选修21第三章.docx
- 文档编号:15463895
- 上传时间:2023-07-04
- 格式:DOCX
- 页数:17
- 大小:22.14KB
选修21第三章.docx
《选修21第三章.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《选修21第三章.docx(17页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
选修21第三章
第三章空间向量与立体几何
3.1空间向量及其运算
(一)
一、教学目标:
1识目标:
⒈空间向量;⒉相等的向量;⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律;
㈡能力目标:
⒈理解空间向量的概念,掌握其表示方法;
⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律;
⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题。
二、教学重点:
空间向量的加减与数乘运算及运算律。
教学难点:
应用向量解决立体几何问题。
三、教学过程:
Ⅰ、复习引入
[师]在必修四第二章《平面向量》中,我们学习了有关平面向量的一些知识,什么叫做向量?
向量是怎样表示的呢?
[生]既有大小又有方向的量叫向量.向量的表示方法有:
①用有向线段表示;
②用字母a、b等表示;
③用有向线段的起点与终点字母:
[师]数学上所说的向量是自由向量,也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移,由此我们可以得出向量相等的概念,请同学们回忆一下。
[生]长度相等且方向相同的向量叫相等向量。
[师]学习了向量的有关概念以后,我们学习了向量的加减以及数乘向量运算:
⒈向量的加法:
⒉向量的减法:
⒊实数与向量的积:
实数λ与向量a的积是一个向量,记作λa,其长度和方向规定如下:
(1)|λa|=|λ||a|
(2)当λ>0时,λa与a同向;
当λ<0时,λa与a反向;
当λ=0时,λa=0
[师]关于向量的以上几种运算,请同学们回忆一下,有哪些运算律呢?
[生]向量加法和数乘向量满足以下运算律
加法交换律:
a+b=b+a
加法结合律:
(a+b)+c=a+(b+c)
数乘分配律:
λ(a+b)=λa+λb
[师]今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上,类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率,并进行一些简单的应用。
请同学们阅读课本。
Ⅱ、新课讲授
[师]如同平面向量的概念,我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量。
例如空间的一个平移就是一个向量。
那么我们怎样表示空间向量呢?
相等的向量又是怎样表示的呢?
[生]与平面向量一样,空间向量也用有向线段表示,并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。
[师]由以上知识可知,向量在空间中是可以平移的。
空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示.因此我们说空间任意两个向量是共面的。
[师]空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢?
[生]空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样:
[师]空间向量的加法与数乘向量有哪些运算律呢?
请大家验证这些运算律。
[生]空间向量加法与数乘向量有如下运算律:
⑴加法交换律:
a+b=b+a;
⑵加法结合律:
(a+b)+c=a+(b+c);
⑶数乘分配律:
λ(a+b)=λa+λb。
[师]空间向量加法的运算律要注意以下几点:
⑴首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量。
即:
因此,求空间若干向量之和时,可通过平移使它们转化为首尾相接的向量。
⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形,则它们的和为零向量。
⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立。
因此,求始点相同的两个向量之和时,可以考虑用平行四边形法则。
例1已知平行六面体,化简下列向量表达式,并标出化简结果的向量:
Ⅲ、巩固练习课本 练习
Ⅳ.教学反思
平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移,而空间向量研究的是空间的平移,它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”,空间的平移包含平面的平移.
关于向量算式的化简,要注意解题格式、步骤和方法.
Ⅴ.课后作业
⒈课本
⒉预习课本P92~P96,预习提纲:
⑴怎样的向量叫做共线向量?
⑵两个向量共线的充要条件是什么?
⑶空间中点在直线上的充要条件是什么?
⑷什么叫做空间直线的向量参数表示式?
⑸怎样的向量叫做共面向量?
⑹向量p与不共线向量a、b共面的充要条件是什么?
⑺空间一点P在平面MAB内的充要条件是什么?
板书设计:
§9.5空间向量及其运算
(一)
一、平面向量复习二、空间向量三、例1
⒈定义及表示方法⒈定义及表示
⒉加减与数乘运算⒉加减与数乘向量小结
⒊运算律⒊运算律
教学后记:
3.1.2.空间向量及其运算
(2)
一、教学目标:
1.理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论;
2.掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式.
三、教学重、难点:
共线、共面定理及其应用.
