北师大版数学七年级下册1 两条直线的位置关系教案与反思Word文档格式.docx
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3.在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线.
(二)对顶角、余角、补角
1.
(1)如图所示是一把剪刀的简易图,那么∠1与∠2的位置有什么关系?
它们的大小有什么关系?
能试着说明你的理由吗?
解:
∠1和∠2是对顶角,∠1=∠2.理由:
因为∠AOB和∠COD都是平角,即∠1+∠AOD=180°
,∠2+∠AOD=180°
,等式两边同时都减去∠AOD,则∠1=180°
-∠AOD,∠2=180°
-∠AOD,即∠1=∠2.
归纳总结:
在上图中,直线AB与CD相交于点O,∠1与∠2的有一个公共点O,它们的两边互为反向延长线,具有这种位置关系的两个角叫对顶角.对顶角相等.
(2)在图中,∠1和∠AOD有什么数量关系?
∠1+∠AOD=180°
.
如果两个角的和是180°
,那么称这两个角互为补角.
类似地,如果两个角的和是90°
,那么称这两个角互为余角.
注意:
互余和互补是指两个角的数量关系,与它们的位置无关.
2.下列图形中∠1与∠2互为对顶角的是( C )
3.∠A与∠B互余,如果∠A=36°
,那么∠B的度数为54度.
环节2 合作探究,解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】
(教材P39“做一做”)如图1,打台球时,选择适当的方向用白球击打红球,反弹的红球会直接入袋,此时∠1=∠2.
图1
将图1简化成图2,ON与DC交于点O,∠DON=∠CON=90°
,∠1=∠2.在图2中:
图2
(1)哪些角互为补角?
哪些角互为余角?
(2)∠3与∠4有什么关系?
为什么?
(3)∠AOC与∠BOD有什么关系?
【互动探索】
(引发学生思考)根据对顶角、余角、补角的定义分析解题.
【解答】
(1)互为补角的有:
∠1与∠AOC,∠2与∠BOD,∠1与∠BOD,∠2与∠AOC,∠DN与∠CON.互为余角的有:
∠1与∠3,∠2与∠4,∠1与∠4,∠2与∠3.
(2)∠3与∠4相等.理由:
因为∠3=90°
-∠1,∠4=90°
-∠2,
且∠1=∠2,
所以∠3=∠4.
(3)∠AOC=∠BOD.理由:
因为∠AOC=180°
-∠1,∠BOD=180°
-∠2,且∠2=∠1,
所以∠AOC=∠BOD.
【互动总结】
(学生总结,老师点评)同角或等角的余角相等,同角或等角的补角等.
【例2】如图,直线AB、CD相交于点O,若∠BOD=42°
,OA平分∠COE,求∠DOE的度数.
(引发学生思考)根据对顶角的性质,可得∠AOC与∠BOD的关系,根据OA平分∠COE,可得∠COE与∠AOC的关系,根据邻补角的性质,可得答案.
【解答】由对顶角相等,得∠AOC=∠BOD=42°
因为O平分∠COE,
所以COE=2∠AOC=84°
由邻补角的性质,得∠DOE=180°
-∠COE=180°
-84°
=96°
(学生总结,老师点评)解决此类问题的关键是在图中找出对顶角和邻补角,根据两种角的性质找出已知角和未知角之间的数量关系.
活动2 巩固练习(学生独学)
1.如图所示,直线AB、CD相交于点O,已知∠AOD=160°
,则∠BOC的大小为( D)
A.20°
B.60°
C.70°
D.160°
2.如图所示,直线AB和CD相交所成的四个角中,∠1的邻补角是∠2和∠4.
3.如图,已知直线AB、CD相交于点O,∠COE=90°
(1)若∠AOC=36°
,求∠BOE的度数;
(2)若∠BOD∶∠BOC=1∶5,求∠AOE的度数.
(1)∠BOE=180°
-∠AOC-∠COE=180°
-36°
-90°
=54°
(2)因为∠BOD∶∠BOC=1∶5,∠BOD+∠BOC=180°
,所以∠BOD=30°
.因为∠BOD=∠AOC,所以∠AOC=30°
,所以∠AOE=∠COE+∠AOC=90°
+30°
=120°
4.若一个角的补角等于它的余角的4倍,求这个角的度数.
设这个角是x°
,则它的补角是(180°
-x°
),余角是(90°
).根据题意,得180°
=4(90°
),解得x=60.所以这个角的度数是60°
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】我们知道:
两直线交于一点,对顶角有2对;
三条直线交于一点,对顶角有6对;
四条直线交于一点,对顶角有12对……
图1图2
图3
(1)10条直线交于一点,对顶角有________对;
(2)n(n≥2)条直线交于一点,对顶角有________对.
(1)如图1,两条直线交于一点,图中共有
=2(对)对顶角;
如图2,三条直线交于一点,图中共有
=6(对)对顶角;
如图3,四条直线交于一点,图中共有
=12(对)对顶角……按这样的规律,10条直线交于一点,那么对顶角共有
=90(对);
(2)由
(1)得n(n≥2)条直线交于一点,对顶角的对数为
=n(n-1).
【答案】
(1)90
(2)n(n-1)
(学生总结,老师点评)解决探索规律的问题,应全面分析所给的数据,发现数据的变化特征.
环节3 课堂小结,当堂达标
(学生总结,老师点评)
1.对顶角相等.
