孩身高曲线?
并答复相应的问题;
3.收集生活中用图象法表示的两个变量之间的关系,并从中获取更多的信息.
Ⅵ.活动与探究
某气象研究中心观测一场沙尘暴从发生到结束的全过程.开始时风速平均每小时增加2千米,4小时后,沙尘暴开始经过开阔荒漠地,风速变为平均每小时增加4千米,一段时间,风速保持不变.当沙尘暴经过绿色植被区时,其风速每小时平均减少1千米,最终停止.结合风速和时间的图象,答复以下问题:
图
〔1〕在纵轴〔〕内填入相应的数值;
〔2〕沙尘暴从发生到结束,共经过了多少小时?
〔3〕写出当x≥25时,风速y〔千米/时〕与时间x〔小时〕之间的关系式.
[过程]此题是一个关于环境恶化的一个问题.从题中可以增强同学们的“环保意识〞.要答复上述几个问题,首先要读懂题,第二要读懂图.
[结果]〔1〕开始时风速平均每小时增加2千米,由图象可知,0时的速度为0千米/时,4小时后,速度y=2×4=8千米/时,所以在y轴的第一个空应填8.接着4时到10时经过荒漠地,每小时平均增加4千米,所以10时,风速已变为8+4×〔10-4〕=32〔千米/时〕.第二空应填32.
〔2〕由图象可知,当风速为32千米/时时,遇到绿色植被区时,其风速每小时平均减少1千米,最后停止,即风速变为0千米/时,需32小时.所以沙尘暴从发生到结束需25+32=57〔小时〕
〔3〕当x≥25时,y=57-x.
●板书设计
§4.3用图象表示的变量间关系
一、图象是表示变量之间关系的又一种方法.
1.直观、形象.
2.通常用水平方向的数轴上的点表示自变量,用竖直方向的数轴上的点表示因变量.
二、随堂练习
〔由学生板演〕
1.7平方差公式
(二)
●教学目标
(一)教学知识点
1.了解平方差公式的几何背景.
2.会用面积法推导平方差公式,并能运用公式进行简单的运算.
3.体会符号运算对证明猜想的作用.
(二)能力训练要求
1.用符号运算证明猜想,提高解决问题的能力.
2.培养学生观察、归纳、概括等能力.
(三)情感与价值观要求
1.在拼图游戏中对平方差公式有一个直观的几何解释,体验学习数学的乐趣.
2.体验符号运算对猜想的作用,享受数学符号表示运算规律的简捷美.
●教学重点
平方差公式的几何解释和广泛的应用.
●教学难点
准确地运用平方差公式进行简单运算,培养根本的运算技能.
●教学方法
启发——探究相结合
●教具准备
一块大正方形纸板,剪刀.
投影片四张
第一张:
想一想,记作(§1.7.2A)
第二张:
例3,记作(§1.7.2B)
第三张:
例4,记作(§1.7.2C)
第四张:
补充练习,记作(§1.7.2D)
●教学过程
Ⅰ.创设问题情景,引入新课
[师]同学们,请把自己准备好的正方形纸板拿出来,设它的边长为a.
这个正方形的面积是多少?
[生]a2.
[师]请你用手中的剪刀从这个正方形纸板上,剪下一个边长为b的小正方形(如图1-23).现在我们就有了一个新的图形(如上图阴影局部),你能表示出阴影局部的面积吗?
图1-23
[生]剪去一个边长为b的小正方形,余以以下列图形的面积,即阴影局部的面积为(a2-b2).
[师]你能用阴影局部的图形拼成一个长方形吗?
同学们可在小组内交流讨论.
(教师可巡视同学们拼图的情况,了解同学们拼图的想法)
[生]老师,我们拼出来啦.
[师]讲给大伙听一听.
[生]我是把剩下的图形(即上图阴影局部)先剪成两个长方形(沿上图虚线剪开),我们可以注意到,上面的大长方形宽是(a-b),长是a;下面的小长方形长是(a-b),宽是b.我们可以将两个长方形拼成一个更大长方形,是由于大长方形的宽和小长方形的长都是(a-b),我们可以将这两个边重合,这样就拼成了一个如图1-24所示的图形(阴影局部),它的长和宽分别为(a+b),(a-b),面积为(a+b)(a-b).
