高一年级数学第一章复习题.docx
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高一年级数学第一章复习题
高一年级数学第一章复习题
【一】
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符号题目要求的。
)
1.已知集合A={0,1,2,3,4,5},B={1,3,6,9},C={3,7,8},则(A∩B)∪C等于()
A.{0,1,2,6,8}B.{3,7,8}
C.{1,3,7,8}D.{1,3,6,7,8}
[答案]C
[解析]A∩B={1,3},(A∩B)∪C={1,3,7,8},故选C.
2.(09陕西文)定义在R上的偶函数f(x)满足:
对任意的x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有f(x2)-f(x1)x2-x1<0,则()
A.f(3) (1)B.f (1) (1) (1) [解析]若x2-x1>0,则f(x2)-f(x1)<0, 即f(x2) ∵3>2>1,∴f(3) (2) (1), 又f(x)是偶函数,∴f(-2)=f (2), ∴f(3) (1),故选A. 3.已知f(x),g(x)对应值如表. x01-1 f(x)10-1 x01-1 g(x)-101 则f(g (1))的值为() A.-1B.0 C.1D.不存有 [答案]C [解析]∵g (1)=0,f(0)=1,∴f(g (1))=1. 4.已知函数f(x+1)=3x+2,则f(x)的解析式是() A.3x+2B.3x+1 C.3x-1D.3x+4 [答案]C [解析]设x+1=t,则x=t-1, ∴f(t)=3(t-1)+2=3t-1,∴f(x)=3x-1. 5.已知f(x)=2x-1(x≥2)-x2+3x(x<2),则f(-1)+f(4)的值为() A.-7B.3 C.-8D.4 [答案]B [解析]f(4)=2×4-1=7,f(-1)=-(-1)2+3×(-1)=-4,∴f(4)+f(-1)=3,故选B. 6.f(x)=-x2+mx在(-∞,1]上是增函数,则m的取值范围是() A.{2}B.(-∞,2] C.[2,+∞)D.(-∞,1] [答案]C [解析]f(x)=-(x-m2)2+m24的增区间为(-∞,m2],由条件知m2≥1,∴m≥2,故选C. 7.定义集合A、B的运算A*B={x|x∈A,或x∈B,且xA∩B},则(A*B)*A等于() A.A∩BB.A∪B C.AD.B [答案]D [解析]A*B的本质就是集合A与B的并集中除去它们的公共元素后,剩余元素组成的集合. 所以(A*B)*A是图中阴影部分与A的并集,除去A中阴影部分后剩余部分即B,故选D. [点评]可取特殊集合求解. 如取A={1,2,3},B={1,5},则A*B={2,3,5},(A*B)*A={1,5}=B. 8.(广东梅县东山中学2009~2010高一期末)定义两种运算: a輇=a2-b2,ab=(a-b)2,则函数f(x)=为() A.奇函数 B.偶函数 C.奇函数且为偶函数 D.非奇函数且非偶函数 [答案]A [解析]由运算萦的定义知, f(x)=4-x2(x-2)2-2, ∵4-x2≥0,∴-2≤x≤2, ∴f(x)=4-x2(2-x)-2=-4-x2x, ∴f(x)的定义域为{x|-2≤x<0或0 9.(08天津文)已知函数f(x)=x+2,x≤0,-x+2,x>0,则不等式f(x)≥x2的解集为() A.[-1,1]B.[-2,2] C.[-2,1]D.[-1,2] [答案]A [解析]解法1: 当x=2时,f(x)=0,f(x)≥x2不成立,排除B、D;当x=-2时,f(x)=0,也不满足f(x)≥x2,排除C,故选A. 解法2: 不等式化为x≤0x+2≥x2或x>0-x+2≥x2, 解之得,-1≤x≤0或0 A.最多32人B.最多13人 C.最少27人D.最少9人 [答案]D [解析]∵27+32-50=9,故两项兴趣小组都参加的至多有27人,至少有9人. 11.设函数f(x)(x∈R)为奇函数,f (1)=12,f(x+2)=f(x)+f (2),则f(5)=() A.0B.1 C.52D.5 [答案]C [解析]f (1)=f(-1+2)=f(-1)+f (2)=12,又f(-1)=-f (1)=-12,∴f (2)=1, ∴f(5)=f(3)+f (2)=f (1)+2f (2)=52. 12.已知f(x)=3-2|x|,g(x)=x2-2x,F(x)=g(x),若f(x)≥g(x),f(x),若f(x) B.