立体几何初步第1章 1111Word格式.docx
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棱
锥
当棱柱的一个底面收缩为一点时,得到的几何体叫做棱锥
棱锥S—ABCD
底面(底):
多边形面,
侧面:
有公共顶点的各个三角形面,
由棱柱的一个底面收缩而成
按底面多边形的边数分:
三棱锥、四棱锥、……
知识点三 棱台的结构特征
思考 观察下列多面体,分析其与棱锥有何区别与联系?
答案
(1)区别:
有两个面相互平行.
(2)联系:
用平行于棱锥底面的平面去截棱锥,其底面和截面之间的部分即为该几何体.
梳理 棱台的结构特征
台
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,得到两个几何体,一个仍然是棱锥,另一个我们称之为棱台
棱台ABCD—A′B′C′D′
上底面:
原棱锥的截面,
下底面:
原棱锥的底面,
其余各面,
侧面与上(下)底面的公共顶点
由三棱锥、四棱锥、五棱锥、……
截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台、……
知识点四 多面体
思考 一般地,怎样定义多面体?
围成多面体的各个多边形,相邻两个多边形的公共边,以及这些公共边的公共点分别叫什么名称?
答案 多面体是由若干个平面多边形围成的几何体.围成多面体的各个多边形叫多面体的面;
相邻两个面的公共边叫多面体的棱;
棱和棱的公共点叫多面体的顶点.
梳理
类别
多面体
由一些平面多边形围成的几何体
图形
相关
概念
面:
围成多面体的各个多边形,
棱:
相邻两个面的公共边,
棱与棱的公共点
类型一 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
命题角度1 棱柱的结构特征
例1 下列关于棱柱的说法:
①所有的面都是平行四边形;
②每一个面都不会是三角形;
③两底面平行,并且各侧棱也平行;
④被平行于底面的平面截成的两部分可以都是棱柱.
其中正确说法的序号是________.
答案 ③④
解析 ①错误,底面可以不是平行四边形;
②错误,底面可以是三角形;
③正确,由棱柱的定义可知;
④正确,被平行于底面的平面截成的两部分可以都是棱柱.
反思与感悟 关于棱柱的辨析
(1)紧扣棱柱的结构特征进行有关概念辨析.
①两个面互相平行;
②其余各面是四边形;
③相邻两个四边形的公共边互相平行.
(2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除.
特别提醒:
求解与棱柱相关的问题时,首先看是否有两个平行的面作为底面,再看是否满足其他特征.
跟踪训练1 关于棱柱,下列说法正确的是__________.(填序号)
①有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱;
②棱柱的侧棱长相等,侧面都是平行四边形;
③上、下底面是菱形,各侧面是全等的正方形的四棱柱一定是正方体.
答案 ②
解析 ①不正确,反例如图所示.
②正确,由棱柱定义可知,棱柱的侧棱相互平行且相等,所以侧面均为平行四边形.
③不正确,上、下底面是菱形,各侧面是全等的正方形的四棱柱不一定是正方体.
命题角度2 棱锥、棱台的结构特征
例2
(1)判断如图所示的物体是不是棱锥,为什么?
解 该物体不是棱锥.因为棱锥的定义中要求:
各侧面有一个公共顶点,但侧面ABC与侧面CDE没有公共顶点,所以该物体不是棱锥.
(2)如图所示的多面体是不是棱台?
解 根据棱台的定义,可以得到判断一个多面体是棱台的标准有两个:
一是共点,二是平行.即各侧棱的延长线要交于一点,上、下两个底面要平行,二者缺一不可.据此,图①中多面体侧棱延长线不相交于同一点,故不是棱台;
图②中多面体不是由棱锥截得的,不是棱台;
图③中多面体虽是由棱锥截得的,但截面与底面不平行,因此也不是棱台.
反思与感悟 棱锥、棱台结构特征问题的判断方法
(1)举反例法
结合棱锥、棱台的定义举反例直接说明关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.
(2)直接法
棱锥
棱台
定底面
只有一个面是多边形,此面即为底面
两个互相平行的面,即为底面
看侧棱
相交于一点
延长后相交于一点
跟踪训练2 下列关于棱锥、棱台的说法:
①棱台的侧面一定不会是平行四边形;
②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥;
③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.
答案 ①②
解析 ①正确,棱台的侧面一定是梯形,而不是平行四边形;
②正确,由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥;
③错误,如图所示四棱锥被阴影部分所在的平面截成的两部分是两个三棱锥.
类型二 棱柱、棱锥、棱台的画法
例3 画出一个三棱柱和一个四棱台.
解
(1)画三棱柱可分以下三步完成:
第一步,画上底面——画一个三角形;
第二步,画侧棱——从三角形的每一个顶点画平行且相等的线段;
第三步,画下底面——顺次连结这些线段的另一个端点(如图所示).
(2)画四棱台可分以下三步完成:
第一步,画一个四棱锥;
第二步,在它的一条侧棱上取一点,然后从这点开始,顺次在各个侧面内画出与底面对应边平行的线段;
第三步,将多余的线段擦去(如图所示).
