中考数学专题复习《几何证明》压轴题含答案解析.doc
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几何证明压轴题(中考)
1、如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=90°,且AB=1,BC=2,tan∠ADC=2.
(1)求证:
DC=BC;
(2)E是梯形内一点,F是梯形外一点,且∠EDC=∠FBC,DE=BF,试判断△ECF的形状,并证明你的结论;
(3)在
(2)的条件下,当BE:
CE=1:
2,∠BEC=135°时,求sin∠BFE的值.
[解析]
(1)过A作DC的垂线AM交DC于M,
则AM=BC=2.
又tan∠ADC=2,所以.即DC=BC.
(2)等腰三角形.
证明:
因为.
所以,△DEC≌△BFC
所以,.
所以,
即△ECF是等腰直角三角形.
(3)设,则,所以.
因为,又,所以.
所以
所以.
2、已知:
如图,在□ABCD中,E、F分别为边AB、CD的中点,BD是对角线,AG∥DB交CB的延长线于G.
(1)求证:
△ADE≌△CBF;
(2)若四边形BEDF是菱形,则四边形AGBD是什么特殊四边形?
并证明你的结论.
[解析]
(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠1=∠C,AD=CB,AB=CD.
∵点E、F分别是AB、CD的中点,
∴AE=AB,CF=CD.
∴AE=CF
∴△ADE≌△CBF.
(2)当四边形BEDF是菱形时,
四边形AGBD是矩形.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC.
∵AG∥BD,
∴四边形AGBD是平行四边形.
∵四边形BEDF是菱形,
∴DE=BE.
∵AE=BE,
∴AE=BE=DE.
∴∠1=∠2,∠3=∠4.
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°,
∴2∠2+2∠3=180°.
∴∠2+∠3=90°.
即∠ADB=90°.
∴四边形AGBD是矩形
3、如图13-1,一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起.现正方形ABCD保持不动,将三角尺GEF绕斜边EF的中点O(点O也是BD中点)按顺时针方向旋转.
(1)如图13-2,当EF与AB相交于点M,GF与BD相交于点N时,通过观察或测量BM,FN的长度,猜想BM,FN满足的数量关系,并证明你的猜想;
图13-1
A(G)
B(E)
C
O
D(F)
图13-2
E
A
B
D
G
F
O
M
N
C
(2)若三角尺GEF旋转到如图13-3所示的位置时,线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M,线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N,此时,
(1)中的猜想还成立吗?
若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
图13-3
A
B
D
G
E
F
O
M
N
C
[解析]
(1)BM=FN.
证明:
∵△GEF是等腰直角三角形,四边形ABCD是正方形,
∴∠ABD=∠F=45°,OB=OF.
又∵∠BOM=∠FON, ∴△OBM≌△OFN.
∴BM=FN.
(2)BM=FN仍然成立.
(3)证明:
∵△GEF是等腰直角三角形,四边形ABCD是正方形,
∴∠DBA=∠GFE=45°,OB=OF.
∴∠MBO=∠NFO=135°.
又∵∠MOB=∠NOF,∴△OBM≌△OFN.
∴BM=FN.
4、如图,已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于E,连结AD、BD、OC、OD,且OD=5。
(1)若,求CD的长;
(2)若∠ADO:
∠EDO=4:
1,求扇形OAC(阴影部分)的面积(结果保留)。
[解析]
(1)因为AB是⊙O的直径,OD=5
所以∠ADB=90°,AB=10
在Rt△ABD中,
又,所以,所以
因为∠ADB=90°,AB⊥CD
所以
所以
所以
所以
(2)因为AB是⊙O的直径,AB⊥CD
所以
所以∠BAD=∠CDB,∠AOC=∠AOD
因为AO=DO,所以∠BAD=∠ADO
所以∠CDB=∠ADO
设∠ADO=4x,则∠CDB=4x
由∠ADO:
∠EDO=4:
1,则∠EDO=x
因为∠ADO+∠EDO+∠EDB=90°
所以
所以x=10°
所以∠AOD=180°-(∠OAD+∠ADO)=100°
所以∠AOC=∠AOD=100°
5、如图,已知:
C是以AB为直径的半圆O上一点,CH⊥AB于点H,直线AC与过B点的切线相交于点D,E为CH中点,连接AE并延长交BD于点F,直线CF交直线AB于点G.
