第六章微分中值定理Word格式文档下载.docx
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1.
回忆极值的概念和可微极值点的必要条件:
定理
(Fermat)
设函数
在点
的某邻域内有定义,且在点
可导,若点
为
的极值点,
则必有
1、罗尔中值定理:
若函数
满足如下条件:
(i)
在闭区间[a,b]上连续;
(ii)
在开区间(a,b)内可导;
(iii)
,
则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得
(ξ)=0
(分析)由条件(i)知
在[a,b]上
有最大值和最小值,再由条件(ii)及(iii),应用费马定理便可得到结论。
证明:
因为
在[a,b]上连续,所以有最大值与最小值,分别用M与m表示,现分两种情况讨论:
(i)若M=m,则
在[a,b]上必为常数,从而结论显然成立。
(ii)若m<M,则因
(a)=
(b),使得最大值M与最小值m至少有一个在(a,b)内某点ξ处取得,从
而ξ是
的极值点,由条件(ii)
在点ξ处可导,故由费马定理推知
=0.
注1:
罗尔定理的几何意义:
在每一点都可导的一段连续曲线上,如果曲线的两端点高度相等,则至少
存在一条水平切线。
注2:
习惯上把结论中的ξ称为中值,罗尔定理的三个条件是充分而非必要的,但缺少其中任何一个条
件,定理的结论将不一定成立,见下图:
例如:
x1=-2:
-0.09;
x2=-1;
x3=-0.99:
0.01:
1;
x4=1:
2;
x=[x1,x2,x3,x4];
y1=0*x1;
y2=NaN;
y3=x3.^x3;
y4=ones(size(x4));
y=[y1,y2,y3,y4];
plot(x,y,'
r'
)
axis([-2,2,-1.2,1.3])
易见,F在x=-1不连续,在x=±
1不可导,F(-2)≠F
(2),
即罗尔定理的三个条件均不成立,但是在
(-2,2)内存在点ξ,
满足
注3:
罗尔定理结论中的ξ值不一定唯一,可能有一个,几个甚至无限多个,例如:
x=-0.2:
0.005:
0.2;
y=(x.^4).*((sin(1./x)).^2);
plot(x,y,'
axis([-0.2,0.2,-0.001,0.002])
在
[-1,1]
上满足罗尔定理的条件,
显然
在(-1,1)内存在无限多个
=
使得
=0。
2、拉格朗日(Lagrange)中值定理:
若函数f满足如下条件:
(i)f在闭区间[
]上连续;
(ii)f在开区间(
)内可导;
则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得
(分析)罗尔定理是拉格朗日
中值定理:
ƒ(a)=ƒ(b)时的特殊情况,应用罗尔定理证明此定理要构造辅助函数
,使得
满足罗尔定理的条件
(i)-(iii)
且
从而推得
作辅助函数
显然,F(a)=F(b)(=0),且F在[a,b]上满足罗尔定理的另两个条件,故存在点
ξ
(a,b),使得
即
注1°
罗尔定理是拉格朗日中值定理
时的特例
注2°
几何意义:
在满足拉格朗日中值定理条件的曲线
上至少存在一点
,该曲线在
该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB,我们在证明中引入的辅助函数
,正是曲线
与
直线AB
之差,事实上,这个辅助函数的引入相当于坐标系统原点在平面内的旋转,使在新坐标系下,线段AB平
行于新х轴(F(a)=F(b))。
注3°
此定理的证明提供了一个用构造函数法证明数学命题的精彩典范;
同时通过巧妙地数学变换,将
一般化为特殊,将复杂问题化为简单问题的论证思想,也是数学分析的重要而常用的数学思维的体现。
注4°
拉格朗日中值定理的结论常称为拉格朗日公式,它有几种常用的等价形式,可根据不同问题的特
点,在不同场合灵活采用:
注5°
拉格朗日中值定理的两个条件彼此有关,并不彼此独立,因为:
在(a,b)可导可以推出ƒ在
(a,b)连续,但反之不成立。
把这两个条件的“重叠”部分去掉,改成“函数
在(a,b)可导且
在a右连续在b左连续”这样,两个条件互相独立,但文字累赘且不便记忆,因此一般不这样叙述。
中值定理的简单应用:
(讲1时)
3、拉格朗日中值定理的几个重要推论
推论1
函数
在区间I上可导且
为I上的常值函数.
任取两点
(设
),在区间[
]上应用拉格朗日中值定理,存在
(
I,使得
推论2
和
推论3(导数极限定理)设函数
的某邻域U(
)内连续,在U°
)内可导,且极限
存在,则
可导,且
分别按左右导数来证明上式成立
(1)
任取
在[
]上满足拉格朗日中值定理条件,则存在
由于
<ξ<
,因此当
时随之有ξ→
,对上式两边取极限,使得
(2)同理可得
存在,所以
,从而
即
由推论3可知:
在区间I上的导函数
在I上的每一点,要么是连续点,要么是第二类
间断点,不可能出现第一类间断点。
导数极限定理适合于用来求分段函数的导数。
推论4
(导函数的介值性)
若函数
在闭区间
上可导,且
(证)
定理(Darboux)
在区间
上可导且
.若
为介于
之间的任一实数,则
这就证得
在区间I上任何两点之值相等。
可微函数单调性判别法:
单调性判法:
定理1
设函数
内可导.则在
内
↗(或↘)
在
(或
).
必要性
充分性
在I上递增。
例
设
讨论它的单调区间。
解
x=-1:
y=x.^3-x;
g=3*x.^2-1;
x,g,'
b'
axis([-1,1,-1,0.6])
例2
求函数
的单调区间。
f='
2*x^3-9*x^2+12*x-3'
;
dfdx=diff(f,'
x'
)
dfdx=6*x^2-18*x+12
s='
6*x^2-18*x+12'
x0=solve(s)
s=6*x^2-18*x+12
x0=1,2
clf,x=-1:
1/20:
5;
y=2*x.^3-9*x.^2+12*x-3;
plot(x,y)
定理2
严格↗(或严格↘)
ⅰ)
对
有
ⅱ)
在
内任子区间上
证明不等式
设
时
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