学而思高二第一次习题课立体几何初步部分docx.docx
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学而思高二第一次习题课立体几何初步部分
1.选择题(共5小题)
1.已知儿个命题:
①若点P不在平面a内,A、B、C三点都在平面a内,则P、A、B、C四点不在同一平面内;②两两相交的三条直线在同一平面内;③两组对边分別相等的四边形是平行四边形.其中正确命题的个数是()
A.0B.1C.2D.3
2.若M、N分别是AABC边AB、AC的中点,MN与过直线BC的平面P的位置关系是()
A.MN〃|3B.MN与B相交或MN£p
C.MNZ^pMN£pD.MN〃|3或MN与|3相交或MN^p
3.肓线a〃平面a,PGa,那么过P且平行于a的-肓线()
A.只冇一条,不在平面a内B.冇无数条,不一定在平面a内
C.只有一条,且在平面a内D.有无数条,一定在平面a内
4.己知E,F分别为正方体ABCD-AiBiCjD的棱AB,AAi±的点,且AE二丄AB,AF二丄AA],
23
M,N分别为线段D|E和线段C]F上的点,贝IJ与平jfllABCD平行的直线MN有()
A.1条B.3条C.6条D.无数条
5.平面a与平面卩平行的条件可以是()
A.a内有无穷多条肓线与B平行
B.直线a〃a,a〃卩
C.直线aua,直线bup,且a〃B,b〃a
D.a内的任何直线都与B平行
2.填空题(共2小题)
6.过平面外一点作该平面的平行线有条;平行平面有个.
7•如图四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,E为SA±的点,当E满足条件:
时,SC〃面EBD.
3.解答题(共3小题)
8.如图所示的多面体AiADDjBCCi中,底面ABCD为正方形,AAi〃DD"CCi,2AB=2AAj=CC|=DD|=4,且AAi丄底面ABCD.
(I)求证:
AiB〃平面CDDiCi;
(II)求多曲体AjADDjBCCi的体积V.
9.已知长方体ABCD・A]BiC]Di,点5为BQi的中点.
(1)求证:
AB"面AQiD;
(2)若AB=^AA|,试问在线段BB|±是否存在点E使得A|C丄AE,若存在求出磐,若
3BB]
10.如图,ABCD是正方形,DE丄平血ABCD.
(1)求证:
AC丄平面BDE;
(2)
若AF〃DE,DEWAF,点M在线段BD上,且BM遗BD,求证:
AM〃平面BEF.
2015年11月20日立体几何平行部分的高中数学组卷
参考答案与试题解析
1.选择题(共5小题)
1.(2015*朝阳二模)已知几个命题:
①若点P不在平面a内,A、B、C三点都在平面a
内,则P、A、B、C四点不在同一平血内;②两两相交的三条直线在同一平面内;③两组对边分别相等的四边形是平行四边形.其中正确命题的个数是()
A.0B.1C.2D.3
【考点】平面的基本性质及推论.
【专题】空间位置关系・距离.
【分析】根据平血的基本性质进行判断①的正误共点的三条直线可能不共血,由此能判断②的正课;将平行四边形沿具对角线翻折一个适当的角度后折成一个空间四边形,两组对边仍然相等,但四个点不共面,由此能判断③的正谋.
【解答】解:
在①中:
根据平面的基本性质得直线与直线外一点确定一个平而,
若在平面a内,A、B、C三点共线,则P、A、B、C四点在同一平面内.故①不正确;在②中:
共点的三条直线可能不共面,如教室墙角处两两垂直相交的三条直线就不共面,故②不正确;
在③中:
将平行四边形沿其对角线翻折一个适当的角度后折成一个空间四边形,两组对-边仍然相等,但四个点不共面,
连平面图形都不是,所以不是平行四边形,故③不正确.
故选:
A.
【点评】本题考查命题真假的判断,是基础题,解题时耍认真审题,注意平面的基本性质及推论的合理运用.
2.(2014*ffi桥区校级学业考试)若M、N分别是Z\ABC边AB、AC的中点,MN与过肓
线BC的平面p的位置关系是()
A.MN〃|3B.MN与B相交或MNCp
C.MN〃卩或MNQBD.MN〃|3或MN与B相交或MNcp
【考点】直线与平面平行的判定.
【专题】空间位置关系・距离.
【分析】山中位线性质得MN〃BC,山此得到平血过直线MN或MN〃乩
【解答】解:
TMN是ZXABC的屮位线,
・・・MN〃BC,
•・•平面B过直线BC,
・・・若平面B过直线MN,符合要求;
若平面P不过直线MN,由线线平行的判定定理MN〃队
故选:
C.