值为7-27,无最小值 C.值为3,无最小值 D.既无值,又无最小值 [答案]B [解析]作出F(x)的图象,如图实线部分,知有值而无最小值,且值不是3,故选B. 第Ⅱ卷(非选择题共90分) 二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分,把准确答案填在题中横线上) 13.(2010江苏,1)设集合A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},A∩B={3},则实数a=________. [答案]-1 [解析]∵A∩B={3},∴3∈B, ∵a2+4≥4,∴a+2=3,∴a=-1. 14.已知函数y=f(n)满足f(n)=2(n=1)3f(n-1)(n≥2),则f(3)=________. [答案]18 [解析]由条件知,f (1)=2,f (2)=3f (1)=6,f(3)=3f (2)=18. 15.已知函数f(x)=2-ax(a≠0)在区间[0,1]上是减函数,则实数a的取值范围是________. [答案](0,2] [解析]a<0时,f(x)在定义域上是增函数,不合题意,∴a>0. 由2-ax≥0得,x≤2a, ∴f(x)在(-∞,2a]上是减函数, 由条件2a≥1,∴0 16.国家规定个人稿费的纳税办法是: 不超过800元的不纳税;超过800元而不超过4000元的按超过800元的14%纳税;超过4000元的按全部稿酬的11%纳税.某人出版了一本书,共纳税420元,则这个人的稿费为________. [答案]3800元 [解析]因为4000×11%=440>420,设稿费x元,x<4000,则(x-800)×14%=420, ∴x=3800(元). 三、解答题(本大题共6个小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本题满分12分)设集合A={x|a≤x≤a+3},集合B={x|x<-1或x>5},分别就下列条件求实数a的取值范围: (1)A∩B≠, (2)A∩B=A. [解析] (1)因为A∩B≠,所以a<-1或a+3>5,即a<-1或a>2. (2)因为A∩B=A,所以AB,所以a>5或a+3<-1,即a>5或a<-4. 18.(本题满分12分)二次函数f(x)的最小值为1,且f(0)=f (2)=3. (1)求f(x)的解析式; (2)若f(x)在区间[2a,a+1]上不单调,求a的取值范围. [解析] (1)∵f(x)为二次函数且f(0)=f (2), ∴对称轴为x=1. 又∵f(x)最小值为1,∴可设f(x)=a(x-1)2+1(a>0) ∵f(0)=3,∴a=2,∴f(x)=2(x-1)2+1, 即f(x)=2x2-4x+3. (2)由条件知2a<1 19.(本题满分12分)图中给出了奇函数f(x)的局部图象,已知f(x)的定义域为[-5,5],试补全其图象,并比较f (1)与f(3)的大小. [解析]奇函数的图象关于原点对称,可画出其图象如图.显见f(3)>f (1). 20.(本题满分12分)一块形状为直角三角形的铁皮,直角边长分别为40cm与60cm现将它剪成一个矩形,并以此三角形的直角为矩形的一个角,问怎样剪法,才能使剩下的残料最少? [解析]如图,剪出的矩形为CDEF,设CD=x,CF=y,则AF=40-y. ∵△AFE∽△ACB. ∴AFAC=FEBC即∴40-y40=x60 ∴y=40-23x.剩下的残料面积为: S=12×60×40-xy=23x2-40x+1200=23(x-30)2+600 ∵0 21.(本题满分12分) (1)若a<0,讨论函数f(x)=x+ax,在其定义域上的单调性; (2)若a>0,判断并证明f(x)=x+ax在(0,a]上的单调性. [解析] (1)∵a<0,∴y=ax在(-∞,0)和(0,+∞)上都是增函数, 又y=x为增函数,∴f(x)=x+ax在(-∞,0)和(0,+∞)上都是增函数. (2)f(x)=x+ax在(0,a]上单调减, 设0 =(x1-x2)(1-ax1x2)>0, ∴f(x1)>f(x2),∴f(x)在(0,a]上单调减. 22.(本题满分14分)设函数f(x)=|x-a|,g(x)=ax. (1)当a=2时,解关于x的不等式f(x) (2)记F(x)=f(x)-g(x),求函数F(x)在(0,a]上的最小值(a>0). [解析] (1)|x-2|<2x,则 x≥2,x-2<2x.或x<2,2-x<2x. ∴x≥2或23 (2)F(x)=|x-a|-ax,∵0 ∴函数F(x)在(0,a]上是单调减函数,∴当x=a时,函数F(x)取得最小值为-a2. 