平面向量应用举例练习题含答案.docx
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平面向量应用举例练习题含答案
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平面向量应用举例练习题
、选择题
1.一物体受到相互垂直的两个力f1>f2的作用,两力大小都为53N,则两
5』6
D.2
个力的合力的大小为()
A.103NB.ONC.5.6N
2.河水的流速为2m/s,—艘小船想以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸,
则小船在静水中的速度大小为()
A.10m/sB.226m/sC.4,6m/sD.12m/s
3.(2010山东日照一中)已知向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),若|a匸2,|b|=3,
ab=-6,则鑿的值为(
5-6
-
D.
5-6
G
2-3
-
B
2一3
A
4•已知一物体在共点力F仟(Ig2,Ig2),F2=(Ig5,Ig2)的作用下产生位移S
=(2lg5,1),则共点力对物体做的功W为()
A.Ig2B.Ig5C.1D.2
5•在△ABC所在的平面内有一点P,满足PA+PB+PC=Ab,则△PBC与
△ABC的面积之比是()
厂2,3
C.3D.4
6.点P在平面上作匀速直线运动,速度v=(4,-3),设开始时点P的坐标
为(-10,10),则5秒后点P的坐标为(速度单位:
m/s,长度单位:
m)()
A.(-2,4)B.(-30,25)C.(10,-5)D.(5,-10)
7.已知向量a,e满足:
a^e,|e|=1,对任意t€R,恒有|a-te|>|a-e|,则()
A.a丄eB.a丄(a-e)C.e±(a-e)D.(a+e)丄(a-e)
8.已知匸1,OB匸3,OA丄OB,点C在/AOB内,/AOC=30°设OC
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=mOA+nOB,则m=()
A.3B.3C.3,3D.3^3
二、填空题
9.已知a=(1,2),b=(1,1),且a与a+2b的夹角为锐角,则实数入的取值范
围是.
10.已知直线ax+by+c=0与圆0:
x2+y2=4相交于A、B两点,且|AB|=
2近,则OAOB=.
三、解答题
11.已知△ABC是直角三角形,CA=CB,D是CB的中点,E是AB上的一点,且AE=2EB.
求证:
AD丄CE.
12.AABC是等腰直角三角形,/B=90°D是BC边的中点,BE丄AD,垂足为E,延长BE交AC于F,连结DF,求证:
/ADB=/FDC.
13.(2010江苏,15)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,—2),B(2,3),C(-2,—1)
(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长;
⑵设实数t满足(AB—tOC)Oc=o,求t的值.
14.一条宽为.3km的河,水流速度为2km/h,在河两岸有两个码头A、B,已知AB=3km,船在水中最大航速为4km/h,问该船从A码头到B码头怎样安排航行速度可使它最快到达彼岸B码头?
用时多少?
1
15.在?
ABCD中,点M是AB的中点,点N在BD上,且BN=3BD,求证:
M,N,C三点共线.
16.如图所示,正方形ABCD中,P为对角线BD上的一点,PECF是矩形,
用向量方法证明FA=EF.
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17.如图所示,在厶ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE丄AC,E是垂足,
F是DE的中点,求证AF丄BE.
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平面向量应用举例参考答案
1.[答案]C
[解析]根据向量加法的平行四边形法则,合力f的大小为.2X5.3=5.6(N).
2.[答案]B
[解析]设河水的流速为vi,小船在静水中的速度为V2,船的实际速度为v,
则|vi|=2,|v|=10,V丄V1..°.V2=v—vi,vvi=0,
|V2|=:
v2—2vvi+v2=:
100—0+4=104=2:
:
一:
26.
3.[答案]B
[解析]因为|a|=2,|b|=3,又ab=|a||b|cos〈a,b〉=2X3Xcos〈a,b〉=
—6,可得cos〈a,b〉=—1.即a,b为共线向量且反向,又|a|=2,|b|=3,所以
从而选B.
4.[答案]D
[解析]W=(F1+F2)S=(lg2+lg5,2lg2)(2lg5,1)=(1,2lg2)(2lg5,1)=2lg5+
2lg2=2,故选D.
5.[答案]C
[解析]由PA+PB+PC=Ab,得PA+PB+EBA+PC=0,即PC=2AP,所以点
6.[答案]C
[解析]5秒后点P的坐标为:
(一10,10)+5(4,—3)=(10,—5).
