选修2-1-第三章-空间向量及其运算知识点Word下载.doc
- 文档编号:7900157
- 上传时间:2023-05-09
- 格式:DOC
- 页数:11
- 大小:520.50KB
选修2-1-第三章-空间向量及其运算知识点Word下载.doc
《选修2-1-第三章-空间向量及其运算知识点Word下载.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《选修2-1-第三章-空间向量及其运算知识点Word下载.doc(11页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
如果两个向量a,b不共线,那么p与a,b共面的充要条件是存在唯一有序实数对(x,y)使p=xa+yb
空间一点P位于平面ABC内的充要条件是
存在唯一有序实数对(x,y)使,
或对空间任意一点O,有
或对空间任意一点O,有,其中x+y+z=1
【推论③推导过程:
(3)空间向量基本定理
如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得p=xa+yb+zc
基底:
把{a,b,c}叫做空间的一个基底,空间任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
4.空间向量的数量积及运算律
(1)数量积及相关概念
①两向量的夹角:
已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作=a,=b,则∠AOB叫做向量a与b的夹角,记作〈a,b〉,其范围是0≤〈a,b〉≤π,若〈a,b〉=,则称a与b互相垂直,记作a⊥b.
②两向量的数量积:
已知空间两个非零向量a,b,向量a,b的数量积记作a·
b,且a·
b=|a||b|cos〈a,b〉.
(2)空间向量数量积的运算律:
①结合律:
(λa)·
b=λ(a·
b);
②交换律:
a·
b=b·
a;
③分配律:
(b+c)=a·
b+a·
c.
5.空间向量的坐标表示及应用
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)
(1)数量积的坐标运算:
b=a1b1+a2b2+a3b3.
(2)共线与垂直的坐标表示:
a∥b⇔a=λb⇔a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R),
a⊥b⇔a·
b=0⇔a1b1+a2b2+a3b3=0(a,b均为非零向量).
(3)模、夹角和距离公式:
|a|==,
cos〈a,b〉==.
设A(a1,b1,c1),B(a2,b2,c2),则dAB=||=.
6.用空间向量解决几何问题的一般步骤:
(1)适当的选取基底{a,b,c};
(2)用a,b,c表示相关向量;
(3)通过运算完成证明或计算问题.
题型一 空间向量的线性运算
用已知向量来表示未知向量,应结合图形,将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中,表示为其他向量的和与差的形式,进而寻找这些向量与基向量的关系.
例1:
三棱锥O—ABC中,M,N分别是OA,BC的中点,G是△ABC的重心,用基向量,,表示,.
解析:
=+=+=+(-)=+[(+)-]=-++.
=+=-++=++.
例2:
如图所示,ABCD-A1B1C1D1中,ABCD是平行四边形.若=,=2,且,试求x、y、z的值.
.解 连接AF,=+.∵=-=-(+)
=+=-=-=-(+)=∴=+=
题型二 共线定理应用
向量共线问题:
充分利用空间向量运算法则,用空间中的向量表示a与b,化简得出a=b,从而得出a∥b,即a与b共线.
点共线问题:
证明点共线问题可转化为证明向量共线问题,如证明A、B、C三点共线,即证明与共线.
例3:
如图所示,四边形ABCD,ABEF都是平行四边形且不共面,M,N分别是AC,BF的中点,判断与是否共线?
∵
∴=2,∴∥,即与共线.
例4:
如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E在A1D1上,且=2ED1,F在对角线A1C上,且=.
求证:
E,F,B三点共线.
证明:
设=a,=b,=c.
∴=2==b,===(-)=(+-)=a+b-c
∴E=-=a-b-c=,=++=-b-c+a=a-b-c,
∴=.所以E,F,B三点共线.
题型三 共面定理应用
点共面问题:
证明点共面问题可转化为证明向量共面问题,如要证明P、A、B、C四点共面,只要能证明=x+y,或对空间任一点O,有=+x+y或=x+y+z(x+y+z=1)即可
例5:
已知A、B、C三点不共线,对于平面ABC外一点O,若=++,则点P是否与A、B、C一定共面?
试说明理由.
∴=+,故A、B、C、P四点共面.
例6:
如图所示,已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点,连结PA、PB、PC、PD,点E、F、G、H分别为△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的重心,应用向量共面定理证明:
E、F、G、H四点共面.
分别延长PE、PF、PG、PH交对边于M、N、Q、R.
∵E、F、G、H分别是所在三角形的重心,∴M、N、Q、R为所在边的中点
顺次连结M、N、Q、R,所得四边形为平行四边形,且有=,=,=,=.
∴=-=-==(+)=(-)+(-)=(-)+(-)
=+.∴由共面向量定理得E、F、G、H四点共面.
例7:
正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1和A1D1的中点,求证向量,,是共面向量.
如图所示,=++=-+=(+)-=-.
由向量共面的充要条件知,,是共面向量.
题型四 空间向量数量积的应用
例8:
①如图所示,平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60°
(1)求AC1的长;
(2)求BD1与AC夹角的余弦值.
