高考数学一轮复习第八章立体几何初步课时训练.docx
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高考数学一轮复习第八章立体几何初步课时训练
【2019最新】精选高考数学一轮复习第八章立体几何初步课时训练
第1课时 空间点、直线、平面之间的位置关系
一、填空题
1.线段AB在平面α内,则直线AB与平面α的位置关系是____________.(用符号表示)
答案:
AB⊂α
解析:
由公理1可知AB⊂α.
2.已知α∩β=l,m⊂α,n⊂β,m∩n=P,则点P与直线l的位置关系用相应的符号表示为________.
答案:
P∈l
解析:
因为α∩β=l,m⊂α,n⊂β,m∩n=P,所以P∈m,P∈n,P∈α,P∈β,所以P∈l.
3.设a,b,c是空间中的三条直线,下面给出四个命题:
①若a∥b,b∥c,则a∥c;
②若a⊥b,b⊥c,则a∥c;
③若a与b相交,b与c相交,则a与c相交;
④若a∥b,b⊥c,则a⊥c.
上述命题中正确的是________.(填序号)
答案:
①④
解析:
由公理4知①正确;当a⊥b,b⊥c时,a与c可以相交、平行或异面,故②错误;当a与b相交,b与c相交时,a与c可以相交、平行或异面,故③错误;根据异面直线所成角的定义知④正确.
4.若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是________.(填序号)
①l与l1,l2都不相交;②l与l1,l2都相交;③l至多与l1,l2中的一条相交;④l至少与l1,l2中的一条相交.
答案:
④
解析:
若l与l1,l2都不相交,则l∥l1,l∥l2,所以l1∥l2,这与l1和l2是异面直线相矛盾,所以l至少与l1,l2中的一条相交.故④正确.
5.如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,点E,F分别为B1O和C1O的中点,长方体的各棱中,与EF平行的有__________条.
答案:
4
解析:
∵EF是△OB1C1的中位线,∴EF∥B1C1.∵B1C1∥BC∥AD∥A1D1,∴与EF平行的棱共有4条.
6.如图为正方体表面的一种展开图,则图中的四条线段AB,CD,EF,GH在原正方体中互为异面的有________对.
答案:
3
解析:
平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化,则AB,CD,EF和GH在原正方体中,显然AB与CD,EF与GH,AB与GH都是异面直线,而AB与EF相交,CD与GH相交,CD与EF平行.故互为异面的直线有且只有3对.
7.已知ABCDA1B1C1D1是正方体,点O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论中错误的是________.(填序号)
①A,M,C1三点共线;
②M,O,A1,A四点共面;
③A,O,C,M四点共面;
④B,B1,O,M四点共面.
答案:
①④
解析:
作出图形,可知②③正确.
8.如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,点D是AC的中点,AA1∶AB=∶1,则异面直线AB1与BD所成的角为________.
答案:
60°
解析:
如图,取A1C1的中点E,连结B1E,ED,AE,在Rt△AB1E中,∠AB1E即为所求,设AB=1,则AA1=,AB1=,B1E=,故∠AB1E=60°.
9.如图,点G,N,M,H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有________.(填序号)
答案:
②④
解析:
图①中,直线GH∥MN;图②中,G,H,N三点共面,但M∉平面GHN,因此直线GH与MN异面;图③中,连结MG,GM∥HN,因此GH与MN共面;图④中,G,M,N共面,但H∉平面GMN,因此GH与MN异面.所以图②④中GH与MN异面.
10.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,点M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列判断正确的是________.(填序号)
①MN与CC1垂直;②MN与AC垂直;
③MN与BD平行;④MN与A1B1平行.
答案:
①②③
解析:
连结B1C,B1D1,则MN是△B1CD1的中位线,
∴MN∥B1D1.∵CC1⊥B1D1,AC⊥B1D1,BD∥B1D1,∴MN⊥CC1,MN⊥AC,MN∥BD,故①②③正确.
∵A1B1与B1D1相交,
∴MN与A1B1不平行,因此④错误.
二、解答题
11.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,点E,F分别为D1C1,B1C1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.
(1)求证:
D,B,E,F四点共面;
(2)作出直线A1C与平面BDEF的交点R的位置.
(1)证明:
由于CC1和BF在同一个平面内且不平行,故必相交.设交点为O,则OC1=C1C.同理直线DE与CC1也相交,设交点为O′,则O′C1=C1C,故O′与O重合.由此可证得DE∩BF=O,故D,B,F,E四点共面(设为α).
(2)解:
由于AA1∥CC1,所以A1,A,C,C1四点共面(设为β).P∈BD,而BD⊂α,故P∈α.