图1-24
[师]比较上面两个图形中阴影局部的面积,你发现了什么?
[生]这两局部面积应该是相等的,即(a+b)(a-b)=a2-b2.
[生]这恰好是我们上节课学过的平方差公式.
[生]我明白了.上一节课,我们用多项式与多项式相乘的法那么验证了平方差公式.今天,我们又通过拼图游戏给出平方差公式的一个几何解释,太妙了.
[生]用拼图来验证平方差公式很直观,一剪一拼,利用面积相等就可推证.
[师]由此我们对平方差公式有了更多的认识.这节课我们来继续学习平方差公式,也许你会发现它更“神奇〞的作用.
Ⅱ.讲授新课
[师]出示投影片(§1.7.2A)
想一想:
(1)计算以下各组算式,并观察它们的特点
(2)从以上的过程中,你发现了什么规律?
(3)请你用字母表示这一规律,你能说明它的正确性吗?
[生]
(1)中算式算出来的结果如下
[生]从上面的算式可以发现,一个自然数的平方比它相邻两数的积大1.
[师]是不是大于1的所有自然数都有这个特点呢?
[生]我猜想是.我又找了几个例子如:
[师]你能用字母表示这一规律吗?
[生]设这个自然数为a,与它相邻的两个自然数为a-1,a+1,那么有(a+1)(a-1)=a2-1.
[生]这个结论是正确的,用平方差公式即可说明.
[生]可是,我有一个疑问,a必须是一个自然数,还必须大于2吗?
(同学们惊讶,然后讨论)
[生]a可以代表任意一个数.
[师]很好!
同学们能大胆提出问题,又勇于解决问题,值得提倡.
[生]老师,我还有个问题,这个结论反映了数字之间的一种关系.在平时有什么用途呢?
(陷入沉思)
[生]例如:
计算29×31很麻烦,我们就可以转化为(30-1)(30+1)=302-1=900-1=899.
[师]确实如此.我们在做一些数的运算时,如果能一直有这样“巧夺天工〞的方法,太好了.
我们不妨再做几个类似的练习.
出示投影片(§1.7.2B)
[例3]用平方差公式计算:
(1)103×97
(2)118×122
[师]我们可以发现,直接运算上面的算式很麻烦.但注意观察就会发现新的微妙.
[生]我发现了,103=100+3,97=100-3,因此103×97=(100+3)(100-3)=10000-9=9991.太简便了!
[生]我观察也发现了第
(2)题的“微妙〞.
118=120-2,122=120+2
118×122=(120-2)(120+2)=1202-4=14400-4=14396.
[生]遇到类似这样的题,我们就不用笔算,口算就能得出.
[师]我们再来看一个例题(出示投影片§1.7.2C).
[例4]计算:
(1)a2(a+b)(a-b)+a2b2;
(2)(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3).
分析:
上面两个小题,是整式的混合运算,平方差公式的应用,能使运算简便;还需注意的是运算顺序以及结果一定要化简.
解:
(1)a2(a+b)(a-b)+a2b2
=a2(a2-b2)+a2b2
=a4-a2b2+a2b2
=a4
(2)(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3)
=(2x)2-52-(4x2-6x)
=4x2-25-4x2+6x
=6x-25
注意:
在
(2)小题中,2x与2x-3的积算出来后,要放到括号里,因为它们是一个整体.
[例5]公式的逆用
(1)(x+y)2-(x-y)2
(2)252-242
分析:
逆用平方差公式可以使运算简便.