(1)记=a,=b,=c,则|a|=|b|=|c|=1,〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°
,∴a·
c=c·
a=.
||2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·
b+b·
c+c·
a)=1+1+1+2×
=6,∴||=,即AC1的长为.
(2)=b+c-a,=a+b,∴||=,||=,·
=(b+c-a)·
(a+b)=b2-a2+a·
c+b·
c=1.
∴cos〈,〉==.∴AC与BD1夹角的余弦值为.
②已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E、F分别是BC、AD的中点,则·
的值为( )A.a2B.a2C.a2D.a2
设=a,=b,=c,则|a|=|b|=|c|=a,且a,b,c三向量两两夹角为60°
=(a+b),=c,∴·
=(a+b)·
c=(a·
c)=(a2cos60°
+a2cos60°
)=a2.
题型五 空间向量坐标运算
例9:
如图所示,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2,E为PB的中点,cos〈,〉=,若以DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则点E的坐标为( )
A.(1,1,1) B.C. D.(1,1,2)
设PD=a(a>
0),则A(2,0,0),B(2,2,0),P(0,0,a),E,
∴=(0,0,a),=,cos〈,〉=,∴=a·
,∴a=2.∴E的坐标为(1,1,1).
例10:
已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ).若a,b,c三向量共面,则实数λ=________________
由题意得c=ta+μb=(2t-μ,-t+4μ,3t-2μ),∴ ∴
例11:
已知△ABC的顶点A(1,1,1),B(2,2,2),C(3,2,4),试求△ABC的面积
=(1,1,1),=(2,1,3),||=,||=,·
=2+1+3=6,
∴cosA=cos〈,〉==.∴sinA==.
∴S△ABC=||·
||·
sinA=×
×
=.
例12:
已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若a∥b,则λ与μ的值可以是( )
A.2, B.-,C.-3,2 D.2,2
解析 由题意知:
解得或
例13:
已知空间中三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=,b=.,若ka+b与ka-2b互相垂直,求实数k的值.
方法一 ∵ka+b=(k-1,k,2).ka-2b=(k+2,k,-4),且ka+b与ka-2b互相垂直,
∴(k-1,k,2)·
(k+2,k,-4)=(k-1)(k+2)+k2-8=0,∴k=2或-,
方法二 由
(2)知|a|=,|b|=,a·
b=-1,∴(ka+b)·
(ka-2b)=k2a2-ka·
b-2b2=2k2+k-10=0,得k=2或-.
例14:
已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).
(1)求以,为边的平行四边形的面积;
(2)若|a|=,且a分别与,垂直,求向量a的坐标.
解
(1)cos〈,〉====.∴sin〈,〉=,
∴以,为边的平行四边形的面积为S=2×
sin〈,〉=14×
=7.
(2)设a=(x,y,z),由题意得,解得或,
例15:
如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别在A1D、AC上,且A1E=A1D,AF=AC,则( )
A.EF至多与A1D、AC之一垂直B.EF与A1D、AC都垂直C.EF与BD1相交D.EF与BD1异面
设AB=1,以D为原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系,则A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E,F,B(1,1,0),D1(0,0,1),=(-1,0,-1),=(-1,1,0),=,=(-1,-1,1),=-,·
=·
=0,从而EF∥BD1,EF⊥A1D,EF⊥AC.
例16:
已知O(0,0,0),A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),点Q在直线OP上运动,当·
取最小值时,点Q的坐标是__________.
设=λ=(λ,λ,2λ),则=(1-λ,2-λ,3-2λ),=(2-λ,1-λ,2-2λ).
∴·
=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ)=6λ2-16λ+10=6(λ-)2-.
∴当λ=时,·
取最小值为-.此时,=(,,),
综合练习
一、选择题
1、下列命题:
其中不正确的所有命题的序号为__________.
①若A、B、C、D是空间任意四点,则有+++=0;
②|a|-|b|=|a+b|是a、b共线的充要条件;
③若a、b共线,则a与b所在直线平行;
④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C,若=x+y+z(x、y、z∈R),则P、A、B、C四点共面.
⑤设命题p:
a,b,c是三个非零向量;
命题q:
{a,b,c}为空间的一个基底,则命题p是命题q的充要条件
选②③④⑤,①中四点恰好围成一封闭图形,正确;
②中当a、b同向时,应有|a|+|b|=|a+b|;
③中a、b所在直线可能重合;
④中需满足x+y+z=1,才有P、A、B、C四点共面;
⑤只有不共面的三个非零向量才能作为空间的一个基底,应改为必要不充分条件
2、有下列命题:
其中真命题的个数是( )
①若p=xa+yb,则p与a,b共面;
②若p与a,b共面,则p=xa+yb;
③若=x+y,则P,M,A、B共面;
④若P,M,A,B共面,则=x+y.
A.1 B.2 C.3 D.4
解析 其中①③为真命题.②中,若a,b共线,则p≠xa+yb;
3、已知A(1,0,0),B(0,-1,1),+λ与的夹角为120°
,则λ的值为( )
A.±
B.C.-D.±
+λ=(1,-λ,λ),cos120°
==-,得λ=±
.经检验λ=不合题意,舍去,∴λ=-.