又P∈AC,而AC⊂β,所以P∈β,
所以P∈α∩β,同理可证得Q∈α∩β,所以有α∩β=PQ.
因为A1C⊂β,
所以A1C与平面α的交点就是A1C与PQ的交点,连结A1C,则A1C与PQ的交点R就是所求的交点.
12.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,点E,F分别为A1A,C1C的中点,求证:
四边形EBFD1是菱形.
证明:
如图,取B1B的中点G,连结GC1,EG,
∵GB∥C1F,且GB=C1F,
∴四边形C1FBG是平行四边形,
∴FB∥C1G,且FB=C1G.
∵D1C1∥EG,且D1C1=EG,
∴四边形D1C1GE为平行四边形,
∴GC1∥D1E,且GC1=D1E,
∴FB∥D1E,且FB=D1E,
∴四边形EBFD1为平行四边形.
∵FB=FD1,∴四边形EBFD1是菱形.
13.已知空间四面体ABCD,点E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别是BC,CD上的点,且CG=BC,CH=DC.求证:
(1)E,F,G,H四点共面;
(2)三条直线FH,EG,AC共点.
证明:
(1)如图,连结EF,GH.
∵点E,F分别是AB,AD的中点,
∴EF∥BD.
∵CG=BC,CH=DC,
∴GH∥BD,∴EF∥GH,
∴E,F,G,H四点共面.
(2)易知FH与直线AC不平行,但共面,
∴设FH∩AC=M,
∴M∈平面EFHG,M∈平面ABC.
∵平面EFHG∩平面ABC=EG,
∴M∈EG,∴直线FH,EG,AC共点.第2课时 直线与平面的位置关系
(1)
一、填空题
1.直线a,b为异面直线,关于过直线a且与直线b平行的平面的情况,下列说法正确的是________.(填序号)
①有且只有一个;②有无数多个;③至多一个;④不存在.
答案:
①
解析:
在直线a上任选一点A,过点A作b′∥b,则b′是唯一的,又a∩b′=A,所以a与b′确定一平面并且只有一个平面,故①正确.
2.对于不同直线m,n和不同平面α,β,给出下列命题:
①⇒m∥n;②⇒n∥β;
③⇒m,n不共面;④⇒m∥n.
其中假命题的个数是__________.
答案:
4
解析:
①中m与n可能平行,也可能异面;②中可能n⊂β;③中可能m∥n或m与n相交;④中不知道α与β的位置,无法判断m与n的位置关系.故四个命题都不正确.
3.若直线l与平面α不平行,则下列结论正确的是________.(填序号)
①α内的所有直线都与直线l异面;②α内不存在与l平行的直线;③α内的直线与l都相交;④直线l与平面α有公共点.
答案:
④
解析:
直线l与平面α不平行,则直线l与平面α有如下关系:
l⊂α或l∩α=A,故①②③均不正确,④正确.
4.下列命题正确的是________.(填序号)
①若a,b是两条直线,且a∥b,那么a平行于经过b的任何平面;
②若直线a和平面α满足a∥α,那么a与α内的任何直线平行;
③若直线a,b和平面α满足a∥α,b∥α,那么a∥b;
④若直线a,b和平面α满足a∥b,a∥α,b⊄α,则b∥α.
答案:
④
解析:
根据线面平行的判定与性质定理知,④正确.
5.已知三条直线a,b,c和平面β,则下列推论正确的是________.(填序号)
①若a∥b,b⊂β,则a∥β;
②若a∥β,b∥β,则a∥b;
③若a⊂β,b∥β,a,b共面,则a∥b;
④若a⊥c,b⊥c,则a∥b.
答案:
③
解析:
对于①,可能有a⊂β,故①错;对于②,a与b可能平行、相交或异面,故②错;对于④,a与b可能平行、相交或异面,故④错;根据线面平行的性质定理知,③正确.
6.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上.若EF∥平面AB1C,则线段EF的长度为________.
答案:
解析:
因为EF∥平面AB1C,EF⊂平面ABCD,平面AB1C∩平面ABCD=AC,所以EF∥AC.又点E是AD的中点,所以点F是DC的中点.所以EF=AC=.
7.过三棱柱ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条.
答案:
6
解析:
四条棱AC,BC,A1C1,B1C1的中点中任意两点连线均与平面ABB1A1平行,所以共有6条直线符合题意.
8.如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ平行的是________.(填序号)
答案:
②③④
解析:
因为点M,N,Q分别为对应棱的中点,所以在①中AB与平面MNQ相交,在②③中均有AB∥MQ,在④中,有AB∥NQ,所以在②③④中均有AB与平面MNQ平行.