2.如果两个角的和是180°
,那么称这两个角互为补角;
如果两个角的和是90°
,那么称这两个角互为余角.
3.同角或等角的余角相等,同角或等角的补角相等.
练习设计
请完成本课时对应练习!
第2课时 垂 线
1.在具体情境中进一步丰富对两条直线互相垂直的认识,并会用符号表示两条直线互相垂直.
2.会画垂线,并在操作活动中探索、掌握垂线的性质.从实际中感知“垂线段最短”,并能运用到生活中解决实际问题.
会使用工具按要求画垂线,掌握垂线(段)的性质.
从生活实际中感知“垂线段最短”.
阅读教材P41~P42的内容,完成下面练习.
(一)垂线
1.观察下列图片,你能找出其中相交的线吗?
它们有什么特殊的位置关系?
略
2.垂直的概念:
两条直线相交成四个角,如果有一个角是90°
,那么称这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足.
3.垂直的表示:
如图1,如果用AB、CD表示两条互相垂直的直线,可以记作AB⊥CD;
如图2,如果用l、m表示两条互相垂直的直线,可以记作l⊥m,其中点O是垂足.
(二)垂线段最短
1.
(1)如图1,点A在直线l上,过点A画直线l的垂线,你能画出多少条?
如果点A在直线l外呢?
(2)如图2,点P是直线l外一点,PO⊥l,O是垂足,A、B、C在直线上,比较线段PO、PA、PB、PC的长短,你发现了什么?
(1)无论点A在直线l上,还是直线l外,过点A均只能画1条l的垂线.
(2)PO最短.
①平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.②直线外一点与直线上各个点连结的所有线段中,垂线段最短.
2.如图,过点A作l的垂线,垂足为B,线段AB的长度叫做点A到直线l的距离.
(1)如图1,过点P画AB的垂线;
(2)如图2,过点P分别画OA、OB的垂线;
(3)如图3,过点A画BC的垂线.
(引发学生思考)理解画垂线的步骤,根据画垂线的步骤求解.
【解答】如图所示.
图1图2图3
(学生总结,老师点评)垂线的画法需要三步完成:
一落:
让三角板的一条直角边落在已知直线上,使其与已知直线重合;
二移:
沿直线移动三角板,使其另一直角边经过所给的点;
三画:
沿此直角边画直线,则这条直线就是已知直线的垂线.
(二)垂线段
【例2】如图是一条河,C是河边AB外一点.现欲用水管从河边AB将水引到C处,请在图上画出应该如何铺设水管能让路线最短,并说明理由.
(引发学生思考)根据垂线的性质可解,即过点C作CE⊥AB,根据“垂线段最短”可得CE最短.
【解答】如图所示,过点C作AB的垂线段,垂足为E.沿CE铺设水管能让路线最短,因为垂线段最短.
(学生总结,老师点评)在利用垂线的性质解决生活中最近、最短距离的问题时,要依据“两点之间,线段最短”和“垂线段最短”来解决.
1.如图,直线a、b相交于点A,点B在直线a上,过点B作直线b的垂线,垂足为C,若∠1=50°
,则∠2的度数为( A )
A.40°
B.50°
C.60°
D.140°
2.体育课上,老师测量跳远成绩的依据是( C )
A.平行线间的距离相等B.两点之间,线段最短
C.垂线段最短D.两点确定一条直线
3.如图,点A为直线BC外一点,AC⊥BC,垂足为C,AC=3,点P是直线BC上的动点,则线段AP长不可能是( A )
A.2 B.3
C.4 D.5
4.如图,∠ACB=90°
,CD⊥AB于点D,能表示点到直线的距离的线段有5条.
【例3】根据要求画图,并回答问题.
如图,直线AB、CD相交于点O,且OE⊥AB.
(1)过点O画直线MN⊥CD;
(2)若点F是
(1)中所画直线MN上任意一点(O点除外),若∠AOC=35°
,求∠EOF的度数.
(1)根据题意画出直线MN即可;
(2)当点F在射线OM上时,根据垂直定义及同角的余角相等求出∠EOF=∠BOD,根据对顶角求出∠EOF=∠AOC,即可求出答案;
当点F在射线ON上时,求出∠AOM的度数,根据对顶角求出∠BON的度数,求出∠EOB+∠BON即可.
(1)如图所示.
(2)①当F在射线OM上时.
因为EO⊥AB,MN⊥CD,
所以∠EOB=∠MOD=90°
,
所以∠MOE+∠EOD=90°
,∠EOD+∠BOD=90°
所以∠EOF=∠BOD=∠AOC=35°
②当F在射线ON上时,如图点F′.
因为MN⊥CD,
所以∠MOC=90°
=∠AOC+∠AOM,
所以∠AOM=90°
-∠AOC=55°
所以∠BON=∠AOM=55°
所以∠EOF′=∠EOB+∠BON=90°
+55°
=145°
即∠EOF的度数是35°
或145°
(学生总结,老师点评)本题考查了垂线的作法,角的计算,对顶角,垂线等知识点的应用,关键是根据这些性质求出∠AOM和∠EOM的度数,题目较好,难度不大,注意分类讨论思想的运用.
垂线
【素材积累】
人生路上从来都不是一马平川,几时起几时落,浮浮沉沉,几时哭几时笑,悲悲喜喜,自信时我们相信自已的直觉,失意时,总是把感觉当成是错觉,而这些错觉会让人掉进一些人生漩涡,如果不看透,可能会危害你的人生。
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