解:
(1)(x+y)2-(x-y)2
=[(x+y)+(x-y)][(x+y)-(x-y)]
=2x·2y
=4xy
(2)252-242
=(25+24)(25-24)
=49
Ⅲ.随堂练习
1.(课本P32)计算
(1)704×696
(2)(x+2y)(x-2y)+(x+1)(x-1)
(3)x(x-1)-(x-
)(x+
)
(可让学生先在练习本上完成,教师巡视作业中的错误,或同桌互查互纠)
解:
(1)704×696=(700+4)(700-4)
=490000-16=489984
(2)(x+2y)(x-2y)+(x+1)(x-1)
=(x2-4y2)+(x2-1)
=x2-4y2+x2-1
=2x2-4y2-1
(3)x(x-1)-(x-
)(x+
)
=(x2-x)-[x2-(
)2]
=x2-x-x2+
=
-x
2.(补充练习)
出示投影片(§1.7.2D)
解方程:
(2x+1)(2x-1)+3(x+2)(x-2)=(7x+1)(x-1)
(先由学生试着完成)
解:
(2x+1)(2x-1)+3(x+2)(x-2)
=(7x+1)(x-1)
(2x)2-1+3(x2-4)=7x2-6x-1
4x2-1+3x2-12=7x2-6x-1
6x=12x=2
Ⅳ.课时小结
[师]同学们这节课一定有不少体会和收获.
[生]我能用拼图对平方差公式进行几何解释.也就是说对平方差公式的理解又多了一个层面.
[生]平方差公式不仅在计算整式时,可以使运算简便,而且数的运算如果也能恰当地用了平方差公式,也非常神奇.
[生]我觉得这节课我印象最深的是犯错误的地方.例如a(a+1)-(a+b)(a-b)一定要先算乘法,同时减号后面的积(a+b)(a-b),算出来一定先放在括号里,然后再去括号.就不容易犯错误了.
……
Ⅴ.课后作业
课本习题1.12.
Ⅵ.活动与探究
计算:
19902-19892+19882-19872+…+22-1.
[过程]先做乘方运算,再做减法,那么计算繁琐,观察算式特点,考虑逆用平方差公式.
[结果]原式=(19902-19892)+(19882-19872)+…+(22-1)
=(1990+1989)(1990-1989)+(1988+1987)(1988-1987)+…+(2+1)(2-1)
=1990+1989+1988+1987+…+2+1
=
=1981045
●板书设计
§1.7.2平方差公式
(二)
一、平方差公式的几何解释:
二、想一想
特例——归纳——建立猜想——用符号表示——给出证明
即(a+1)(a-1)=a2-1
三、例题讲解:
例3例4
四、练习
●备课资料
参考练习
1.选择题
(1)在以下多项式的乘法中,不能用平方差公式计算的是()
A.(-a-b)(a-b)B.(c2-d2)(d2+c2)
C.(x3-y3)(x3+y3)D.(m-n)(-m+n)
(2)用平方差公式计算(x-1)(x+1)(x2+1)结果正确的选项是()
A.x4-1B.x4+1
C.(x-1)4D.(x+1)4
(3)以下各式中,结果是a2-36b2的是()
A.(-6b+a)(-6b-a)B.(-6b+a)(6b-a)
C.(a+4b)(a-4b)D.(-6b-a)(6b-a)
2.填空题
(4)(5x+3y)·()=25x2-9y2
(5)(-0.2x-0.4y)()=0.16y2-0.04x2
(6)(-
x-11y)()=-
x2+121y2
(7)假设(-7m+A)(4n+B)=16n2-49m2,那么A=,B=.
3.计算
(8)(2x2+3y)(3y-2x2).
(9)(p-5)(p-2)(p+2)(p+5).
(10)(x2y+4)(x2y-4)-(x2y+2)·(x2y-3).
4.求值
(11)(上海市中考题)x2-2x=2,将下式先化简,再求值
(x-1)2+(x+3)(x-3)+(x-3)(x-1)
5.探索规律
(12)(北京市中考)观察以下顺序排列的等式:
9×0+1=1
9×1+2=11
9×2+3=21
9×3+4=31
9×4+5=41
……
猜想:
第n个等式(n为正整数)应为.
答案:
1.
(1)D
(2)A(3)D
2.(4)(5x-3y)(5)(0.2x-0.4y)
(6)(
x-11y)(7)A=4n,B=7m
3.(8)9y2-4x4(9)p4-29p2+100
(10)x2y-10
4.(11)原式=3(x2-2x)-5=3×2-5=1
5.(12)9×(n-1)+n=(n-1)×10+1(n为正整数).
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