9.如图,正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,点E,F,G,H分别是棱C1C,C1D1,D1D,DC的中点,点N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则点M只需满足条件________________时,就有MN∥平面B1BDD1.(填上正确的一个条件即可,不必考虑全部的可能情况)
答案:
点M与点H重合(或点M在线段FH上)
解析:
当点M在线段FH上时,MN∥平面B1BDD1.
二、解答题
10.如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是平行四边形,点E,F分别是棱PC和PD的中点.求证:
EF∥平面PAB.
证明:
因为点E,F分别是棱PC和PD的中点,
所以EF∥CD.
又在平行四边形ABCD中,AB∥CD,所以EF∥AB,
又AB⊂平面PAB,EF⊄平面PAB,所以EF∥平面PAB.
11.如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,点E,F分别为BB1,AC的中点.求证:
BF∥平面A1EC.
证明:
如图,连结AC1交A1C于点O,连结OE,OF.
在三棱柱ABCA1B1C1中,四边形ACC1A1为平行四边形,所以OA=OC1.
因为点F为AC的中点,所以OF∥CC1且OF=CC1.
因为点E为BB1的中点,所以BE∥CC1且BE=CC1.
所以BE∥OF且BE=OF,
所以四边形BEOF是平行四边形,
所以BF∥OE.
又BF⊄平面A1EC,OE⊂平面A1EC,
所以BF∥平面A1EC.
12.如图,已知A,B,C,D四点不共面,且AB∥α,CD∥α,AC∩α=E,AD∩α=F,BD∩α=H,BC∩α=G.求证:
四边形EFHG是平行四边形.
证明:
∵AB∥α,平面ABC∩α=EG,∴EG∥AB.
同理FH∥AB,∴EG∥FH.
又CD∥α,平面BCD∩α=GH.
∴GH∥CD.
同理EF∥CD,
∴GH∥EF.
∴四边形EFHG是平行四边形.
13.如图,在斜三棱柱ABCA1B1C1中,点D,D1分别为AC,A1C1上的中点.求证:
(1)AD1∥平面BDC1;
(2)BD∥平面AB1D1.
证明:
(1)因为点D1,D分别为A1C1与AC的中点,四边形ACC1A1为平行四边形,所以C1D1∥DA,C1D1=DA,
所以四边形ADC1D1为平行四边形,
所以AD1∥C1D.
又AD1⊄平面BDC1,C1D⊂平面BDC1,
所以AD1∥平面BDC1.
(2)如图,连结D1D,
因为BB1∥平面ACC1A1,BB1⊂平面BB1D1D,平面ACC1A1∩平面BB1D1D=D1D,
所以BB1∥D1D.
又D1,D分别为A1C1与AC的中点,
所以BB1=DD1,
故四边形BDD1B1为平行四边形,
所以BD∥B1D1.
又BD⊄平面AB1D1,B1D1⊂平面AB1D1,
所以BD∥平面AB1D1.
第3课时 直线与平面的位置关系
(2)
一、填空题
1.设l,m,n均为直线,其中m,n在平面α内,则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的________条件.
答案:
充分不必要
解析:
l⊥α⇒l⊥m,l⊥n.反之,因为m,n不一定相交,故l⊥m且l⊥n不一定推出l⊥α.
2.下列条件中,能判定直线l⊥平面α的是________.(填序号)
①l与平面α内的两条直线垂直;
②l与平面α内的无数条直线垂直;
③l与平面α内的某一条直线垂直;
④l与平面α内的任意一条直线垂直.
答案:
④
解析:
由线面垂直的定义及判定定理可知④正确.
3.下列说法正确的是________.(填序号)
①若平面外一条直线上有两点到平面的距离相等,则这条直线平行于这个平面;
②若一条直线平行于一个平面,则垂直于这个平面的直线必垂直于这条直线;
③若一条直线平行于一个平面,则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面.
答案:
②
解析:
当这两点在平面两侧时,直线与平面相交,①错误;②正确;③中垂直于这条直线的另一条直线可能平行于这个平面或相交但不垂直于这个平面,③错误.
4.已知平面α,β和直线m,给出条件:
①m∥α;②m⊥α;③m⊂α;④α∥β.当满足条件________时,有m⊥β.(填序号)
答案:
②④
解析:
若m⊥α,α∥β,则m⊥β.故填②④.
5.已知m,n是两条不同的直线,α是一个平面,有下列四个命题:
①若m∥α,n∥α,则m∥n;
②若m⊥α,n⊥α,则m∥n;
③若m∥α,n⊥α,则m⊥n;
④若m⊥α,m⊥n,则n∥α.
