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(a,b),使得f()=0.
如把曲线弧AB用参数方程函数,则可得出以下中值定理:
Cauchy定理若函数f,g(x=g(u),y=f(u),u[a,b])满足如下条件:
(1)fg[a,b];
(2)f,g在(a,b)内可导;
(3)f,g至少有一个不为0;
(4)g(a)-g(b).在存在:
(a,b),使得f0)_f(b)-f(a).
g()g(b)-g(a)
说明
(1)几何意义:
Rolle:
在每一点都可导的连续曲线,如果曲线两端点高度相同,则至少存在一水平切线(在具有水平弦的可微曲线上有水平曲线);
Lagrang:
可微曲线上存在一点,使其切线平行于端点的连线;
Cauchy:
视为曲线的参数;
u=f(x),v=g(x),x[a,b],则以v为横坐
标,u为纵坐标可得曲线上有一点,该处切线与曲线端点连线平行.
(2)三个定理关系如下:
Rolle--—Lagrang—更Cauchy
洛阳师范学院数学科学学院《数学分析》教案
(3)三个定理中的条件都是充分但非必要.以Rolle定理为例,三个条件缺一不可.1)不可导,不一定存在;
2)不连续,不一定存在;
3)f(a)尸f(b),不一定存在.“不一定存在”意味着一一
般情况如下:
Rolle定理不再成立•但仍可知有f「)=0的情形发生•如y=sgnx,x•[-1,1]不满
足Rolle定理的任何条件,但存在无限多个:
(-1,1),使得f「)=0•
(4)Lagrang定理中涉及的公式:
f()=f(b)-f(a)称之为“中值公式”.这个定理也称b—a
为微分基本定理.中值公式有不同形式:
(i)f(b)-f(a)=f()(b-a),(a,b);
(ii)
f(b)-f(a)=f(a(b—a)R(b—a),0<
r<
1;
(iii)f(a+h)-f(a)=f(a,h)h,0<
二<
1.此处,中值
公式对a<
b,a>
b均成立.此时.在a,b之间;
(ii)、(iii)的好处在于无论a,b如何变化,才(0,1)易于控制.
三、极值
定义3(极值)若函数f在区间I上有定义,x0・I.若存在x0的邻域U(x0),使得对于任意的X•U(X。
),有f(疝_f(X),则称f在点x0取得极大值,称点X。
为极大值点.若存在xd的邻域U(xd),使得对于任意的X•U(X。
),有f(X。
)—f(x),则称f在点x。
取得极小值,称点x。
为极小值占
八、、・
极大值、极小值统称为极值,极大值点、极小值点统称为极值点.
注1、极值是局部性概念,若f(Xo)是极值,是和X。
点附近的函数值比较而言的,和离X。
较远的地方无关;
最值显然是对整个区间而言的,是整体概念.
2、闭区间[a,b]上的连续函数必有最值,且最大值和最小值各有一个,最大值小于最小值(常函数除外),但可能无极值.即使有极值,也可能不止一个,极小值也可能大于极大值.因此若f(a)是函数的最值,则f(a)不可能是极值;
若f(x。
)(x。
•(a,b))是函数的最值,则一定是极值.(即最值不一定是极值,反之,极值也不一定是最值,因此极值有很多,但若极值只有一个,即为最值.)
极值存在的必要条件费马(Fermat)定理
费马定理若函数在点X0的邻域内有定义,且在点X0可导.若X0为f的极值点,则比有
f(xJ=0.(即可导极值点的导数为零.)其几何意义:
可导极值点出的切线平行于x轴),称
满足方程f(x。
)=0的点为稳定点.
证明无妨设f(x。
)为极大值,则当AX0时,且X0「XU(x。
)时,有
f(X。
.:
x)-f(X。
)0△x—
令ixT0+,得f(X。
)兰0.
:
)0
当&
<
0时,有Ax—.令也XT0-,得「(x%0,由此推得f"
(X0)=0.
Fermat定理表明导数为0是极值必要条件,但是如果f(x)'
C[a,b],那么它能达到最大值,
如果它又可导,在佝b)内f(x)二。
只有一个根,则比较f(a),f(X0),f(b)就可定出最大值.
由费马定理可知,可导极值点是稳定点,反之不然.如f(x)=x3,点x=0是稳定点,但不是极
值点•
达布(Darboux)定理(导函数的介值定理)若函数f在[a,b]上可导,且f「(a)=f_(b),k
为介于f(a)和f_(b)之间的任一实数,则至少存在一点―(a,b),使得f「)=k.
