人教版八年级上册数学讲解.docx
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人教版八年级上册数学讲解
八年级数学讲义
第11章三角形
三角形的概念
1.三角形的定义由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形
要点:
①三条线段;②不在同一直线上;③首尾顺次相接.2.三角形的表示
△中,边:
,,或c,a,b.顶点:
A,B,C.内角:
∠A,∠B,∠C..
二、三角形的边
1.三角形的三边关系:
(证明所有几何不等式的唯一方法)
(1)三角形任意两边之和大于第三边>a
(2)三角形任意两边之差小于第三边<a
1.1判断三条已知线段
a、b、c能否组成三角形.
当a最长,且有>a时,就可构成三角形.
1.2确定三角形第三边的取值范围:
两边之差<第三边<两边之和
2.三角形的主要线段
2.1三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线
1锐角三角形三条高线交于三角形内部一点;
2直角三角形三条高线交于直角顶点;
3钝角三角形三条高线所在直线交于三角形外部一点
2.2三角形的角平分线
三角形一个角的平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
三条角平分线交于三角形内部一点
2.3三角形的中线
连结三角形一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线。
三角形的三条中线交于三角形内部一点
三、三角形的角
1三角形内角和定理
※三角形中至少有2个锐角
结论1:
△中:
∠∠∠180°
1个钝角
结论2:
在直角三角形中,两个锐角互余.※三角形中至多有
注意:
①在三角形中,已知两个内角可以求出第三个内角如:
在△中,∠180°-(∠∠B)②在三角形中,已知三个内角和的比或它们之间的关系,求各内角.如:
△中,已知∠A:
∠B:
∠2:
3:
4,求∠A、∠B、∠C的度数2三角形外角和定理
2.1外角:
三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的角.
2.2性质:
①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.③三角形的一个外角与与之相邻的内角互补
2.3外角个数:
过三角形的一个顶点有两个外角,这两个角为对顶角(相等)可见一个三角形共有6个外角
四、三角形的分类
(1)按角分:
①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形
(2)按边分:
①不等边三角形②底与腰不等的等腰三角形③等边三角形
五多边形及其内角
1、多边形的定义:
在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.
2、正多边形:
各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。
3、多边形的对角线
(1)从n边形一个顶点可以引(n-3)条对角线,将多边形分成(n-2)个三角形。
(2)n边形共有条对角线。
4、n边形的内角和等于(n-2)·180°(n≥3,n是正整数)。
任意凸形多边形的外角和等于360
※多边形外角和恒等于360°,与边数的多少无关.
※多边形最多有3个内角为锐角,最少没有锐角(如矩形);
※多边形的外角中最多有3个钝角,最少没有钝角.
5、实现镶嵌的条件:
拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°;相邻的多边形有公共边。
【考点三】判断三角形的形状
8、若△的三边a、b、c满足()()()=0,试判断△的形状。
9、已知a,b,c是△的三边,且满足a222,试判断△的形状。
10、若△的三边为a、b、c(a与b不相等),且满足a322223=0,试判断△的形状。
二、三角形角有关计算
1.如图△中是高、是角平分线,它们相交于点O,∠
解∵是△的高,∠C=70°
∴∠=180°-90°-70°=20°
∵∠=50°
∴∠=180°-50°-70°=60°
∵和是角平分线
∴∠=25°,∠=30°
∴∠=180°-25°-30°=125°
2.
如图,△中,D是边上一点,∠1=∠2,∠3=∠4,
3.
50°,∠C=70°求∠,∠
已知:
P是△内任意一点.求证:
∠>∠A
4.如图,∠1=∠2,∠3=∠4,∠100°,求x的值
5.已知△的∠B、∠C的平分线交于点O。
求证:
∠90°+∠A(角平分线模型)
6.已知:
、是△的外角的平分线,交于点
P。
求证:
∠90°-∠A(角平分线模型)
8.△中,∠90°,∠的平分线和△的外角∠平分线交于P,求∠P的度数
9.如图:
求证:
∠∠∠∠(飞镖模型)
第12章全等三角形
一、全等三角形的概念与性质
1、概念:
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
(1)表示方法:
两个三角形全等用符号“≌”来表示,记作ABC≌DEF
、全等三角形的判定
1全等三角形的判定方法:
2、性质:
(1)对应边相等
(2)对应角相等(3)周长相等(4)面积相等
边边边()
边角边()
角边角()
角角边
直角边和斜边()
三边对应相等的
有两边和它们的夹
有两角和它们的
两角和及其中一
有一条斜边和一条
两三角形全等
角对应相等的两个
夹边对应相等的
个角所对的边对
直角边对应相等的
三角形全等
两个三角形全等.
应相等的两个三
两个直角三角形全
角形全等.