其中真命题是____________.(填序号)
答案:
②③
6.如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱长为2,AC=BC=1,∠ACB=90°,点D是A1B1的中点,F是BB1上的动点,AB1,DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF,则线段B1F=________.
答案:
解析:
设B1F=x,因为AB1⊥平面C1DF,DF⊂平面C1DF,所以AB1⊥DF.
由已知,得A1B1=.设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h,则DE=h.
又2×=h,所以h=,DE=.
在Rt△DB1E中,B1E==.
由面积相等,得×=x,解得x=.即线段B1F的长为.
7.如图,PA⊥平面ABC,在△ABC中BC⊥AC,则图中直角三角形的个数为________.
答案:
4
解析:
⇒⇒BC⊥平面PAC⇒BC⊥PC,∴直角三角形有△PAB,△PAC,△ABC,△PBC.
8.在正方体ABCDA1B1C1D1中,A1C1与平面ABC1D1所成角的正弦值为________.
答案:
解析:
如图,在平面ADD1A1中作A1E⊥AD1于点E,连结C1E,因为正方体ABCDA1B1C1D1中,AB⊥平面ADD1A1,所以A1E⊥AB.因为AD1∩AB=A,AD1,AB⊂平面ABC1D1,则A1E⊥平面ABC1D1,所以∠A1C1E就是A1C1与平面ABC1D1所成的角,在Rt△AA1D1中,AA1=A1D1,A1E⊥AD1,所以点E为AD1的中点,且A1E=AD1=A1C1,所以sin∠A1C1E==.
9.设α,β是空间中两个不同的平面,m,n是平面α及β外的两条不同的直线.从“①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α”中选取三个作为条件,余下一个作为结论,写出你认为正确的一个命题:
________.(填序号)
答案:
①③④⇒②或②③④⇒①
解析:
因为当n⊥β,m⊥α时,平面α及β所成的二面角与直线m,n所成的角相等或互补,所以若m⊥n,则α⊥β,从而由①③④⇒②正确;同理②③④⇒①也正确.
10.如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,点F在线段AA1上,当AF=________时,CF⊥平面B1DF.
答案:
a或2a
解析:
由题意可得B1D⊥平面A1ACC1,∴CF⊥B1D,∴为了使CF⊥平面B1DF,只要使CF⊥DF(或CF⊥B1F).设AF=x,则CD2=DF2+FC2,∴x2-3ax+2a2=0,∴x=a或x=2a.
二、解答题
11.如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为菱形,且PA⊥底面ABCD,PA=AC,点E是PA的中点,点F是PC的中点,求证:
(1)PC∥平面BDE;
(2)AF⊥平面BDE.
证明:
(1)连结OE,
因为点O为菱形ABCD对角线的交点,所以点O为AC的中点.
因为点E为PA的中点,所以OE∥PC.
因为OE⊂平面BDE,PC⊄平面BDE,
所以PC∥平面BDE.
(2)因为PA=AC,△PAC是等腰三角形,
又点F是PC的中点,所以AF⊥PC.
又OE∥PC,所以AF⊥OE.
因为PA⊥底面ABCD,BD⊂平面ABCD,
所以PA⊥BD.
因为AC,BD是菱形ABCD的对角线,
所以AC⊥BD.
又PA∩AC=A,AC⊂平面PAC,PA⊂平面PAC,
所以BD⊥平面PAC.
又AF⊂平面PAC,
所以AF⊥BD.
又OE∩BD=O,OE⊂平面BDE,BD⊂平面BDE,
所以AF⊥平面BDE.
12.如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,点D在边BC上,AD⊥C1D.
(1)求证:
AD⊥平面BCC1B1;
(2)如果点E是B1C1的中点,求证:
A1E∥平面ADC1.
证明:
(1)因为ABCA1B1C1是正三棱柱,所以CC1⊥平面ABC.
又AD⊂平面ABC,所以CC1⊥AD.
又因为AD⊥C1D,CC1,C1D⊂平面BCC1B1,CC1∩C1D=C1,
所以AD⊥平面BCC1B1.
(2)因为在正三棱柱ABCA1B1C1中,A1B1=A1C1,点E是B1C1的中点,
所以A1E⊥B1C1.
因为CC1⊥平面A1B1C1,且A1E⊂平面A1B1C1,
所以CC1⊥A1E.
又因为B1C1,CC1⊂平面BCC1B1,B1C1∩CC1=C1,
所以A1E⊥平面BCC1B1.
由
(1)知AD⊥平面BCC1B1,所以A1E∥AD.
又A1E⊄平面ADC1,AD⊂平面ADC1,
所以A1E∥平面ADC1.