【二】 一、选择题 1.若函数f(x)是奇函数,且有三个零点x1、x2、x3,则x1+x2+x3的值为() A.-1B.0 C.3D.不确定 [答案]B [解析]因为f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,它有三个零点,即f(x)的图象与x轴有三个交点,故必有一个为原点另两个横坐标互为相反数. ∴x1+x2+x3=0. 2.已知f(x)=-x-x3,x∈[a,b],且f(a)f(b)<0,则f(x)=0在[a,b]内() A.至少有一实数根B.至多有一实数根 C.没有实数根D.有惟一实数根 [答案]D [解析]∵f(x)为单调减函数, x∈[a,b]且f(a)f(b)<0, ∴f(x)在[a,b]内有惟一实根x=0. 3.(09天津理)设函数f(x)=13x-lnx(x>0)则y=f(x)() A.在区间1e,1,(1,e)内均有零点 B.在区间1e,1,(1,e)内均无零点 C.在区间1e,1内有零点;在区间(1,e)内无零点 D.在区间1e,1内无零点,在区间(1,e)内有零点 [答案]D [解析]∵f(x)=13x-lnx(x>0), ∴f(e)=13e-1<0, f (1)=13>0,f(1e)=13e+1>0, ∴f(x)在(1,e)内有零点,在(1e,1)内无零点.故选D. 4.(2010天津文,4)函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区间是() A.(-2,-1)B.(-1,0) C.(0,1)D.(1,2) [答案]C [解析]∵f(0)=-1<0,f (1)=e-1>0, 即f(0)f (1)<0, ∴由零点定理知,该函数零点在区间(0,1)内. 5.若方程x2-3x+mx+m=0的两根均在(0,+∞)内,则m的取值范围是() A.m≤1B.0 [解析]设方程x2+(m-3)x+m=0的两根为x1,x2,则有Δ=(m-3)2-4m≥0,且x1+x2=3-m>0,x1x2=m>0,解得0 A.0个B.1个 C.2个D.3个 [答案]A [解析]令f(x)=0得,(x-1)ln(x-2)x-3=0, ∴x-1=0或ln(x-2)=0,∴x=1或x=3, ∵x=1时,ln(x-2)无意义, x=3时,分母为零, ∴1和3都不是f(x)的零点,∴f(x)无零点,故选A. 7.函数y=3x-1x2的一个零点是() A.-1B.1 C.(-1,0)D.(1,0) [答案]B [点评]要准确掌握概念,“零点”是一个数,不是一个点. 8.函数f(x)=ax2+bx+c,若f (1)>0,f (2)<0,则f(x)在(1,2)上零点的个数为() A.至多有一个B.有一个或两个 C.有且仅有一个D.一个也没有 [答案]C [解析]若a=0,则b≠0,此时f(x)=bx+c为单调函数, ∵f (1)>0,f (2)<0,∴f(x)在(1,2)上有且仅有一个零点; 若a≠0,则f(x)为开口向上或向下的抛物线,若在(1,2)上有两个零点或无零点,则必有f (1)f (2)>0, ∵f (1)>0,f (2)<0,∴在(1,2)上有且仅有一个零点,故选C. 9.(哈师大附中2009~2010高一期末)函数f(x)=2x-log12x的零点所在的区间为() A.0,14B.14,12 C.12,1D.(1,2) [答案]B [解析]∵f14=214-log1214=42-2<0,f12=2-1>0,f(x)在x>0时连续,∴选B. 10.根据表格中的数据,能够判定方程ex-x-2=0的一个根所在的区间为() x-10123 ex0.3712.727.3920.09 A.(-1,0)B.(0,1) C.(1,2)D.(2,3) [答案]C [解析]令f(x)=ex-x-2,则f (1)f (2)=(e-3)(e2-4)<0,故选C. 二、填空题 11.方程2x=x3精确到0.1的一个近似解是________. [答案]1.4 12.方程ex-x-2=0在实数范围内的解有________个. [答案]2 三、解答题 13.借助计算器或计算机,用二分法求方程2x-x2=0在区间(-1,0)内的实数解(精确到0.01). [解析]令f(x)=2x-x2,∵f(-1)=2-1-(-1)2=-12<0,f(0)=1>0, 说明方程f(x)=0在区间(-1,0)内有一个零点. 取区间(-1,0)的中点x1=-0.5,用计算器可算得f(-0.5)≈0.46>0.