反思与感悟 在平面几何中,虚线表示作的辅助线,但在空间图形中,虚线表示被遮挡的线.在空间图形中作辅助线时,被遮挡的线作成虚线,看得见的线仍作成实线.作图时要使用铅笔、直尺等,力求准确.
跟踪训练3 画一个六面体.
(1)使它是一个四棱柱;
(2)使它是由两个三棱锥组成;
(3)使它是五棱锥.
解 如图所示.图1是一个四棱柱.
图2是一个由两个三棱锥组成的几何体.
图3是一个五棱锥.
类型三 空间问题与平面问题的转化
例4 如图所示,在侧棱长为2
的正三棱锥V—ABC中,∠AVB=∠BVC=∠CVA=40°
,过A作截面AEF,求截面△AEF周长的最小值.
解 将三棱锥沿侧棱VA剪开,并将其侧面展开平铺在一个平面上,如图所示.
线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值.
取AA1的中点D,
则VD⊥AA1,∠AVD=60°
,
可知AD=3,则AA1=6.
即截面△AEF周长的最小值为6.
反思与感悟 求几何体表面上两点间的最小距离的步骤
(1)将几何体沿着某棱剪开后展开,画出其侧面展开图.
(2)将所求曲线问题转化为平面上的线段问题.
(3)结合已知条件求得结果.
跟踪训练4 如图所示,在所有棱长均为1的直三棱柱上,有一只蚂蚁从点A出发,围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A1,则爬行的最短路程为________.
答案
解析 将三棱柱侧面沿AA1展开如图所示,则线段AD1即为最短路线,即AD1=
=
.
1.有下列三个命题:
①用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台;
②两个面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台;
③有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.
其中正确的有________个.
答案 0
解析 ①中的平面不一定平行于底面,故①错;
②③可用反例去检验,如图所示,侧棱延长线不能相交于一点,故②③错.
2.三棱锥的四个面中可以作为底面的有________个.
答案 4
解析 三棱锥的每一个面均可作为底面.
3.下列说法错误的是________.(填序号)
①多面体至少有四个面;
②九棱柱有9条侧棱,9个侧面,侧面为平行四边形;
③长方体、正方体都是棱柱;
④三棱柱的侧面为三角形.
答案 ④
解析 由于三棱柱的侧面为平行四边形,故④错.
4.下列几何体中,________是棱柱,________是棱锥,________是棱台.(仅填相应序号)
答案 ①③④ ⑥ ⑤
解析 结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知,①③④是棱柱,⑥是棱锥,⑤是棱台.
5.下图中不可能围成正方体的是________.(填序号)
1.棱柱、棱锥及棱台定义的关注点
(1)棱柱的定义有以下两个要点,缺一不可:
①有两个平面(底面)互相平行.
②其余各面(侧面)每相邻两个面的公共边(侧棱)都互相平行.
(2)棱锥的定义有以下两个要点,缺一不可:
①有一个面(底面)是多边形.
②其余各面(侧面)是有一个公共顶点的三角形.
(3)棱台是由一个平行于棱锥底面的平面截得的.
2.棱柱、棱锥、棱台之间的关系
在运动变化的观点下,棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来(以三棱柱、三棱锥、三棱台为例).
3.根据几何体的结构特点判定几何体的类型,首先要熟练掌握各几何体的概念,把握好各类几何体的性质,其次要有一定的空间想象能力.
课时作业
一、填空题
1.下面图形所表示的几何体中,不是棱锥的为________.(填序号)
答案 ①
解析 结合棱锥的定义可知,①不符合其定义,故填①.
2.一个棱柱至少有________个面,面数最少的一个棱锥有______个顶点,顶点最少的一个棱台有______条侧棱.
答案 5 4 3
3.下列描述中,是棱柱的结构特征的有________.(填序号)
①有两个面互相平行;
②侧面都是四边形;
③每相邻两个侧面的公共边都互相平行;
④所有侧棱都交于一点.
答案 ①②③
解析 由棱柱的定义知,①②③是它的结构特征,④不是棱柱的结构特征,因为棱柱的侧棱均平行.
4.具备下列条件的多面体是棱台的是________.(填序号)
①两底面是相似多边形的多面体;
②侧面是梯形的多面体;
③两底面平行的多面体;
④两底面平行,且侧棱延长后交于一点的多面体.
解析 棱台是由棱锥截得的,因此一个几何体要成为棱台应有两个条件:
一是上、下底面平行;
二是各侧棱延长后交于一点.③只具备一个条件,①②两条件都不具备.
5.下图中不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是________.(填序号)
解析 ③④中的四个三角形有公共顶点,无法折成三棱锥,故不是正四面体的展开图.
6.在五棱柱中,不在同一侧面且不在同一底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个五棱柱对角线的条数为________.
答案 10
解析 如图,在五棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1中,从顶点A出发的对角线有两条:
AC1,AD1,同理从B,C,D,E点出发的对角线均有两条,所以共2×
5=10(条).
7.如图,将三棱台ABC—A′B′C′沿A′BC截去三棱锥A′—ABC,则剩余部分是_____.
答案 四棱锥A′—BCC′B′
解析 在图中截去三棱锥A′—ABC后,剩余的是以BCC′B′为底面,A′为顶点的四棱锥.