四、教学过程:
(一)复习:
空间向量的概念及表示;
(二)新课讲解:
1.共线(平行)向量:
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量。
2.共线向量定理:
3.向量与平面平行:
已知平面和向量,作,如果直线平行于或在内,那么我们说向量平行于平面,记作:
.
通常我们把平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
说明:
空间任意的两向量都是共面的.
4.共面向量定理:
如果两个向量不共线,与向量共面的充要条件是存在实数使.
推论:
空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对,使或对空间任一点,有①
上面①式叫做平面的向量表达式.
(三)例题分析:
例1.已知三点不共线,对平面外任一点,满足条件,
试判断:
点与是否一定共面?
说明:
在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候,首先要选择恰当的充要条件形式,然后对照形式将已知条件进行转化运算.
【练习】:
对空间任一点和不共线的三点,问满足向量式(其中)的四点是否共面?
例2.已知,从平面外一点引向量
(1)求证:
四点共面;
(2)平面平面.
五、课堂练习:
课本第96页练习第1、2、3题.
六、课堂小结:
1.共线向量定理和共面向量定理及其推论;
2.空间直线、平面的向量参数方程和线段中点向量公式.
七、作业:
1.已知两个非零向量不共线,如果,,,
求证:
共面.
2.已知,,若,求实数的值。
3.如图,分别为正方体的棱的中点,
求证:
(1)四点共面;
(2)平面平面.
4.已知分别是空间四边形边的中点,
(1)用向量法证明:
四点共面;
(2)用向量法证明:
平面.
3.1.3.空间向量的数量积
(1)
一、教学目标:
1.掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法;
2.掌握两个向量的数量积的计算方法,并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题。
二、教学重、难点:
空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化。
三、教学过程
学生探究过程:
(一)复习:
空间向量基本定理及其推论;
(二)新课讲解:
1.空间向量的夹角及其表示:
已知两非零向量,在空间任取一点,作,则叫做向量与的夹角,记作;且规定,显然有;若,则称与互相垂直,记作:
;
2.向量的模:
设,则有向线段的长度叫做向量的长度或模,记作:
;
3.向量的数量积:
已知向量,则叫做的数量积,记作,即.
已知向量和轴,是上与同方向的单位向量,作点在上的射影,作点在上的射影,则叫做向量在轴上或在上的正射影;可以证明的长度.
4.空间向量数量积的性质:
(1).
(2).
(3).
5.空间向量数量积运算律:
(1).
(2)(交换律).
(3)(分配律).
(三)例题分析:
例1.用向量方法证明:
直线和平面垂直的判定定理。
已知:
是平面内的两条相交直线,直线与平面的交点为,且
求证:
.
例2.已知空间四边形中,,,求证:
.
例3.如图,在空间四边形中,,,,,,,求与的夹角的余弦值。
五.巩固练习:
课本第99页练习第1、2、3题。
六.教学反思:
空间向量数量积的概念和性质。
七.作业:
课本第3、4题
向量的数量积
(2)
一、教学目标:
①向量的数量积运算
②利用向量的数量积运算判定垂直、求模、求角
二、教学重点:
①向量的数量积运算
②利用向量的数量积运算判定垂直、求模、求角
三、教学方法:
练习法,纠错法,归纳法
四、教学过程:
考点一:
向量的数量积运算
(一)、知识要点:
1)定义:
①设<>=,则(的范围为)
②设,则。
注:
①不能写成,或②的结果为一个数值。
2)投影:
在方向上的投影为。
3)向量数量积运算律:
①②③
注:
①没有结合律
二)例题讲练
1、下列命题:
①若,则,中至少一个为②若且,则
③④
中正确有个数为()
A.0个B.1个C.2个D.3个
2、已知中,A,B,C所对的边为a,b,c,且a=3,b=1,C=30°,则=。
3、若,,满足,且,则=。
4、已知,且与的夹角为,则在上的投影为。
考点二:
向量数量积性质应用
一)、知识要点:
①(用于判定垂直问题)
②(用于求模运算问题)
③(用于求角运算问题)
二)例题讲练
1、已知,,且与的夹角为,,,求当m为何值时
2、已知,,,则。
3、已知和是非零向量,且==,求与的夹角
4、已知,,且和不共线,求使与的夹角是锐角时的取值范围
巩固练习
1、已知和是两个单位向量,夹角为,则()等于()
A.-8B.C.D.8
2、已知和是两个单位向量,夹角为,则下面向量中与垂直的是()
A.B.C.D.