四、中值定理的证明
(1)Rolle定理
证明因为f(x「C[a,b],f(x)在[a,b]上有最大值M与最小值m,如果M=m,则
f(x)二M,这时f(x)=°
可取(a,b)中任意一点作为,如果M・m,其中至少有一个不等于
f(a)二f(b).不妨设M"
(a),我们假定f(x)在(a,b)取到最大值,f「)=M,即•为一个极
值点,且f(=)存在,由Fermat定理,「(匕)-
(二)Lagrange中值定理
证明作辅助函数
f(x)X1
G(x)=
f(a)a1
f(b)b1
它有明显几何意义,即它表示连接三点:
(f(x),x),(f(a),a),(f(b),b)/的三角形面积之二倍那么G(x「C[a,b],在(a,b)可导,且G(a)二G(b)=0,用Rolle定理,(a,b),使得G「)=°
即
=0
f(E)10
m=f(b)—f(a)
b—a
f(b)b1
辅助函数造法很多,比如可以用以下方法
F(x)=f(x)-f(a)些(x-a)
1a—b一,
G(x)=[f(x)-f(a)](b-a)-(x-a)[f(b)-f(a)]
坐(x)=f(x)(b—a)—x[f(b)—f(a)]
然后借助于Rolle定理都可证明Lagrange定理.
f(a)—f(b)
注释量a』表示连接两点A(a,f(a))和B(b,f(b))的弦的斜率,不管a:
:
b还是ab都对丄agrange定理表明存在(a,b)中一点,使f()恰等于这个斜率丄agrange定理也称Lagrange公式,它也可以写成f(x)=f(a)'
f(Xx-a),其中介于x与a之间,它可以看成用线性函数f(a)f「)(x-a)在a局部对f(x)的逼近.它还可写成
f(b)二f(a)f[a,(b-a)](b-a)
J
f(a+h)=f(a)+f"
(a+Bh)h
其中0"
c1,h=b—a
这里£
=avh
•-a
只要指出"
-h满足0:
…1.当h0
时,avE<
a+h,0vE-avh,°
v-<
1,得0乙<
1.当h<
0时,a+hvEva,
a-
0£
a_^£
-h,'
_h*,得0£
#c1.
(三)Cauchy定理
f(b)—f(a)_f牡)
证明对f和g分别应用Lagrange定理,我们可得g(b)-g(a)g「),这里1与2可能不一样,这是一条错误之路,本定理关键要求是一致的〔作函数
f(x)g(x)1
G(x)=f(a)g(a)1
f(b)g(b)1
;
x=f(x)
它的几何意义是在参数曲线y=g(x)上,三点{(f(x),g(x)),(f(a),g(a)),
(f(b),g(b))}连成的三角形面积之二倍.则G(X)满足Rolle定理条件,故(a,b),使得
G代)=0,即g牡)[f(b)—f(a)]=f(©
)[g(b)—g(a)],得证.
注1与Lagrange定理证明类似,我们也可借助其它形式的辅助函数,比如用
F(x)=f(x)[g(b)—g(a)]—g(x)[f(b)-f(a)].
注2g(x)二x时,Cauchy定理推出Lagrange定理.
注3不管ab还是a:
b,Cauchy定理都可写成
f(b)-f(a)f(ar(b-a))f(aF)
g(b)—g(a)g(a+T(b—a))g"
(a+8h)
其中h=b—a,0£
日<
1.
五、中值定理的一些推论及中值定理的应用初步
(1)Rolle定理的推论
若f在[x,,x2]上连续,在(石,x,)内可导,f(xj=f(x2)=0,则存在:
;
:
二(x1,x2),使得
f(^0(简言之:
可导函数的两个之间必有导数的零点).
(2)Lagrang定理的推论
推论1若函数f在区间I上可导,且f(x)=0,I,则f为I上的一个常量函数.
证明Lagrange定理给出,-x•[a,b],f(x)-f(a)=f「)(x-a)=0(a:
b),由此得
f(x)三f(a)三C
几何意义:
斜率处处为0的曲线一定是平行于x轴的直线.
简单应用:
证明:
(1)在[-1,1]上恒有:
arcsinx•arccosx,
2
(2)在(」:
,二)上恒有:
arctanxarccotx=—
推广若f(x)在区间[a,b]上连续,且在(a,b)中除有限个点外有「(x)=0,则f在I上是常数函数.
推论2若函数f和g均在I上可导,且f(x)=g(x),I,则在区间I上f(x)与g(x)只差一个常数,即存在常数C,使得f(x^g(x)■C.
证明对f(x)-g(x)应用推论1即得.