7[答案]C[解析]由条件可知|a—te|2>|a—e|2对t€R恒成立,又v|e|=1,
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•••t2—2aet+2ae—1>0对t€R恒成立,即△=4(ae)2—8ae+4<0恒成立.•-(ae—I)?
w0恒成立,而(ae—1『》0,•-ae—1=0.
即ae=1=e2,•e(a—e)=0,即卩e±(a—e).
8.[答案]B
[解析]•••OCOA=m|OA|2+nOAOB=m,
m|OC||OA|cos30°.m
T~==1..=3
3n|OC||OB|cos60。
‘n
二、填空题
9.[答案]
[解析]Va与a+?
b均不是零向量,夹角为锐角,
5
•a(a+2b)>0,•5+32>0,•>—3.当a与a+/b同向时,a+2b=ma(m>0),
即(1+入2+/=(m,2m).
1+/=m/=05
•-,得,•>—5且入工0.
2+/=2mm=13
[解析]V|AB|=23,|OA|=|OB|=2,AOB=120°.
•OAOB=|OA||OB|cos120=—2.
三、解答题
11.
[证明]以C为原点,CA所在直线为x轴,建立平面直角坐标系.
12.[证明]如图,以B为原点,BC所在直线为x轴建立直角坐标系,设
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A(0,2),C(2,0),则D(1,0),AC=(2,-2)
菲=3,3,
设AF=2AC,
则BF=BA+AF=(0,2)+(2入-21)=(2入2-21),又DA=(-1,2)
由题设BF丄DA,二BFDA=0,•••—2+2(2-21=0,二1=|.
•••DF=BF-BD=3,2,又DC=(1,0),
又/ADB、/FDC€(0,n)/•/ADB=/FDC.
13.[解析]⑴由题设知AB=(3,5),AC=(-1,1),则AB+AC=(2,6),AB-AC=(4,4).所以AB+AC|=2.10,|AB-AC|=42.
故所求的两条对角线长分别为4,2和210.
(2)由题设知OC=(-2,-1),AB-tOC=(3+2t,5+1).
由(AB—tOC)OC=0,得(3+2t,5+1)(-2,-1)=0,从而5t=-11,所以t
11
=-5.
14.[解析]如图所示,设AC为水流速度,Ad为航行速度,以AC和AD为邻边作?
ACED且当AE与AB重合时能最快到达彼岸.根据题意AC丄AE,在
RtAADE和?
ACED中,
|DE匸|AC|=2,|AD|=4,/AED=90°二殖―|AD|2-|DEf=23,
1
sin/EAD=2,EAD=30°用时0.5h.
答:
船实际航行速度大小为4km/h,与水流成120°角时能最快到达B码头,用时半小时.
15.
£>C
[证明]
MN=BN—BM.
因为BM=2bA,bN=^bd=*(BA+Bc),所以MN=1Ba+^Bc-2ba,
=^bc-!
§a.由于mc=BC—bm=bC-^ba,
3625
可知MC=3MN,即MC//MN.又因为MC、MN有公共点M,所以M、N、C
三点共线.
16
[分析]本题所给图形为正方形,故可考虑建立平面直角坐标系,用向量坐标来解决,为此只要写出pA和EF的坐标,证明其模相等即可.
[证明]建立如图所示的平面直角坐标系,设正方形的边长为
a,则A(0,a).设DP匸X>0),则F富入°),P警入E》,
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所以EF=孑入―a,—#入,PA=—乎人a—自,
因为|EF|2=;:
—2aMa2,I阮|2=卡一2aHa2,所以|PA|,即FA=EF.
17.
DC
[证明]tAB=AC,且D是BC的中点,
二AD丄BC,二ADBD=0.又DE丄AC,/.DEAE=0.
•••BD=DC,F是DE的中点,二EF=—2De.
•••AFBl=(AE+EF)(Bd+DE)
=AEBd+AEDE+eFBd+eFDE
=AEBd+EFBd+EFDE
=(Ad+de)Bd+EfBd+EfDe
=AdBd+deBD+EfBd+EfDe
=ideDC—1|deDC—2deDE
=2deDc—2deDe
1———1——
=2DE(DC—DE)=2DEEC=0.
•••AF丄BE,•••AF丄BE.
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