等()
),(),(),(),()
2.全等三角形证题的思路:
找夹角(SAS)
①已知两边找直角(HL)
找第三边(SSS)
若边为角的对边,则找任意角(AAS)
②已知一边一角找已知角的另一边(SAS)
边为角的邻边找已知边的对角(AAS)找夹已知边的另一角(ASA)
③已知两角
找两角的夹边(ASA)找任意一边(AAS)
3全等三角形的隐含条件:
①公共边(或公共角)相等②对顶角相等
③利用等边(等角)加(或减)等边(等角),其和(或差)仍相等
④利用平行线的性质得出同位角、内错角相等
全等三角形()
,几何表示
知识要点】
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,简写成“边角边”或“”
全等三角形()
知识要点】
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,简写成“边角边”或
典型例题】
例2】如图,,BC,求证:
例3】已知:
如图,,
,,垂足分别为D、E,、相交于点F,求证:
ACB平分线.求证:
ACDBE.
例4】已知如图,1
2,34,点P在上,可以得出吗?
试证明之.
全等三角形()
知识要点】
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,简写成“边角边”或“”
典型例题】
例1】如图,已知ABC中,ABAC,BE、CD分别是ABC及
证明:
∵和是△的高,∴∠=∠=90°,
又∵∠1+∠3=∠2+∠4=90°,∠3=∠4∴∠1=∠2
12
在△和△中,MQNQ
MQPNQH
∴△≌△()∴=
例3】已知:
如图⊥于
C,⊥于D,M是的中点
连结并延长交于点
F。
求证:
.
全等三角形()
直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等,简写成
【知识要点】
【典型例题】
E,F是垂足,DE=BF.求证:
AB∥CD.
1、如图,=,⊥,⊥,
D
F
C
B
例2、已知:
⊥,=,=,求证:
①△≌△;②⊥.
例3、如图:
在△中,∠90°,,过点C在△外作直线,⊥于M,⊥于N。
(1)求证:
。
全等三角形常见辅助线的作法
一倍长中线法
倍长中线法:
就是将三角形的中线延长一倍,以便构造出全等三角形,从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.
倍长中线法的过程:
延长××到某点,使什么等于什么(延长的那一条),用证全等(对顶角)方法总结:
遇中线,要倍长,倍长之后构造全等三角形_,转移边、转移角,【例题精讲】
例1、如图1,在△中,为边上的中线.求证:
>2.
分析:
①因为为中线,延长至点E,使,连接;②进而利用全等三角形的判定证明:
延长至E,使,连接在△和△中,∠∠,∴△≌△()∴,分别是钝角△和锐角△的中线,且.求证:
例3、如图,在ABC中,AD交BC于点D,点E是BC中点,EF∥AD交CA的延长线于点F,交EF于点G,若BGCF,求证:
AD为ABC的角平分线.
证明:
延长FE到点H,使HEFE,连结BH.
在CEF和BEH中
CEBE
CEF
BEH
FEHE
∴CEF≌
BEH
∴EFC
EHB,
CFBH
BG
∴EHB
BGE,
而BGE
AGF
∴AFG
AGF
又∵EF∥
AD
∴AFG
CAD,
AGF
BAD
例4、如图,在ABC中,AD是BC边的中线,E是上一点,且=,延长交于点F.求证:
=证明:
延长到点G,使,连结.∵AD是BC边的中线∴
在△和△中
∠∠
△≌
∠∠
又∵,
∴∠∠G
∵∠∠,∴∠∠,
即:
∠∠,∴
二截长补短法
截长:
1.过某一点作长边的垂线2.在长边上截取一条与某一短边相同的线段,再证剩下的线段与另短边相等。
补短:
1.延长短边2.通过旋转等方式使两短边拼合到一起。
【例题精讲】
例2、如图,在△中,为边上的高,∠2∠C.求证:
.证明:
在上截取,连接,在△和△.中,∠∠∴△≌△()
∴,∠∠B,
∵∠∠∠,∠2∠C,,
∴∠2∠C.
∴∠∠,故.
在Δ和Δ中
∠∠
∠3=∠4,
∴Δ≌Δ
∴
∴
例3、如图,,、分别是∠、∠的平分线,点E在上,求证:
证明:
在上截取,连接.∵平分∠,
∴∠1=∠2.在△和△中,
∠1=∠2
∴△≌△.∴∠∠D又∵
∴∠∠180
而∠∠180°
∴∠∠例4、如图,△中,>,是∠的角平分线,P是线段上任一点除A、D外的任意一点。
求证:
->-证明:
在是截取=在△与△中,有:
=(已知)∠=∠(已知是∠角平分线)=(公共边)∴△≌△()∴=(全等三角形对应边相等)∵>-(三角形两边差小于第三边)∴>-(等量代换)
>-
->-
三与角平分线有关的辅助线
角平分线具有两条性质:
a、对称性;b、角平分线上的点到角两边的距离相等。
1截取构造全等
解法1:
在AC上截取AE使AE
AB,连结AE.
∵BADDAE,ADAD
,A
∴△ABD≌△AED,
∴∠B
∠AED,BDDE.