推论3(导数极限定理)设函数f在点x0的某邻域U(x))内连续,在U(x))内可导,且
数学科学学院
limf(x)存在,则f在点x可导,且f(xo)limf(x).
x「Xox/o
应用一:
关于方程根的讨论(存在性)一一主要应用Rolle定理
例1设f为R上的可导函数,证明:
若方程f(x)=0没有实根,则方程f(x)=0至多只有一个实根•
例2设f[a,b],在[a,b]连续可微,在(a,b)二阶可微,且f(a^f(b^f(a^0,证明:
f(x)=0在(a,b)中至少有一个根.
例3已知c0■I■-Cn0,证明:
p(x)=c0C|xQX2•IH•CnXn=0至少有一正实根.
2n+1
例4设f(x)=x4-2x2•x,证明f(x)于(0,1)中至少有一根.
应用二:
证明中值点的存在性:
例1设函数f在区间[a,b]上连续,在(a,b)内可导,贝U一(a,b),使得
f(b)-f(a)=tlnb”f徨).
a
证在Cauchy中值定理中取g(x)=lnx.
例2设函数f在区间[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且有f(a)=f(b)=0.
试证明:
'
(a,b),-f「)-f「)=0.
例3设f在[a,b](a>
0)上连续;
在(a,b)内可导,则存在:
(a,b),使得
f(b)-f(a)=f()lnb.
例4设x(,X2・0,证明:
_】w(X1,X2)满足x1ex^x2e>
^=(V)e(x^-x2).
用中值定理证明公式
例1证明:
对一切h>
-1,h工0有公式—:
ln(1・h):
h
1+h
例2证明:
当a>
b>
0时,口:
lna:
口.
abb
例3证明:
|sinx「siny|-|x「y|,-x,y•R.
例4设f在[0,a]一阶连续可微,在(0,a)二阶可微,且存在正数M使|f(x)匸M,又设f在(0,a)存在稳定点c,证明:
|f(0)|•|f(a)匸Ma.
例5设函数f和g可导且f(x)^0,又f,g=0.贝Ug(x)=cf(x).
fg
证明(g)=0.
例6设对-x,h・R,有|f(x•h)_f(x)匕Mh2,其中M是正常数,则函数f(x)是常值函
数.(证明f>
0).
例7证明:
若f(x)和g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且gYx)=0,则
3^(a,b),使得
f()f()-f(a)
厂g(b)-g(©
.⑴
分析先把上面
(1)式改写为:
f()g()f()g(^f()g(b)-f(a)g()=0.
(2)
若令h(x)二f(x)g(x)_f(x)g(b)—f(a)g(x),则⑵式即为h()=0.这样,问题就化为检验h(x)在[a,b]上是否满足Rolle定理的条件.
证明由题设条件,上述h(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且有
h(a)=-f(a)g(b)=h(b).
故(a,b),使得h()=0,即⑵式成立.
又因g(x),故由导函数的性质(具有介值性),g(X)在(a,b)内不变号,由此推知g(x)在(a,b)内严格单调;
再由g(x)在[a,b]上连续,所以g(x)又在[a,b]上严格单调.这就保证了g(b)-g()丸.这样,便可由
(2)式逆推至
(1)式成立.
作业教材P124—1254—9;
P132—1331—4.
6.2柯西中值定理和不定式极限
教学章节:
第六章微分中值定理及其应用一6.2RolleLagrangeCauchy定理的进一步应用教学目标:
掌握讨论函数单调性方法;
掌握L'
Hospital法则,或正确运用后求某些不定式的极限.
熟练掌握L'
Hospital法则,并能正确运用后迅速正确地求某些不定式的极限,深刻理解函数在一区间上单调以及严格单调的意义和条件;
熟练掌握运用导数判断函数
单调性与单调区间的方法;
能利用函数的单调性证明某些不等式.
利用函数的单调性丄’Hospital法则
L'
Hospital法则的使用技巧;
用辅助函数解决问题的方法;
问题教学法,结合练习.
一、柯西中值定理
若函数f,g满足如下条件:
(1)f,g・[a,b];
(2)f,g在(a,b)内可导;
(3)f,g•至少有一个不为0;
(4)g(a)=g(b)。
则存在(a‘b),使得列=誥晋二、不定式极限
(一)什么是不定式极限
在第3章函数的极限的学习中我们知道:
0
(1)+0
(1)=0
(1),但妙不一定是无穷小量,甚至
0
(1)
极限不存在,例如:
(1)当X>
0,sinx=0
(1),x=0
(1),lim沁=1=0,即沁=0
(1);
TXX
的不等式极限•
0qQ
除了0型不等式极限外,还有许多类型的不等式极限,如:
(i)—型;
(ii)—型;
(込)0O0
0•:
型;
(iv)00型;
(V)1:
(Vi)0=二°
型等,其中最基本的是0型和二型,其它类型都
0°
可化成这两种基本类型来解决
当lim他是0型时,困难在于极限商的运算失效!
