高三自主招生数学模拟试题1.doc
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2013年全国高校自主招生数学模拟试卷一
命题人:
武汉六中曾建国
一、选择题(本题满分36分,每小题6分)
1.如图,在正四棱锥P−ABCD中,∠APC=60°,则二面角A−PB−C的平面角
的余弦值为()A. B. C. D.
2.设实数a使得不等式|2x−a|+|3x−2a|≥a2对任意实数x恒成立,则满足条件的a所组成的集合是()
A. B. C. D.[−3,3]
3.将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中,这些小球仅号码不同,其余完全相同。
甲从袋中
摸出一个球,其号码为a,放回后,乙从此袋中再摸出一个球,其号码为b。
则使不等式a−2b+10>0成
立的事件发生的概率等于()A. B. C. D.
4.设函数f(x)=3sinx+2cosx+1。
若实数a、b、c使得af(x)+bf(x−c)=1对任意实数x恒成立,
则的值等于()A. B. C.−1 D.1
5.设圆O1和圆O2是两个定圆,动圆P与这两个定圆都相切,则圆P的圆心轨迹不可能是()
6.已知A与B是集合{1,2,3,…,100}的两个子集,满足:
A与B的元素个数相同,且为A∩B空集。
若n∈A时总有2n+2∈B,则集合A∪B的元素个数最多为()A.62 B.66 C.68 D.74
二、填空题(本题满分54分,每小题9分)
7.在平面直角坐标系内,有四个定点A(−3,0),B(1,−1),C(0,3),D(−1,3)及一个动点P,
则|PA|+|PB|+|PC|+|PD|的最小值为__________。
8.在△ABC和△AEF中,B是EF的中点,AB=EF=1,BC=6,
,若,则与的夹角的余弦值等于________。
9.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1,以顶点A为球心,为半径作一个球,
则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于__________。
10.已知等差数列{an}的公差d不为0,等比数列{bn}的公比q是小于1的正有理数。
若a1=d,b1=d2,
且是正整数,则q等于________。
11.已知函数,则f(x)的最小值为________。
12.将2个a和2个b共4个字母填在如图所示的16个小方格内,每个小方格内至多填1
个字母,若使相同字母既不同行也不同列,则不同的填法共有____种(用数字作答)。
三、解答题(本题满分60分,每小题20分)
13.设,求证:
当正整数n≥2时,an+1 14.已知过点(0,1)的直线l与曲线C: 交于两个不同点M和N。 求曲线C在点M、N处切线的交点轨迹。 15.设函数f(x)对所有的实数x都满足f(x+2π)=f(x),求证: 存在4个函数fi(x)(i=1,2,3,4)满足: (1)对i=1,2,3,4,fi(x)是偶函数,且对任意的实数x,有fi(x+π)=fi(x); (2)对任意的实数x,有f(x)=f1(x)+f2(x)cosx+f3(x)sinx+f4(x)sin2x。 2013年全国高校自主招生数学模拟试卷一 参考答案 一、选择题(本题满分36分,每小题6分) 1.如图,在正四棱锥P−ABCD中,∠APC=60°,则二面角A−PB−C的平面角的 余弦值为(B)A. B. C. D. 解: 如图,在侧面PAB内,作AM⊥PB,垂足为M。 连结CM、AC,则∠AMC为二面角A−PB−C的平面角。 不妨设AB=2,则,斜高为,故,由此得。 在△AMC中,由余弦定理得。 2.设实数a使得不等式|2x−a|+|3x−2a|≥a2对任意实数x恒成立,则满足条件的a所组成的集合是(A) A. B. C. D.[−3,3] 解: 令,则有,排除B、D。 由对称性排除C,从而只有A正确。 一般地,对k∈R,令,则原不等式为,由此易知原不等式等价于,对任意的k∈R成立。 由于, 所以,从而上述不等式等价于。 3.将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中,这些小球仅号码不同,其余完全相同。 甲从袋中摸出一个球,其号码为a,放回后,乙从此袋中再摸出一个球,其号码为b。 则使不等式a−2b+10>0成立的事件发生的概率等于(D) A. B. C. D. 解: 甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果,故基本事件总数为92=81个。
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