8.用一个平行于棱锥底面的平面去截这个棱锥,截得的棱台上、下底面的面积比为1∶4,且截去的棱锥的高是3m,则棱台的高是________cm.
答案 3
解析 由棱锥、棱台的性质可知,棱台的上、下底面相似.又因为上、下底面的面积比为1∶4,所以上、下底面的边长比为1∶2,所以截去的小棱锥与原大棱锥的高之比为1∶2,则棱台的高是3cm.
9.如图,M是棱长为2cm的正方体ABCDA1B1C1D1的棱CC1的中点,沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________cm.
解析 由题意,若以BC为轴展开,则A,M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2cm,3cm,故两点之间的距离是
cm.若以BB1为轴展开,则A,M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1,4,故两点之间的距离是
cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是
cm.
10.在正方体上任意选择4个顶点,它们可能是如下各种几何图形的4个顶点,这些几何图形是________.(写出所有正确结论的序号)
①矩形;
②不是矩形的平行四边形;
③有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四面体;
④每个面都是等边三角形的四面体;
⑤每个面都是直角三角形的四面体.
答案 ①③④⑤
解析 ①正确,如图四边形A1D1CB为矩形;
②错误,任意选择4个顶点,若组成一个平面图形,则必为矩形或正方形,如四边形ABCD为正方形,四边形A1BCD1为矩形;
③正确,如四面体A1ABD;
④正确,如四面体A1C1BD;
⑤正确,如四面体B1ABD.故填①③④⑤.
二、解答题
11.根据下列关于空间几何体的描述,说出几何体的名称.
(1)由6个平行四边形围成的几何体;
(2)由7个面围成,其中一个面是六边形,其余6个面都是有一个公共顶点的三角形;
(3)由5个面围成的几何体,其中上、下两个面是相似三角形,其余3个面都是梯形,并且这些梯形的腰延长后能相交于一点.
解
(1)这是一个上、下底面是平行四边形,四个侧面也是平行四边形的四棱柱.
(2)这是一个六棱锥,其中六边形面是底面,其余的三角形面是侧面.
(3)这是一个三棱台,其中相似的两个三角形面是底面,其余三个梯形面是侧面.
12.如图,在边长为2a的正方形ABCD中,E,F分别为AB,BC的中点,沿图中虚线将3个三角形折起,使点A、B、C重合,重合后记为点P.
问:
(1)折起后形成的几何体是什么几何体?
(2)这个几何体共有几个面,每个面有何特点?
(3)每个面的面积为多少?
解
(1)如图,折起后的几何体是三棱锥.
(2)这个几何体共有4个面,其中△DEF为等腰三角形,△PEF为等腰直角三角形,△DPE和△DPF均为直角三角形.
(3)S△PEF=
a2,S△DPF=S△DPE=
×
2a×
a=a2,
S△DEF=S正方形ABCD-S△PEF-S△DPF-S△DPE
=(2a)2-
a2-a2-a2=
a2.
13.在一个长方体的容器中,里面装有少量水,现将容器绕着其底部的一条棱倾斜,在倾斜的过程中.
(1)水面的形状不断变化,可能是矩形,也可能变成不是矩形的平行四边形,对吗?
(2)水的形状也不断变化,可以是棱柱,也可能变为棱台或棱锥,对吗?
(3)如果倾斜时,不是绕着底部的一条棱,而是绕着其底部的一个顶点,上面的第
(1)题和第
(2)题对不对?
解
(1)不对.水面的形状就是用一个与棱(倾斜时固定不动的棱)平行的平面截长方体时截面的形状,因而可以是矩形,但不可能是其他非矩形的平行四边形.
(2)不对.水的形状就是用与棱(将长方体倾斜时固定不动的棱)平行的平面将长方体截去一部分后,剩余部分的几何体,此几何体是棱柱,水比较少时,是三棱柱,水多时,可能是四棱柱或五棱柱,但不可能是棱台或棱锥.
(3)用任意一个平面去截长方体,其截面形状可以是三角形,四边形,五边形,六边形,因而水面的形状可以是三角形,四边形,五边形,六边形;
水的形状可以是棱锥,棱柱,但不可能是棱台.故此时
(1)对,
(2)不对.
三、探究与拓展
14.一个无盖的正方体盒子的平面展开图如图,A,B,C是展开图上的三点,则在正方体盒子中,∠ABC=________.
答案 60°
解析 将平面图形翻折,折成空间图形,可得∠ABC=60°
15.如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1.
(1)这个长方体是棱柱吗?
如果是,是几棱柱?
为什么?
(2)用平面BCEF把这个长方体分成两部分,各部分几何体的形状是什么?
解
(1)是棱柱.是四棱柱.因为长方体中相对的两个面是平行的,其余的每个面都是矩形(四边形),且每相邻的两个矩形的公共边都平行,符合棱柱的结构特征,所以是棱柱.
(2)各部分几何体都是棱柱,分别为棱柱BB1F-CC1E和棱柱ABFA1-DCED1.
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- 立体几何初步第1章 1111 立体几何 初步