4、如图所示,已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°
,PA=AB=BC=6,则PC等于 ( )
A.6 B.6C.12 D.144
解析2=(++)2=2+2+2+2·
=36+36+36+2×
36cos60°
=144∴||=12
证明 设=a,=b,=c,则=+=+=-a+(a+b+c)=-a+b+c,
=+=+(+)=-a+b+c=.∴∥,即B、G、N三点共线.
5、正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上且=,N为B1B的中点,则||为( )
A.a B.a C.a D.a
解析 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则A(a,0,0),C1(0,a,a),N.
设M(x,y,z).∵点M在AC1上且=,∴(x-a,y,z)=(-x,a-y,a-z)
∴x=a,y=,z=.∴M,∴||==a.
6、如图所示,已知空间四边形OABC,OB=OC,且∠AOB=∠AOC=,则cos〈,〉的值为( )
A.0 B.C. D.
解析 设=a,=b,=c,由已知条件〈a,b〉=〈a,c〉=,且|b|=|c|,
·
=a·
(c-b)=a·
c-a·
b=|a||c|-|a||b|=0,∴cos〈,〉=0.
7、如图所示,在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点.若=a,=b,=c,则下列向量中与相等的向量是( )
A.-a+b+cB.a+b+cC.-a-b+cD.a-b+c
解析 =+=+(-)=c+(b-a)=-a+b+c.
8、8、平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量,,两两的夹角均为60°
,且||=1,||=2,||=3,则||等于( )[
A.5B.6C.4D.8
设=a,=b,=c,则=a+b+c,2=a2+b2+c2+2a·
b+2b·
c+2c·
a=25,||=5.[
9、在下列条件中,使M与A、B、C一定共面的是( )
A.=3-2-B.+++=0C.++=0D.=-+
C中=--.故M、A、B、C四点共面.
二、填空题
10、同时垂直于a=(2,2,1)和b=(4,5,3)的单位向量是____________________.
解析 设与a=(2,2,1)和b=(4,5,3)同时垂直b单位向量是c=(p,q,r),则
解得或所求向量为或.
11.若向量a=(1,λ,2),b=(2,-1,2)且a与b的夹角的余弦值为,则λ=________.
解析 由已知得==,∴8=3(6-λ),解得λ=-2或λ=.
12.在空间直角坐标系中,以点A(4,1,9)、B(10,-1,6)、C(x,4,3)为顶点的△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形,则实数x的值为________.
解析 由题意知·
=0,||=||,可解得x=2.
13.已知a+3b与7a-5b垂直,且a-4b与7a-2b垂直,则〈a,b〉=________.
解析 由条件知(a+3b)·
(7a-5b)=7|a|2+16a·
b-15|b|2=0,及(a-4b)·
(7a-2b)=7|a|2+8|b|2-30a·
b=0.
两式相减,得46a·
b=23|b|2,∴a·
b=|b|2.
代入上面两个式子中的任意一个,即可得到|a|=|b|.∴cos〈a,b〉===.∴〈a,b〉=60°
14.如图所示,已知二面角α—l—β的平面角为θ,AB⊥BC,BC⊥CD,AB在平面β内,BC在l上,CD在平面α内,若AB=BC=CD=1,则AD的长为________.
解析:
2=(++)2=2+2+2+2·
+2·
=1+1+1+2cos(π-θ)=3-2cosθ.
15.已知a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t),则|b-a|的最小值为________.
解析 b-a=(1+t,2t-1,0),∴|b-a|==,∴当t=时,|b-a|取得最小值.
三、解答题
16、如图所示,在各个面都是平行四边形的四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,P是CA1的中点,M是CD1的中点,N是C1D1的中点,点Q在CA1上,且CQ∶QA1=4∶1,设=a,=b,=c,用基底{a,b,c}表示以下向量:
(1);
(2);
(3);
(4).
(1)=(+)=(++)=(a+b+c).
(2)=(+)=(+2+)=(a+2b+c).
(3)=(+)=[(++)+(+)]=(+2+2)=(a+2b+2c)=a+b+c.
(4)=+=+(-)=+=++=a+b+c
17、如图,已知M、N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心,且G为AM上一点,且GM∶GA=1∶3.求证:
B、G、N三点共线.
18.(13分)直三棱柱ABC—A′B′C′中,AC=BC=AA′,∠ACB=90°
,
D、E分别为AB、BB′的中点.
(1)求证:
CE⊥A′D;
(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值.
(1)证明:
设=a,=b,=c,根据题意,|a|=|b|=|c|且a·
a=0.
∴=b+c,=-c+b-a.∴·
=-c2+b2=0,∴⊥,即CE⊥A′D.
(2)=-a+c,∴||=|a|,||=|a|.·
=(-a+c)·
=c2=|a|2,
∴cos〈,〉==.即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 选修 第三 空间 向量 及其 运算 知识点