余弦定理练习含答案Word文档格式.docx
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(1)a=1,b=1,ZC=120°
求c;
(2)a=3,b=4,c=37,求最大角;
(3)a:
b:
c=1:
-3:
2,求/A、/B/C
【分析】
(1)直接利用余弦定理即可;
(2)在三角形中,大边对大角;
(3)可设三边为X,3x,2x.
【解析】
(1)由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC
=12+12-2X1X1X(—2)=3,二3.
⑵显然/C最大,
(3)由于a:
b:
c=1:
3:
2,可设a=x,b=3x,c=2x(x>
0).
由余弦定理,得
“b+c—a3x+4x—x\[3cosA=一
bc2-3x-2x2'
同理cosB=2,cosC=0.•/B=60°
/C=90°
【规律方法】
1.本题为余弦定理的最基本应用,应在此基础上熟练地掌握余弦定理的结构特征.
2.对于第⑶小题,根据已知条件,设出三边长,由余弦定理求
出/A,进而求出其余两角,另外也可考虑用正弦定理求/B,但要注
意讨论解的情况.
课后作业
一、选择题(每小题5分,共40分)
ABC中,下列结论:
132刊2+。
2,则4ABC为钝角三角形;
2a2=b2+c2+be,则/A为60°
;
3
a2+b2>
c2,则厶ABC为锐角三角形;
•••/A为钝角,正确;
•••/A=120°
错误;
•••/C为锐角,但/A或/B不一定为锐角,错误;
④/A=30°
/B=60°
/C=90°
a:
〔3:
2,错误.故选A.
2.AABC勺三内角ABC所对边长分别为a、b、c,设向量p
=(a+c,b),q=(b—a,c-a).若p//q,则/C的大小为()
冗
【答案】
B
tp=(a+c,b),q=(b—a,c—a)且p/q,
••(a+c)(c—a)—b(b—a)=0
B.3
由余弦定理得,
a2=b2+c2—2bccosA,
n
cxCOS{,
即c2—c—6=0,解得c=3或c=—2(舍).故选B.
4.在不等边三角形ABC中,a为最大边,且a2<
b2+c2,则ZA的
取值范围是()
A.(2,兀)
nn
B(4,2)
C(3,2)
D(0,2)
【答案】C
【解析】因为a为最大边,
所以ZA为最大角
即/A>
ZB,/
A>
ZC,故2/A>
ZB+ZC又因为/B+ZC=n-ZA,所以2/A>
b2|
—ZA,即ZA>
~3-因为a2<
b2+c2,所以cosA=
22
c—a
2bC^>
°
所以0<
nnn
Z综上,y<
ZA<
2-
6.
在厶ABC中,已知a=4,b=6,ZC=120°
则sinA的值为()
由余弦定理得c2=a2+b2—2ab•cosC=42+62—
•-c=76.由正弦定理得s^=si^C即s^=sin120°
、
4sin120蠱二SinA=.76=石.
6.^ABC中,a、b、c分别为ZA、ZBZC的对边,且2b=a
+c,ZB=30°
^ABC勺面积为2,那么b等于()
B.1+3
D.2+「3
【解析】v2b=a+c,又由于/B=30°
由余弦定理:
b2=a2+c2—2accosB
=(a+c)2—2ac—2ac•cos30°
=4b2—12—63,
即b2=4+2.3,由b>
0解得b=1+,3.
7.在△ABC中,若acosA+bcosB=ccosC,则这个三角形一定是
()
A.锐角三角形或钝角三角形
B.以a或b为斜边的直角三角形
C.以c为斜边的直角三角形
D.等边三角形
【解析】由余弦定理
acosA+bcosB=ccosC可变为
■22222■2
b+c—aa+c—b齐飞^+『2a厂=c・
22^2222222222、
a(b+c—a)+b(a+c—b)=c(a+b—c)
222242222422224
ab+ac—a+ba+bc—b=ca+cb—c
22444
2ab—a—b+c=0,
(c2—a2+b2)(c2+a2—b2)=0,
「•c2+b2=a2或a2+c2=6,
•••以a或b为斜边的直角三角形.
8若厶ABC勺周长等于20,面积是103,ZA=60°
,则BC边的长是()
A.5B.6
C.7D.8
1
【解析】依题意及面积公式S=qbcsinA,
得103=qbcxsin60°
,即卩bc=40.
又周长为20,故a+b+c=20,b+c=20—a.
由余弦定理,得a2=b2+c2—2bccosA=b2+c2—2bccos60°
=b2
+c—bc=(b+c)—3bc,
故a=(20—a)—120,解得a=7.
二、填空题(每小题10分,共20分)
9.在△ABC中,三边长AB=7,BC=5,AC=6,则Afe-BC勺值为
【答案】—19
19
【解析】由余弦定理可求得cosB=35,二AB-BC=|AB-|BC
|-cos(n—B)=—|AB-|BC-cosB=—19.
10.已知等腰三角形的底边长为a,腰长为2a,则腰上的中线长
为.
【解析】如图,AB=AO2a,BOa,BD为腰AC的中线,过A
EC1
作AELBC于巳在厶AEC中,cosC=荷”,在厶BC冲,由余弦定理
13
得bD=bC+CD一2BC・CD・cosC,即BD=a+a一2xaxax二=二a,
42
三、解答题(每小题20分,共40分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
11.在厶ABC中,已知b2sin2C+c2sin2B=2bccosB•cosC,试判断三角形的形状.
【分析】解决本题,可分别利用正弦定理或余弦定理,把问题
转化成角或边的关系求解.
ABC外接圆的半径,将原式化为
8R2sin2Bsin2C=8R2sinEfeinCcosBbosC
tsinBsinCm0,sinBsinC=cosBcosC,
即cos(B+C)=0,—ZB+ZC=90°
/A=90°
故厶ABC为直角三角形.
方法二:
将已知等式变为b2(1—cos2C)+c2(1—cos2B>
=2bccosBcosC
由余弦定理可得:
b2+c2-b2•(
222222
a+b—c22a+c—b
2ab)—c(2ac)
2.2222.2
a+b—ca+c—b
2c2ab2ac
222|2|222即b2+c2=+c-b]
也即b2+c2=(故厶ABC为直角三角形.
【规律方法】在利用正弦定理实施边角转化时,等式两边a,b,c及角的正弦值的次数必须相同,否则不能相互转化.
12.(2013•全国新课标I,理)如图,在厶ABC中,/ABC=90°
AB=:
3,BC=1,PABC内一点,/BPC=90°
(1)若PB=2,求PA
⑵若/APB=150°
求tan/PBA
【解析】
(1)由已知得,/PB&
60°
aZPBA=30°
7
=4,
11
在^PBA中,由余弦定理得PA=3+4-2八3%2cos30•••PA=*.
⑵设/PBA=a,由已知得,PB=sina,
*△PBA中,由正弦定理得s^0°
=sin30°
—a,化简得,
3cosa=4sina,
•••tana=申,•••tan/PBA=申.
44
3.△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,Z人=专,a=,7
b=1,则c等于()
A.22
D.23
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