13.在直三棱柱ABCA1B1C1中,CA=CB,AA1=AB,D是AB的中点.若点P在线段BB1上,且BP=BB1.求证:
AP⊥平面A1CD.
证明:
∵CA=CB,D是AB的中点,∴CD⊥AB.
∵在直三棱柱ABCA1B1C1中,底面ABC⊥侧面AA1B1B,交线为AB,又CD⊂平面ABC,∴CD⊥平面AA1B1B.
∵AP⊂平面A1B1BA,∴CD⊥AP.
∵BB1=BA,BB1=AA1,BP=BB1,
∴==,
∴Rt△ABP∽Rt△A1AD,∴∠AA1D=∠BAP,
∴∠AA1D+∠A1AP=∠BAP+∠A1AP=90°,
∴AP⊥A1D.
∵CD∩A1D=D,CD⊂平面A1CD,A1D⊂平面A1CD,
∴AP⊥平面A1CD.
第4课时 平面与平面的位置关系
一、填空题
1.设α,β为互不重合的平面,m,n是互不重合的直线,给出下列四个命题:
①若m∥n,n⊂α,则m∥α;
②若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β;
③若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n;
④若α⊥β,α∩β=m,n⊂α,n⊥m,则n⊥β.
其中正确的命题是____________.(填序号)
答案:
④
解析:
①中没有强调m在平面α外;②中没有强调m,n相交;③中m与n有可能异面;④正确.
2.已知正方体ABCDA1B1C1D1,下列结论中正确的是________.(填序号)
①AD1∥BC1;
②平面AB1D1∥平面BDC1;
③AD1∥DC1;
④AD1∥平面BDC1.
答案:
①②④
解析:
由四边形ABC1D1是平行四边形可知AD1∥BC1,故①正确;根据线面平行与面面平行的判定定理可知,②④正确;AD1与DC1是异面直线,故③错误.
3.已知α,β是两个不同的平面,m,n是两条不重合的直线,则下列说法中正确的序号是________.
①若m∥α,α∩β=n,则m∥n;
②若m⊥α,n⊥m,则n∥α;
③若m⊥α,n⊥β,α⊥β,则m⊥n;
④若α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则m⊥β.
答案:
③
解析:
对于①,如图,m∥α,α∩β=n,此时m,n异面,故①错误;
对于②,若m⊥α,m⊥n,则n∥α或n⊂α,故②错误;
对于③,若n⊥β,α⊥β,则n∥α或n⊂α,又m⊥α,∴m⊥n,故③正确;
对于④,若α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则m也可能与β相交、平行或在β内,故④错误.
4.已知α和β是两个不重合的平面.在下列条件中,可判定α∥β的是________.(填序号)
①α内有无数条直线平行于β;
②α内不共线的三点到β的距离相等;
③l,m是平面α内的直线,且l∥β,m∥β;
④l,m是异面直线且l∥α,m∥α,l∥β,m∥β.
答案:
④
解析:
由面面平行的判定定理可以推出.
5.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中正确的是________.(填序号)
①若m∥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β;
②若m∥α,n⊥β,m∥n,则α⊥β;
③若m∥α,n⊥β,m⊥n,则α∥β;
④若m∥α,n⊥β,m∥n,则α∥β.
答案:
②
解析:
②选项,由条件n⊥β,m∥n推出m⊥β,又m∥α,易知α⊥β.
6.设α,β是两个不同的平面,a,b是两条不同的直线,给出四个论断:
①α∩β=b;②a⊂β;③a∥b;④a∥α.以其中三个论断为条件,余下一个论断为结论,写出你认为正确的命题:
__.
答案:
①②③⇒④或①②④⇒③
解析:
若α∩β=b,a⊂β,a∥b,则a∥α,即①②③⇒④;若α∩β=b,a⊂β,a∥α,则a∥b,即①②④⇒③.
7.α,β为两个不同的平面,m,n为两条不同的直线,下列命题中正确的序号是________.
①若α∥β,m⊂α,则m∥β;
②若m∥α,n⊂α,则m∥n;
③若α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则m⊥β;
④若n⊥α,n⊥β,m⊥α,则m⊥β.
答案:
①④
解析:
由α,β为两个不同的平面,m,n为两条不同的直线,知:
在①中,若α∥β,m⊂α,则由面面平行的性质定理得m∥β,故①正确;
在②中,若m∥α,n⊂α,则m∥n或m与n异面,故②错误;
在③中,若α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则m与β相交、平行或m⊂β,故③错误;
在④中,若n⊥α,m⊥α,则m∥n,又由n⊥
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