E
又∵ABBDAC,
∴CE
BDDE,
CDB
∴∠C
∠EDC,
(图1)
∴B
AED2C,
∴∠B
∠C21.
解法2:
延长AB到F,使AF
AC,连结DF.
例1如图1,在△ABC中,AD平分∠BAC,ABBDAC,求:
BC的值.
∠∠,
A
∴△≌△()∴
又∵ABBDAC∴∠2∠2∠C
2、“角平分线+垂线”构造全等三角形或等腰三角形例2如图3,在四边形ABCD中,BCBA,ADDC,BD平分∠ABC.
求证:
∠A∠C180.
证明:
过点D作DE⊥AB,交BA延长线于点∵BD平分∠ABC,
∴DEDF.又∵ADCD,
∴Rt△EAD≌Rt△FCD,
∴∠EAD∠C.
∵∠EAD∠BAD180,
∴CBAD180.
例3如图4,已知等腰三角形△ABC中,BD的垂线交BD的延长线于点E.求证:
BD
证明:
延长CE交BA的延长线于点F,∵BE是∠ABC的平分线,BECF,∴∠BCF∠F,
∴△FBC是等腰三角形.
∴CEFE.
∴CF2CE.
∵ABAC,∠ABD∠ACF,∠BAD
∴Rt△BAD≌Rt△CAF.
∴BDCF2CE.
角平分线的性质
D,⊥于E,。
求证:
射线是∠的平
1、角的平分线的性质
例1,如图,是∠的角平分线,点证明:
∵⊥,⊥(已知)∴∠∠900(垂直的定义)又∵平分∠(已知)∴∠∠(角的平分线定义)在△和△中
AOCBOC
ODPOEP
OPOP
∴△≌△()
∴(全等三角形的对应边相等)
2、角的平分线的逆应用(角平分线的判定)
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
例2已知:
如图,点P在∠内部的一条射线上,并且⊥于点分线。
证明:
∵⊥,⊥(已知)∴∠∠900(垂直的定义)
在△和△中,
OPOP
PDPE
∴△≌△()
典型例题】
例3:
如图,已知平分∠,⊥,⊥。
求证:
例4:
如图,已知⊥于D,⊥于E,,相交于点O,。
求证:
∠1=∠2
例5:
如图所示,已知平分∠,在,边上取,点
P在上,且⊥,⊥。
求证:
例6:
如图,是△中∠的平分线,,分别是△和△的高,那么与有何特殊的位置关系?
试证明你的结论。
例7:
如图,在四边形中,>,,平分∠。
求证:
∠∠1800。
第13章轴对称
的垂直平分线上
轴对称变换:
由一个平面图形得到它的轴对称图形,叫做轴对称变换
作轴对称图形
用坐标表示轴对称
P(x,y)关于x轴的对称点的坐标为
P(x,y)关于y轴的对称点的坐标为
P′(x,-y)P″(-x,y)
定义:
有两条边相等的三角形.叫做等腰三角形
知识网络结构图
(1)等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)
(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(三线合一)
1、轴对称及轴对称图形轴对称图形:
如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形。
这条直线就是它的对称轴。
这时我们就说这个图形关于这条直线(或轴)对称。
如下左图,△是轴对称图形。
规律方法小结:
轴对称图形是指“一个图形”;轴对称是指“两个图形”的位置关系,在某种情
况下,二者可以互相转换,如果把轴对称的两个图形看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形。
等腰三角形和等边三角形
1、等腰三角形的定义:
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形
2、等腰三角形的性质:
等边对等角三线合一
(1)两腰相等
(2)两底角相等
(3)“三线合一”,即顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合
3、等腰三角形的判定:
(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形
(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形
4、等边三角形的定义:
有三条边相等的三角形叫做等边三角形
5、等边三角形的性质:
三边都相等,三个角都相等,每一个角都等于60°
6、等边三角形的判定:
(1)三条边都相等的三角形是等边三角形
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形
(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
典型例题】
例1:
已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1:
4,则这个等腰三角形顶角的度数为()
A、200B、1200C、200或1200D、360
例2:
如图,在△中,点D是上一点,∠800,,则∠
例2:
若等腰三角形的底边长为8,腰长是5,则这个等腰三角形的周长是()
A、21B、18C、18或21D、13或26
例3:
如图,△中,∠900,∠600,平分∠,若6,则
例4:
如图,在△中,,是∠的外角∠的平分线。
试判断与的位置关系。
例5:
如图,△和△是等边三角形。
求证:
C
B
例6.已知如图所示,在△中,是边上的中线,⊥于B,∠120o,求证:
2
例7:
如图,在△中,∠900,∠600,的垂直平分线交于E,交于E,若3,求的长
D.0个
【例8】如图,△和△均是等边三角形,
中正确结论的个数是
A.3个B.2个C.1个分析:
∵△和△均是等边三角形∴,∠∠
∴∠∠
∴△≌△
∴∠∠
又∵∠∠60°,
∴△≌△
∴.故①②正确
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