选修2-1第三章3.1.4空间向量的正交分解.doc
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空间向量的正交分解
一.复习引入:
1.我们如何准确定位在某条线上某一确定的点?
(数轴)
2.在某一个平面中,若存在一个确定的点,我们又是如何准确定位的呢?
(建立平面直角坐标系)
3.在日常生活中,常常需要确定点的位置。
如你在上课的时候所处于教学楼的位置等,是否还是可以用数轴或者平面直角坐标系来解决呢?
(局限性)
我们生存在空间中。
空间中的事物所处的位置已经不能用平面直角坐标系来
表示了。
这时候我们就要引入新的量——空间直角坐标系。
二.探索新知:
1.空间直角坐标系的定义:
如图,OABC-D’A’B’C’是单位正方体,以O为原
点,分别以射线OA,OC,OD’的方向为正方向,以线段OA,OC,OD’的长为
单位长,建立三条数轴:
x轴,y轴,z轴。
这时我们说建立了一个空间直角坐
z
y
x
A
B
C
O
C’
A’
B’
D’
标系,其中点O叫做坐标原点,x轴,y轴,z轴
叫做坐标轴。
通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。
2。
右手直角坐标系:
在空间直角坐标系中,让
右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正
方向,如果中指指向z轴的正方向,则称这个坐
标系为右手直角坐标系。
例1已知长方体ABCD—A1B1C1D1的边长为AB =14,AD =6,AA1 =10 以这个长方体的顶点A为坐标原点,以射线AB、AD、AA1分别为ox、oy、oz轴的正半轴,建立空间直角坐标系,求长方体各顶点的坐标。
练习1已知一长方体的对称中心在坐标原点O,交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面,顶点A(-2,-3,-1),求其他七个顶点的坐标
例2:
为正四棱锥,O为底面中心,若,试建立空间直角坐标系,并确定各顶点的坐标。
练习2:
建立适当的直角坐标系,确定棱长为3的正四面体个顶点的坐标。
练习3.在直三棱柱ABO—A1B1O1中,∠AOB=,|AO|=4,|BO|=2,|AA1|=4,D为A1B1的中点,则在如图所示的空间直角坐标系中,求的坐标.
练习4已知点,则点关于原点的对称点的坐标为( )
A. B.
C. D.
空间向量的正交分解作业
1若{a,b,c}是空间的一个基底,则下列各组中不能构成空间一个基底的是()
A.a,2b,3cB.a+b,b+c,c+aC.a+2b,2b+3c,3a-9cD.a+b+c,b,c
2.已知i,j,k是空间直角坐标系Oxyz中x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量,且
=-i+j-k,则B点的坐标为( )
A.(-1,1,-1) B.(-i,j,-k)
C.(1,-1,-1) D.不确定
3.点到平面的距离为 .
4.已知向量p在基底a,b,c下的坐标是(2,3,-1),求p在基底{a,a+b,a+b+c}下的坐标.
5.如图,长方体中,,,,于相交于点.分别写出,,的坐标.
空间向量运算的坐标表示
教学目标:
掌握空间向量的坐标运算的规律;会根据向量的坐标,判断两个向量共线或垂直
课前复习:
1.空间向量基本定理:
2.设A,B,则=.
3.向量的直角坐标运算:
设a=,b=,则
⑴a+b=⑵a-b=
⑶λa=;⑷a·b=.
新课探究:
一、两个向量共线或垂直的判定:
∥_______________________;⊥_____________________.
例题分析:
例1、正方体A1B1C1D1-ABCD中,点E、F分别是BB1,D1B1的中点,求证EFDA1
二、距离与夹角
1.距离公式
(1)向量的长度(模)公式
注意:
此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。
(2)空间两点间的距离公式
在空间直角坐标系中,已知A()、B()则()
2.两个向量夹角公式
注意:
思考:
在0,-1时的夹角的取值范围是什么?
练习:
1.求下列两个向量的夹角的余弦:
2.求下列两点间的距离:
B(1,1,1)
三、应用举例
例1 已知A(3,3,1)、B(1,0,5)求:
(1)线段AB的中点坐标和长度;
(2)到A、B两点距离相等的点P(x,y,z)的坐标x,y,z满足的条件
例2、如图,在正方体A1B1C1D1-ABCD中,点E1、F1分别是A1B1、C1D1的一个四等分点,求BE1与DF1所成角的余弦值
练习1.如图:
直三棱柱ABC-A1B1C1,底面中,CA=CB=1,=90,棱AA1=2,M,N分别为A1B1,AA1的中点。
1)求BN的长
2)求
3)求证:
A1BC1M
空间向量运算的坐标表示作业
1.已知a=(1,-2,1),a+b=(-1,2,-1),则b等于( )
A.(2,-4,2) B.(-2,4,-2)
C.(-2,0,-2) D.(2,1,-3)
2.已知a=(1,0,1),b=(-2,-1,1),c=(3,1,0),则|a-b+2c|等于( )
A.3 B.2
C. D.5
3.已知向量a=(4,-2,-4),b=(6,-3,2),则下列结论正确的是( )
A.a+b=(10,-5,-6) B.a-b=(2,-1,-6)
C.a·b=10 D.|a|=6
4.若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则==是a∥b的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k的值是( )
A.1 B.
C. D.
6.已知A点的坐标是(-1,-2,6),B点的坐标是(1,2,-6),O为坐标原点,则向量与的夹角是( )
A.0 B.
C.π D.
7.若a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),且a与b为共线向量,则( )
A.x=1,y=1 B.x=,y=-
C.x=,y=- D.x=-,y=
8.△ABC的顶点分别为A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),则AC边上的高BD等于( )
A.5 B.
C.4 D.2
9.已知空间三个向量a=(1,-2,z),b=(x,2,-4),c=(-1,y,3),若它们分别两两垂直,则x=________,y=________,z=________.
10.已知△ABC的三个顶点为A(3,3,2)、B(4,-3,7)、C(0,5,1),M为BC的中点,
则||=________.
11.在△ABC中,已知=(2,4,0),=(-1,3,0),则∠ABC=________.
12.已知点A,B,C的坐标分别为(0,1,0),(-1,0,-1),(2,1,1),点P的坐标为(x,0,z),若⊥,⊥,则点P的坐标为________.
13.已知O为坐标原点,A、B、C三点的坐标分别是(2,-1,2)、(4,5,-1)、(-2,2,3).求点P的坐标,使:
=(-).
14.已知向量a=(4,-2,-4),b=(6,-3,2).求:
(1)|b|;
(2)(2a+3b)·(a-2b)
15.已知向量a=(1,-3,2),b=(-2,1,1),以及点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).
(1)求|2a+b|;
(2)在直线AB上是否存在一点E,使⊥b(O为原点).
16.如图,直三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M、N分别是A1B1、A1A的中点.
(1)求的模;
(2)求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值;
(3)求证:
A1B⊥C1M.
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- 选修 第三 3.1 空间 向量 正交 分解