3、在中,设,,,若,则()
直角三角形锐角三角形钝角三角形无法判定
4、已知和是非零向量,且与垂直,与垂直,求与的夹角。
5、已知、、是非零的单位向量,且++=,求证:
为正三角形。
3.1.5空间向量运算的坐标表示
课题向量的坐标
教学目的要求1.理解空间向量与有序数组之间的1-1对应关系
2.掌握投影定理、分向量及方向余弦的坐标表示
主要内容与时间分配1.投影与投影定理25分钟
2.分向量与向量的坐标30分钟
3.模与方向余弦的坐标表示35分钟
重点难点1.投影定理
2.分向量
3.方向余弦的坐标表示
教学方法和手段启发式教学法,使用电子教案
一、向量在轴上的投影
1.几个概念
(1)轴上有向线段的值:
设有一轴,是轴上的有向线段,如果数满足,且当与轴同向时是正的,当与轴反向时是负的,那么数叫做轴上有向线段的值,记做AB,即。
设e是与轴同方向的单位向量,则
(2)设A、B、C是u轴上任意三点,不论三点的相互位置如何,总有
(3)两向量夹角的概念:
设有两个非零向量和b,任取空间一点O,作,,规定不超过的称为向量和b的夹角,记为
(4)空间一点A在轴上的投影:
通过点A作轴的垂直平面,该平面与轴的交点叫做点A在轴上的投影。
(5)向量在轴上的投影:
设已知向量的起点A和终点B在轴上的投影分别为点和,那么轴上的有向线段的值叫做向量在轴上的投影,记做。
2.投影定理
性质1:
向量在轴上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦:
性质2:
两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和,即
性质3:
向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法。
即
二、向量在坐标系上的分向量与向量的坐标
1.向量在坐标系上的分向量与向量的坐标
通过坐标法,使平面上或空间的点与有序数组之间建立了一一对应关系,同样地,为了沟通数与向量的研究,需要建立向量与有序数之间的对应关系。
设a=是以为起点、为终点的向量,i、j、k分别表示图7-5
沿x,y,z轴正向的单位向量,并称它们为这一坐标系的基本单位向量,由图7-5,并应用向量的加法规则知:
i+j+k
或a=axi+ayj+azk
上式称为向量a按基本单位向量的分解式。
有序数组ax、ay、az与向量a一一对应,向量a在三条坐标轴上的投影ax、ay、az就叫做向量a的坐标,并记为
a={ax,ay,az}。
上式叫做向量a的坐标表示式。
于是,起点为终点为的向量可以表示为
特别地,点对于原点O的向径
注意:
向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有本质区别。
向量a在坐标轴上的投影是三个数ax、ay、az,
向量a在坐标轴上的分向量是三个向量axi、ayj、azk.
2.向量运算的坐标表示
设,即,
则
(1)加法:
◆减法:
◆乘数:
◆或
◆平行:
若a≠0时,向量相当于,即
也相当于向量的对应坐标成比例即
三、向量的模与方向余弦的坐标表示式
设,可以用它与三个坐标轴的夹角(均大于等于0,小于等于)来表示它的方向,称为非零向量a的方向角,见图7-6,其余弦表示形式称为方向余弦。
图7-6
1.模
2.方向余弦
由性质1知,当时,有
◆任意向量的方向余弦有性质:
◆与非零向量a同方向的单位向量为:
3.例子:
已知两点M1(2,2,)、M2(1,3,0),计算向量的模、方向余弦、方向角以及与同向的单位向量。
解:
={1-2,3-2,0-}={-1,1,-}
,,
,,
设为与同向的单位向量,由于
即得
3.2立体几何中的向量方法
空间距离
利用向量方法求解空间距离问题,可以回避此类问题中大量的作图、证明等步骤,而转化为向量间的计算问题.
例1如图,已知正方形ABCD的边长为4,E、F分别是AB、AD的中点,GC⊥平面ABCD,且GC=2,求点B到平面EFG的距离.