因为f(-1)f(-0.5)<0,所以x0∈(-1,-0.5). 再取(-1,-0.5)的中点x2=-0.75,用计算器可算得f(-0.75)≈-0.03>0.因为f(-1)f(-0.75)<0,所以x0∈(-1,-0.75). 同理,可得x0∈(-0.875,-0.75),x0∈(-0.8125,-0.75),x0∈(-0.78125,-0.75),x0∈(-0.78125,-0.765625),x0∈(-0.7734375,-0.765625). 因为|(-0.765625)-(0.7734375)|<0.01,此时区间(-0.7734375,-0.765625)的两个端点精确到0.01的近似值都是-0.77,所以方程2x-x2=0精确到0.01的近似解约为-0.77. 14.证明方程(x-2)(x-5)=1有两个相异实根,且一个大于5,一个小于2. [解析]令f(x)=(x-2)(x-5)-1 ∵f (2)=f(5)=-1<0,且f(0)=9>0. f(6)=3>0. ∴f(x)在(0,2)和(5,6)内都有零点,又f(x)为二次函数,故f(x)有两个相异实根,且一个大于5、一个小于2. 15.求函数y=x3-2x2-x+2的零点,并画出它的简图. [解析]因为x3-2x2-x+2=x2(x-2)-(x-2) =(x-2)(x2-1)=(x-2)(x-1)(x+1), 所以函数的零点为-1,1,2. 3个零点把x轴分成4个区间: (-∞,-1],[-1,1],[1,2],[2,+∞]. 在这4个区间内,取x的一些值(包括零点),列出这个函数的对应值(取精确到0.01的近似值)表: x…-1.5-1-0.500.511.522.5… y…-4.3801.8821.130-0.6302.63… 在直角坐标系内描点连线,这个函数的图象如图所示. 16.借助计算器或计算机用二分法求方程(x+1)(x-2)(x-3)=1在区间(-1,0)内的近似解.(精确到0.1) [解析]原方程为x3-4x2+x+5=0,令f(x)=x3-4x2+x+5.∵f(-1)=-1,f(0)=5,f(-1)f(0)<0,∴函数f(x)在(-1,0)内有零点x0. 取(-1,0)作为计算的初始区间用二分法逐步计算,列表如下 端点或中点横坐标端点或中点的函数值定区间 a0=-1,b0=0f(-1)=-1,f(0)=5[-1,0] x0=-1+02=-0.5 f(x0)=3.375>0[-1,-0.5] x1=-1+(-0.5)2=-0.75f(x1)≈1.578>0[-1,-0.75] x2=-1+(-0.75)2=-0.875f(x2)≈0.393>0[-1,-0.875] x3=-1-0.8752=-0.9375f(x3)≈-0.277<0[-0.9375,-0.875] ∵|-0.875-(-0.9375)|=0.0625<0.1, ∴原方程在(-1,0)内精确到0.1的近似解为-0.9. 17.若函数f(x)=log3(ax2-x+a)有零点,求a的取值范围. [解析]∵f(x)=log3(ax2-x+a)有零点, ∴log3(ax2-x+a)=0有解.∴ax2-x+a=1有解. 当a=0时,x=-1. 当a≠0时,若ax2-x+a-1=0有解, 则Δ=1-4a(a-1)≥0,即4a2-4a-1≤0, 解得1-22≤a≤1+22且a≠0. 综上所述,1-22≤a≤1+22. 18.判断方程x3-x-1=0在区间[1,1.5]内有无实数解;如果有,求出一个近似解(精确到0.1). [解析]设函数f(x)=x3-x-1,因为f (1)=-1<0,f(1.5)=0.875>0,且函数f(x)=x3-x-1的图象是连续的曲线,所以方程x3-x-1=0在区间[1,1.5]内有实数解. 取区间(1,1.5)的中点x1=1.25,用计算器可算得f(1.25)=-0.30<0.因为f(1.25)f(1.5)<0,所以x0∈(1.25,1.5). 再取(1.25,1.5)的中点x2=1.375,用计算器可算得f(1.375)≈0.22>0.因为f(1.25)f(1.375)<0,所以x0∈(1.25,1.375). 同理,可得x0∈(1.3125,1.375),x0∈(1.3125,1.34375). 因为|1.34375-1.3125|<0.1,此时区间(1.3125,1.34375)的两个端点精确到0.1的近似值是1.3,所以方程x3-x-1=0在区间[1,1.5]精确到0.1的近似解约为1.3.
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- 一年级 数学 第一章 复习题