(1)求证:
点F是BD中点;
(2)求证:
CG是⊙O的切线;
(3)若FB=FE=2,求⊙O的半径.
[解析]
(1)证明:
∵CH⊥AB,DB⊥AB,∴△AEH∽AFB,△ACE∽△ADF
∴,∵HE=EC,∴BF=FD
(2)方法一:
连接CB、OC,
∵AB是直径,∴∠ACB=90°∵F是BD中点,
∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO
∴∠OCF=90°,∴CG是⊙O的切线---------6′
方法二:
可证明△OCF≌△OBF(参照方法一标准得分)
(3)解:
由FC=FB=FE得:
∠FCE=∠FEC
可证得:
FA=FG,且AB=BG
由切割线定理得:
(2+FG)2=BG×AG=2BG2
在Rt△BGF中,由勾股定理得:
BG2=FG2-BF2
由、得:
FG2-4FG-12=0
解之得:
FG1=6,FG2=-2(舍去)
∴AB=BG=
∴⊙O半径为2
6、如图,已知O为原点,点A的坐标为(4,3),
⊙A的半径为2.过A作直线平行于轴,点P在直线上运动.
(1)当点P在⊙O上时,请你直接写出它的坐标;
(2)设点P的横坐标为12,试判断直线OP与⊙A的位置关系,并说明理由.
[解析]
解:
⑴点P的坐标是(2,3)或(6,3)
⑵作AC⊥OP,C为垂足.
∵∠ACP=∠OBP=,∠1=∠1
∴△ACP∽△OBP
∴
在中,,又AP=12-4=8,∴
∴AC=≈1.94
∵1.94<2
∴OP与⊙A相交.
7、如图,延长⊙O的半径OA到B,使OA=AB,
DE是圆的一条切线,E是切点,过点B作DE的垂线,
C
A
B
D
O
E
垂足为点C.
求证:
∠ACB=∠OAC.
[解析]
证明:
连结OE、AE,并过点A作AF⊥DE于点F,(3分)
∵DE是圆的一条切线,E是切点,
∴OE⊥DC,
又∵BC⊥DE,
∴OE∥AF∥BC.
∴∠1=∠ACB,∠2=∠3.
∵OA=OE,
∴∠4=∠3.
∴∠4=∠2.
又∵点A是OB的中点,
∴点F是EC的中点.
∴AE=AC.
∴∠1=∠2.
∴∠4=∠2=∠1.
即∠ACB=∠OAC.
8、如图1,一架长4米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上,梯子与地面的倾斜角α为.
⑴求AO与BO的长;
⑵若梯子顶端A沿NO下滑,同时底端B沿OM向右滑行.
①如图2,设A点下滑到C点,B点向右滑行到D点,并且AC:
BD=2:
3,试计算梯子顶端A沿NO下滑多少米;
②如图3,当A点下滑到A’点,B点向右滑行到B’点时,梯子AB的中点P也随之运动到P’点.若∠POP’=,试求AA’的长.
[解析]
⑴中,∠O=,∠α=
∴,∠OAB=,又AB=4米,
∴米.
米.--------------(3分)
⑵设在中,
根据勾股定理:
∴-------------(5分)
∴
∵ ∴
∴-------------(7分)
AC=2x=
即梯子顶端A沿NO下滑了米.----(8分)
⑶∵点P和点分别是的斜边AB与的斜边的中点
∴,-------------(9分)
∴-------(10分)
∴
∴
∵
∴-----------------------(11分)
∴-----(12分)
∴米.--------(13分)
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