【点评】本题考查总线与平而的位置关系的判断,是基础题,解题吋要认真审题,注意空间思维能力的培养.
3.(2014*鹿城区校级一•模)直线a〃平面a,PGa,那么过P且平行于a的直线()
A.只有一条,不在平面a内B.有无数条,不一定在平面a内
C.只冇一条,H.在平面a内D.冇无数条,一定在平面a内
【考点】直线与平面平行的性质.
【专题】证明题.
【分析】直接利用直线与平而平行的性质定理,判断出正确结果.
【解答】解:
过a与P作一平面B,平而a与平面卩的交线为b,
因为直线a〃平面a,所以a〃b,在同一个平面内,过点作己知直线的平行线有且只有一条,所以选项C正确.
故选C.
【点评】本题是基础题,考查直线与平面平行的性质定理的应用,考查基本知识的灵活运用.
4.(2014秋•朝阳区期末)已知E,F分别为正方体ABCD-AjBiCiD的棱AB,AA]上的点,且AE」AB,AF」AA],M,N分别为线段DiE和线段C)F±的点,则与平面ABCD
23
平行的直线”“有()
A.1条B.3条C.6条D.无数条
【考点】直线与平面平行的性质.
【专题】空间位置关系少距离.
【分析】取BH」BBi,连接FH,在DiE上任収一点M,过M在面DiHE中,作MG平行
3
于HO,其屮O满足线段OE)DiE,再过G作GN〃FH,交©F于N,连接MN,根据线3
面平行的判定定理,得到GM〃平面ABCD,NG〃平面ABCD,再根据面面平行的判断定理得到平面MNG〃平血ABCD,山血血平行的性质得至IJ贝ljMN〃平血ABCD,山于M是任意的,故MN有无数条.
【解答】解:
収BH=」BBi,连接FH,则FH〃C]D
3
连接HE,在DiE上任取一点M,
过M在面DiHE中,作MG〃HO,交D]H于G,其中O为线段OE」DiE
3
再过G作GN〃FH,交CiF于N,连接MN,
由于GM〃HO,HO〃KB,KBu平面ABCD,
GMC平血ABCD,
所以GM//平面ABCD,
同理由NG〃FH,可推得NG〃平jlriABCD,
由面面平行的判定定理得,平面MNG〃平|AiABCD,
则MN〃平面ABCD.
由于M为D]E上任一点,故这样的直线MN有无数条.
故选D.
【点评】本题考查空间直线与平血的位置关系,主要是直线与平血平行的判断和面血平行的判定与性质,考査空间想彖能力和简单推理能力.
5.(2014春•贵定县校级期末)平面a与平而p平行的条件可以是()
A.a内有无穷多条直线MB平行
B.直线a〃a,a〃B
C.直线aua,直线bu(3,且a〃B,b〃a
D.a内的任何玄线都与B平行
【考点】平面与平面平行的判定.
【专题】证明题.
【分析】当a内冇无穷多条直线与B平行时,a与B可能平行,也可能相交,当直线a〃a,a〃|3时,a与B可能平行,也可能相交,
故不选A、B,在两个平行平而内的直线可能平行,也可能是界而直线,故不选C,利用排除法应选D.
【解答】解:
当a内有无穷多条肓线与B平行时,a与B可能平行,也可能相交,故不选A.当直线a〃a,时,。
与(5可能平行,也可能相交,故不选B.
当直线aua,直线bu|3,时,直线a和直线b町能平行,也可能是界面直线,故
不选C.
当a内的任何直线都与平行时,由两个平面平行的定义可得,这两个平面平行,
故选D.
【点评】本题考查两个平面平行的判定和性质得应用,注意考虑特殊情况.
2.填空题(共2小题)
6.(2014秋•越城区校级期屮)过平面外一点作该平而的平行线有无数条;平行平面有」个.
【考点】平面与平面平行的判定;直线与平面平行的判定.
【专题】空间位置关系与距离.
【分析】总接利用平而与平而平行的判定定理判断即可.
【解答】解:
过平面外一点作该平面的平行平面,冇只冇1个,在平行平面上过这个点的直线有无数条,这些直线都少原平面平行.
故答案为:
无数;1・
【点评】本题考查空间平面与平面平行的判定定理,直线与平面平行的判定定理以及性质定理的应用,基本知识的考查.
