微分中值定理及其应用.docx
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微分中值定理及其应用
第六章
微分中值定理及其应用
引言
在前一章中,我们引进了导数的概念,详细地讨论了计算导数的方法•这样一来,类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决•但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题那么,只知道怎样计算导数是远远不够的,而要以此为基础,发展更多的工具•
另一方面,我们注意到:
(1)函数与其导数是两个不同的的函数;
(2)导数只是反映函数在一点的局部特征;(3)我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态,因此如何解决这个矛盾?
需要在导数及函数间建立起一一联系一一搭起一座桥,这个“桥”就是微分中值定理•
本章以中值定理为中心,来讨论导数在研究函数性态(单调性、极值、凹凸性质)方面的应用.
§6.1微分中值定理
教学早节:
第六章微分中值定理及其应用一一§6.1微分中值定理
教学目标:
掌握微分学中值定理,领会其实质,为微分学的应用打下坚实的理论基础.
教学要求:
深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义,掌握三个定理的证明方法,知道三者之间的包含关系.
教学重点:
中值定理.
教学难点:
定理的证明.
教学方法:
系统讲解法.
教学过程:
一、一个几何命题的数学描述
为了了解中值定理的背景,我们可作以下叙述:
弧AB上有一点P,该处的切线平行与弦AB.
如何揭示出这一叙述中所包含的“数量”关系呢?
联系“形”、“数”的莫过于“解析几何”,故如建立坐标系,则弧AB的函数是y=f(x),x[a,b]
的图像,点P的横坐标为^.如点P处有切线,则f(x)在点x二•处可导,且切线的斜率为fI);另一方面,弦AB所在的直线斜率为f(b)理,曲线y=f(x)上点P的切线平行于弦
b—a
AB二f()」(b)-f(a).
b-a
撇开上述几何背景,单单观察上述数量关系,可以发现:
左边仅涉及函数的导数,右边仅涉及函数在端点的函数值•这样这个公式就把函数及其导数联系起来•在二者之间架起了一座桥梁,这座“桥”就是导数在研究函数方面应用的理论基础.鉴于-(a,b),故把类似公式称为“中值公式”;把类似的定理称为中值定理.
剩下的问题是:
中值定理何时成立呢?
观察如下事实,可以发现:
如果y=f(x)在[a,b]上不连续或不可导(无切线),是不一定有上述结论的.换言之,如保证类似点P存在,曲线弧AB至少是连续的,而且处处有切线.反映到函数y=f(x)上,即要求y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导.
二、中值定理
Lagrange中值定理若函数f满足以下条件:
(1)f在[a,b]上连续;
(2)f在(a,b)内可导.则在(a,b)内至少存在一点,使得f()」(b)-f(a).
b-a
特别地,当f(a)=f(b)时,有如下Rolle定理:
Rolle定理若f满足如下条件:
(1)f[a,b];
(2)f在(a,b)内可导;(3)f(a)=f(b),
则存在:
(a,b),使得f()=0.
如把曲线弧AB用参数方程函数,则可得出以下中值定理:
Cauchy定理若函数f,g(x=g(u),y=f(u),u[a,b])满足如下条件:
(1)fg[a,b];
(2)f,g在(a,b)内可导;(3)f,g至少有一个不为0;(4)g(a)-g(b).在存在:
(a,b),使得f0)_f(b)-f(a).
g()g(b)-g(a)
说明
(1)几何意义:
Rolle:
在每一点都可导的连续曲线,如果曲线两端点高度相同,则至少存在一水平切线(在具有水平弦的可微曲线上有水平曲线);Lagrang:
可微曲线上存在一点,使其切线平行于端点的连线;Cauchy:
视为曲线的参数;u=f(x),v=g(x),x[a,b],则以v为横坐
标,u为纵坐标可得曲线上有一点,该处切线与曲线端点连线平行.