例:
limUO^.在此之前,我们是借
x为g(x)0x>
0x
洛阳师范学院
数学科学学院《数学分析》教案
f(x)g(x)
f(x)-f(a)f[av(x-a)]
-g(x)-g(a)一g[a+T(x—a)],0乙d,
limf【a'
(x—a)]二k
limf(x)二k
由3),x)aF【a,(x-a)],所以x2g(x)
limf^x)=klim二k
同理xia0g(x),综合起来有x戶g(x)
注把x>
a改为x>
a0或x》a_0结论也成立.
定理2设
1)f(x),g(x)在(a「J连续,且!
叫f(x)Jim:
g(x)=0
2)f(x),g(x)在(a,+=c)可导,且g(x)式0,
lim血十
3)x—g(x)(k为有限或一:
,:
),
lim少
x—g(x)
证明先算极限,然后再验证条件.
lim
x_):
他=lim
g(x)t0
f
(1)g(J)
[f(i)]lim—t0[g申
f
(1)(-£
)g(:
)(-£
)
其中只有第二个等式需要说明它满足定理的条件•不妨设a0,f(T),g(l)在(°
,弓上连续,且
11
Pmmxpm*"
0,且f(l),g(l)在(。
,1)可导,且
[g
(1)r=g
(1)(-1)工0有
lim冲十
t:
0[g
(1)]
注把X>
=换成X、-二和八:
也有相应的结论•
若函数f和g满足:
(1)limf(x)limg(x)=0;
(2)在点x0的某空心邻域内两者都可导
^■3x0x—
lim戲◎xtsinx「x
limshx-x=讪chx"
=讪
x0sinx-xxWcosx-1x少一sinx
x卩一cosx
limx
x01_e2
lim;
=lim
x旷[_e2xt0_e2t
(X=t2).
!
imxLarctgxr?
1
一1X2
-arctgx
lim=1
X)二1
_x2
m
3、一型不定式极限的L'
Hospital法则
□0
定理3设
1)f(x),g(x)在Uo(朮)上连续,且哩f(x)匕型灾)"
2)f(x),g(x)在Uo(ap)可导,且g(x)H0,
3)…g()(有限或一:
lim他
则X旧g(x)
证明只对kw和xta-0情况证明.
眈>0由3),萊1A°
当时,有
f()
g()
f(x)-f(xjg(x)-g(xj
g;
-k
这里为=a
"
f雀)
f(x)_f(xi)_k[g(x)—g(xi)]=岛;
-k[g(x)—g(xj]
—f牡)
f(x)—kg(x)—[f(xi)—kg(xi)]=^「
-k[g(x)-g(xj]
f(x)k=f()k1_g(xi)f(xi)-kg(xi)
g(x)■g()_g(x)g(x)
又由于g(x)=:
有処畔晋=0,丿叽绘=0,所以.2,使得当a——a
时,有
f(Xi)-kg(xj
g(x)
|g(xj
|g(x)
令&
=min(E,6),当a_6vxca时,有
k[g(xj+f(xj—kg(xj
232
lim他=k
即—Px).
定理4设
1)f(x),g(x)在(比菖)上连续,且吗g(x)二
2)f(x),g(x)在(a「:
)上可导,且g(x)=o,
lim匸凶斗
3
f(x)g(x)
)x厂-g(x)(有限或-:
,:
limf(X)lim
x-'
「g(x)x>
证明可类似于由定理1证明定理2的过程给出证明,这里省略.
l4
X):
X二
limlnxlim.lim—=0
Xj二Xxt'
;
7,x-x》二议-
ex
无穷大量是“梁山泊排座次”
例6证明函数
在上无穷次可微.
证明当x=0时,f(X)
当X=0时,
数,x=0时
Rim%⑴=0(x」)
t匸et2(Xt)
从f(n)(x)表达式,易知f(n)(x)•所以f(x).
类似定义函数
x0
x_0
可证:
这是一个很有用的函数,稍加改造我们可以构造如下函数:
(x)
©
(4-x2)(4-x2)(x2
-1)
则叫x)EC=-«
+=c),且H(x)=1
0<
H(x)cl,1vx<
2;
n(x)=0
x
x-2.这个函数非常有用
使用
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- 微分 中值 定理 及其 应用