7.(2014秋•商河县校级月考)如图四棱锥S-ABCD中,底ffiABCD为平行四边形,E为SA上的点,当E满足条件:
SE二AE时,SC〃血EBD.
【考点】肓线与平血平行的判定.
【专题】空间位置关系与距离.
【分析】由线面平行的性质定理可得SC〃OE,进而根据0为AC的中点,可得:
E为SA的中点,进而得到答案.
【解答】解:
TSC〃平面EBD,SCu平面SAC,平面SACQ平面EBD=OE,
・・・SC〃OE,
又・・•底面ABCD为平行四边形,0为对角线AC与BD的交点,
故0为AC的中点,
・・・E为SA的中点,
故当E满足条件:
SE=AE时,SC〃面EBD.
故答案为:
SE=AE(填其它能表述E为SA屮点的条件也得分)
【点评】本题考查的知识点是直线与平面平行的性质定理,平行线分线段成比例定理的逆定理,难度不大,属于棊础题.
3.解答题(共3小题)
8.(2015*株洲一模)如图所示的多面体AiADDiBCCi中,底ffiABCD为正方形,AAi〃DDi〃CC|,2AB=2AAi=CC(=DDi=4,AAi±底向ABCD.
(I)求证:
A]B〃平面CDDiCi;
(II)求多面体AiADDiBCCi的体积V.
【考点】肓线与平血平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积.
【专题】空间位置关系与距离.
【分析】(I)取DD]的中点M,连结AiM,CM,易证四边形AAiMD为平行四边形,进而AiM〃AD,AiM=AD,结合底面ABCD为正方形,可得A|M〃BC,A)M=BC,即四边形AiBCM为平行四边形,故有A|B〃CM,结合线面平行的判定定理,町得A|B〃平WiCDDiCi;
(II)由线面垂直的判定定理可得AB丄平rfliAiADDi及BC丄平ffiCDDjCi,由
V=VB_A迦+VB_CDD匚,代入棱锥体积公式可得答案•
【解答】证明:
(I)取DDi的中点M,连结A]M,CM由题意可得AAi=DM=2,AAi〃DM
・・・四边形AA)MD为平行四边形
即AiM〃AD,A]M二AD
又由底而ABCD为正方形
・・・AD〃BC,AD=BC
・・・A]M〃BC,AiM=BC
・・・四边形AiBCM为平行四边形
・・・A]B〃CM
又TAiBC平面CDDiCi,CMu平面CDD|C|;・・・AiB〃平面CDDiCi;
(II)连结BD
VAA]丄底而ABCD,ABu底而ABCD
・・・AAi丄AB
又TAD丄AB,ADQAAi二A
AAB丄平面AiADDi,同理可证BC丄平而CDDiCi,
【点评】木题主要考查空间线与线,线与面的位置关系,体枳的计算等基础知识;考查空间想象能力、运算求解能力及推理论证能力.
9.(2015・陕西校级模拟)己知长方体ABCD-AjBiCjD],点0]为BQi的中点.
(1)求证:
ABi〃面AQiD;
(2)若AB/AAi,试问在线段BBi上是否存在点E使得AiC丄AE,若存在求出磐,若
3BB]
不存在,说明理由.
AB
【考点】直线与平面平行的判定.
【专题】空间位置关系・距离.
【分析】
(1)连结AD]交A]D于点G,由中位线定理得到OiG〃AB],再由线面平行的判定定理即可证得;
(2)若在线段BB|上存在点E,使得A]C丄AE,连结A|B交AE于点M,由线血垂肓的性质和判定,得到AE丄面AiBC,
根据三角形相似的判定,得到RtAABE^RtAAiAB,再由相似的性质得到存在点E有
BE二4
瓦-©
【解答】
(1)证明:
连结AD】交A|D于点G,
・・・在厶ABiDi中,G为ADi的中点,连结0[G,
Oi为BiDi的中点,・・・OiG〃ABi,
又OiGu而A]O]D且ABiQ面A]O]D,
・・・ABi〃面AjOiD;
(2)解:
若在线段BBi上存在点E,使得A]C丄AE,
连结A|B交AE于点M,又BC丄面ABBiAi,且AEu面ABBiAi,
ABC丄AE,
乂VAiCnBC=C,且AjC,BCu而A]BC,
・・・AE丄面AjBC,
TAiBu面A]BC,
Z.AE丄AiB,
在Z\AMB和厶ABE中有:
ZBAM+ZABM=90°,ZBAM+ZBEA=90°,.\ZABM=ZBEA,同理:
ZBAE=ZAA]B,
ARtAABE^RtAAiAB,
A—・・・AB=^AAi,・・・BE「AB二上BBi,
ABAA[339
即在线段BB]上存在点E有呼,
BB]9
【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理,考查直线与平面垂直的判定与性质,考查存在性问题,注意运用假设,推结论,是一道中档题.