(2)三个定理关系如下:
Rolle--—Lagrang—更Cauchy
洛阳师范学院数学科学学院《数学分析》教案
(3)三个定理中的条件都是充分但非必要.以Rolle定理为例,三个条件缺一不可.1)不可导,不一定存在;2)不连续,不一定存在;3)f(a)尸f(b),不一定存在.“不一定存在”意味着一一
般情况如下:
Rolle定理不再成立•但仍可知有f「)=0的情形发生•如y=sgnx,x•[-1,1]不满
足Rolle定理的任何条件,但存在无限多个:
(-1,1),使得f「)=0•
(4)Lagrang定理中涉及的公式:
f()=f(b)-f(a)称之为“中值公式”.这个定理也称b—a
为微分基本定理.中值公式有不同形式:
(i)f(b)-f(a)=f()(b-a),(a,b);(ii)
f(b)-f(a)=f(a(b—a)R(b—a),0 公式对ab均成立.此时.在a,b之间;(ii)、(iii)的好处在于无论a,b如何变化,才(0,1)易于控制. 三、极值 定义3(极值)若函数f在区间I上有定义,x0・I.若存在x0的邻域U(x0),使得对于任意的X•U(X。 ),有f(疝_f(X),则称f在点x0取得极大值,称点X。 为极大值点.若存在xd的邻域U(xd),使得对于任意的X•U(X。 ),有f(X。 )—f(x),则称f在点x。 取得极小值,称点x。 为极小值占 八、、・ 极大值、极小值统称为极值,极大值点、极小值点统称为极值点. 注1、极值是局部性概念,若f(Xo)是极值,是和X。 点附近的函数值比较而言的,和离X。 较远的地方无关;最值显然是对整个区间而言的,是整体概念. 2、闭区间[a,b]上的连续函数必有最值,且最大值和最小值各有一个,最大值小于最小值(常函数除外),但可能无极值.即使有极值,也可能不止一个,极小值也可能大于极大值.因此若f(a)是函数的最值,则f(a)不可能是极值;若f(x。 )(x。 •(a,b))是函数的最值,则一定是极值.(即最值不一定是极值,反之,极值也不一定是最值,因此极值有很多,但若极值只有一个,即为最值.) 极值存在的必要条件费马(Fermat)定理 费马定理若函数在点X0的邻域内有定义,且在点X0可导.若X0为f的极值点,则比有 f(xJ=0.(即可导极值点的导数为零.)其几何意义: 可导极值点出的切线平行于x轴),称 满足方程f(x。 )=0的点为稳定点. 证明无妨设f(x。 )为极大值,则当AX0时,且X0「XU(x。 )时,有 f(X。 .: x)-f(X。 )0△x— 令ixT0+,得f(X。 )兰0. f(X。 : x)-f(X。 )0 当&<0时,有Ax—.令也XT0-,得「(x%0,由此推得f"(X0)=0. Fermat定理表明导数为0是极值必要条件,但是如果f(x)'C[a,b],那么它能达到最大值, 如果它又可导,在佝b)内f(x)二。 只有一个根,则比较f(a),f(X0),f(b)就可定出最大值. 由费马定理可知,可导极值点是稳定点,反之不然.如f(x)=x3,点x=0是稳定点,但不是极 值点• 达布(Darboux)定理(导函数的介值定理)若函数f在[a,b]上可导,且f「(a)=f_(b),k 为介于f(a)和f_(b)之间的任一实数,则至少存在一点―(a,b),使得f「)=k. 四、中值定理的证明 (1)Rolle定理 证明因为f(x「C[a,b],f(x)在[a,b]上有最大值M与最小值m,如果M=m,则 f(x)二M,这时f(x)=°,可取(a,b)中任意一点作为,如果M・m,其中至少有一个不等于 f(a)二f(b).不妨设M"(a),我们假定f(x)在(a,b)取到最大值,f「)=M,即•为一个极 值点,且f(=)存在,由Fermat定理,「(匕)- (二)Lagrange中值定理 证明作辅助函数 f(x)X1 G(x)= f(a)a1 f(b)b1 它有明显几何意义,即它表示连接三点: (f(x),x),(f(a),a),(f(b),b)/的三角形面积之二倍那么G(x「C[a,b],在(a,b)可导,且G(a)二G(b)=0,用Rolle定理,(a,b),使得G「)=°, 即 =0 f(E)10 m=f(b)—f(a) b—a f(a)a1 f(b)b1 辅助函数造法很多,比如可以用以下方法 F(x)=f(x)-f(a)些(x-a) 1a—b一, G(x)=[f(x)-f(a)](b-a)-(x-a)[f(b)-f(a)] 坐(x)=f(x)(b—a)—x[f(b)—f(a)] 然后借助于Rolle定理都可证明Lagrange定理. f(a)—f(b) 注释量a』表示连接两点A(a,f(a))和B(b,f(b))的弦的斜率,不管a: : : b还是ab都对丄agrange定理表明存在(a,b)中一点,使f()恰等于这个斜率丄agrange定理也称Lagrange公式,它也可以写成f(x)=f(a)'f(Xx-a),其中介于x与a之间,它可以看成用线性函数f(a)f「)(x-a)在a局部对f(x)的逼近.它还可写成 f(b)二f(a)f[a,(b-a)](b-a) J f(a+h)=f(a)+f"(a+Bh)h 其中0"c1,h=b—a 这里£=avh •-a 只要指出"-h满足0: : : …1.当h0
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