分析:
由题设可知CG、CB、CD两两互相垂直,可以由此建立空间直角坐标系.用向量法求解,就是求出过B且垂直于平面EFG的向量,它的长即为点B到平面EFG的距离.
解:
如图,设4i,4j,2k,以i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系C-xyz.
由题设C(0,0,0),A(4,4,0),B(0,4,0),D(4,0,0),E(2,4,0),F(4,2,0),G(0,0,2).
∴ ,,
,,
.
设平面EFG,M为垂足,则M、G、E、F四点共面,由共面向量定理知,存在实数a、b、c,使得,
∴ =(2a+4b,-2b-4c,2c).
由平面EFG,得,,于是
,.
∴
整理得:
,解得.
∴ =(2a+4b,-2b-4c,2c)=.
∴
故点B到平面EFG的距离为.
说明:
用向量法求点到平面的距离,常常不必作出垂线段,只需利用垂足在平面内、共面向量定理、两个向量垂直的充要条件解出垂线段对应的向量就可以了.
例2已知正方体ABCD-的棱长为1,求直线与AC的距离.
分析:
设异面直线、AC的公垂线是直线l,则线段在直线l上的射影就是两异面直线的公垂线段,所以此题可以利用向量的数量积的几何意义求解.
解:
如图,设i,j,k,以i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系-xyz,则有
,,,.
∴ ,,.
设n是直线l方向上的单位向量,则.
∵ n,n,
∴ ,解得或.
取n,则向量在直线l上的投影为
n••.
由两个向量的数量积的几何意义知,直线与AC的距离为.
向量的内积与二面角的计算
在《高等代数与解析几何》课程第一章向量代数的教学中,讲到几何空间的内积时,有一个例题(见[1],p53)要求证明如下的公式:
(1)
其中点O是二面角P-MN-Q的棱MN上的点,OA、OB分别在平面P和平面Q内。
,,。
为二面角P-MN-Q(见图1)。
图1
公式
(1)可以利用向量的内积来加以证明:
以Q为坐标平面,直线MN为y轴,如图1建立直角坐标系。
记xOz平面与平面P的交线为射线OD,则,得
,,。
分别沿射线OA、OB的方向上作单位向量,,则。
由计算知,的坐标分别为
,,
于是,
。
公式
(1)在立体几何计算二面角的平面角时是有用的。
我们来介绍如下的两个应用。
例1.立方体ABCD-A¬1B¬¬1C1D1的边长为1,E、F、G、H、I分别为A1D1、A1A、A1B1、B1C1、B1B的中点。
求面EFG和面GHI的夹角的大小(用反三角函数表示)。
解由于图2中所画的两平面EFG和GHI只有一个公共点,没有交线,所以我们可以将该立方体沿AB方向平移1个单位。
这样就使平面EFG平移至平面。
而就是二面角G-IH-(见图3)。
利用公式
(1),只要知道了,和的大小,我们就能求出。
图2
由已知条件,和均为等边三角形,所以,而。
因此,
图3
,
即
。
解得
,。
当然,在建立了直角坐标系之后,通过计算向量的外积可计算出两平面的法向量,利用法向量同样也可算出夹角来。
例2.计算正十二面体的两个相邻面的夹角的大小。
解我们知道正十二面体的每个面都是大小相同的正五边形,且在正十二面体的每个顶点上均有3个面围绕。
设P和Q是两个相邻的面,MN是它们的交线(如图4),则公式
(1)中的,,分别为:
,,,
因此它们均为正五边形的内角。
所以
。
图4
所以,由公式
(1)知
,
或
。
因此,,或。
如果不使用公式
(1),要求出例2中的夹角的大小在计算上要复杂很多。
利用例2的结果,我们可以容易地计算出单位棱长正十二面体的体积V。
设单位棱长正十二面体的中心为O,则该十二面体可以切割成十二个全等的正五棱锥,每个五棱锥以该多面体的一个面为底面、以O为其顶点。
设该正五棱锥为,从而可知:
。
再设的底面积为S、高为h,设为单位边长正五边形(即的底)的中心,A、B为该五边形的两个相邻的顶点,H为AB的中点,,则
,,。
仍设为正十二面体两相邻面的夹角,则。
所以
。
但是,
,
从而
,
或
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 选修 21 第三