10.(2015・烟台一模)如图,ABCD是正方形,DE丄平面ABCD.
(1)求证:
AC丄平面BDE;
(2)若AF〃DE,DE=3AF,点M在线段BD±,且BM」BD,求证:
AM〃平面BEF.
AB
【考点】直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定.
【专题】空间位置关系与距离.
【分析】
(1)证明DE丄AC,通过直线与平面垂直的判定定理证明AC丄平jfilBDE.
(2)延长EF、DA交于点G,通过AF〃DE,DE=3AF,推出型型),证明AM〃GBBDGD3
利用直线与平面平行的判定定理证明AM〃平面BEF.
【解答】证明:
(1)因为DE丄平血fABCD,所以DE±AC....(2分)
因为ABCD是正方形,所以AC丄BD,又BDQDE二D,
从而AC丄平面BDE....(5分)
(2)延长EF、DA交于点G,
I大I为AF〃DE,DE=3AF,
所以鱼旦J:
...(7分)
GDDE3
因为BM=gBD,所以聲吕,
JDU0
所以也型4,所以AM//GB,...(1()分)
BDGD3
又AMC平面BEF,GBu平面BEF,
所以AM〃平面BEF....(12分)
【点评】本题考查直线•平面垂直的判定定理以及直线巧平面平行的判定定理的应用,考查空间想象能力以及逻辑推理能力.
考点卡片
1.棱柱、棱锥、棱台的体积
【知识点的知识】
柱体、锥体、台体的体积公式:
V柱二sh,V惟二壬Sh・
2.平面的基本性质及推论
【知识点的认识】
平面的基本性质及推论:
1.公理1:
如果一•条直线上的两个点在一个平面内,则这条直线上所有的点都在这个平面
2.
公理2:
经过不在同一宜线上的三点,有且只有一个平面・①推论1:
经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一•个平面.
3.
公理3:
如果两个平血有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且这些公共点的集合
是一条过这个公共点的直线•
【解题方法点拨】
1.公理1是判定直线在平面内的依据.
2.公理2及推论是确定平面的依据.
3.公理3是判定两个平面相交的依据.
3.直线与平面平行的判定
【知识点的知识】
1、直线与平而平行的判定定理:
如果平而外一条直线和这个平而内的一条肓线平行,那么这条肓线和这个平血•平行.用符号表示为:
若aCa,bua,a〃b,贝ija〃a.
2、直线打平面平行的判定定理的实质是:
对丁•平面外的一条直线,只需在平面内找到一条直线和这条直线平行,就可判定这条直线必和这个平血平行.即山线线平行得到线血平行.
4.直线与平面平行的性质
【知识点的知识】
1、直线和平面平行的性质定理:
如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.
用符号表示为:
若a〃a,acp,aAp=b,贝I」a〃b.
2、直线和平面平行的性质定理的实质是:
已知线面平行,过已知直线作一平面和已知平面相交,其交线必和已知直线平行.即由线面平行=线线平行.
由线面平行=线线平行,并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行.
正确的结论是:
a〃a,若bua,则b与a的关系是:
异而或平行.即平而a内的肓线分成两大类,一类与a平行冇无数条,另一类与a异面,也冇无数条.
5.平面与平面平行的判定
【知识点的认识】
两个平面平行的判定:
(1)两个平面平行的判定定理:
如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一•个平面,那么这两个平面平行.
(2)垂直于同一直线的两个平面平行.即a丄a,且a丄B,贝
(3)平行于同一个平面的两个平面平行.即a〃“B〃y,则a〃乩
6・直线与平面垂直的判定
【知识点的认识】
直线与平面垂直:
如果一条直线1和一个平面a内的任意一条直线都垂直,那么就说直线1和平面a互相垂直,记作1丄a,其中1叫做平而a的垂线,平而a叫做岂线1的垂而.
直线与平面垂直的判定:
(1)定义法:
对于直线1和平面a,1丄aol垂直于a内的任一条直线.
(2)判定定理1:
如果两条平行直线中的一•条垂直于一个平面,那么另-•条也垂直于这个平面.
(3)判定定理2:
如果一条氏线和一个平血内的两条相交肓线都那么这条玄线垂肓于这个平面.
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