几何证明题中考综合练习.docx

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B

A

C

D

图8

1.如图8，△ABC中，BA=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线交AC于D，求证：

M

N

P

Q

O

A

B

图10

2.如图10，MN切⊙O于P，AB是⊙O的弦，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N，PQ⊥AB于Q.

求证：

AM·BN.

3.如图11，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=4，对角线AC=5，BD=3，试求此梯形的面积.

A

B

C

D

图11

4.（本题6分）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠OCF=∠OBE。

求证：

OE=OF。

5..（本题9分）如图1，AB是圆O直径，直线l交圆O于C1、C2，AD⊥l，垂足为D。

（1）求证：

（2）若将直线l向上平移（如图2），交圆O于C1、C2，使弦C1C2与直线AB相交（交点不与A、B重合），其它条件不变，请你猜想，AC1、AC2、AB、AD之间的关系，并说明理由。

（3）若将直线l平移到与圆O相切时，切点为C，其他条件不变，请你在图3上画出变化后的图形，标好相应字母并猜想AC、AB、AD的关系是什么？

（只写出关系，不加以说明）

6.（本小题满分8分）如图12，在中，，的垂直平分线交于，交于，且．

（1）求证：

四边形是菱形．

Ｂ

Ｆ

Ｃ

Ａ

Ｅ

Ｄ

图12

（2）当的大小满足什么条件时，菱形是正方形？

请回答并证明你的结论．

7．如图14（），两个不全等的等腰直角三角形和叠放在一起，并且有公共的直角顶点．

（1）将图14（）中的绕点顺时针旋转角，在图14（）中作出旋转后的（保留作图痕迹，不写作法，不证明）．

（2）在图14（）中，你发现线段，的数量关系是 ，直线，相交成 度角．

Ｃ

Ｄ

Ｂ

Ａ

Ｏ

Ｃ

Ｏ

Ｄ

Ｄ

Ｃ

Ｏ

Ｂ

Ａ

图14（）

图14（）

图14（）

（3）将图14（）中的绕点顺时针旋转一个锐角，得到图14（），这时

（2）中的两个结论是否成立？

作出判断并说明理由．若绕点继续旋转更大的角时，结论仍然成立吗？

作出判断，不必说明理由．

8.

图14

如图14，在中，，是的中点，以为直径的交的边于点．

求证：

（1）是的中点；

（2）．

9．我们给出如下定义：

若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．

（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称，；

图16

（1）

（2）如图16

（1），已知格点（小正方形的顶点），，，请你画出以格点为顶点，为勾股边且对角线相等的勾股四边形；

（3）如图16

（2），将绕顶点按顺时针方向旋转，得到，连结，．

图16

（2）

求证：

，即四边形是勾股四边形．

10．（本小题满分8分）

E

C

B

A

D

O

第22题图

如图，把矩形沿直线折叠，点落在点处，与交于点，连接．

（1）四边形是什么图形？

说明理由．

（2）若，，求的长．

11．（本小题满分7分）

如图，扇形是圆锥的侧面展开图，圆锥的母线，底面圆半径．

O

C

B

H

A

第23题图

（1）当时，求的度数．

（2）当，时，分别求的度数（直接写出结果）

（3）当（为大于1的整数）时，猜想的度数（直接写出结果）．

12．（本小题满分9分）

已知，如图，在中，，点是的中点，经过，，三点，与交于另一点．

（1）请你仔细观察图形，连接图中已标明字母的某两点，得到一条新线段，证明它与线段相等．

D

C

O

E

B

第12题图

A

（2）在图中，过点作的切线，交于点．

①求证：

；

②若，求的值．

A

E

D

O

B

C

第13题图

13．（本小题满分8分）

如图，已知是的直径，过的中点，

且于点．

（1）求证：

是的切线；

（2）若，，求的半径．

14．（本小题满分8分）

如图，在梯形中，为的中点，交于点．

第14题图

（1）求证：

；

（2）当，且平分时，求的长．

15．（本小题满分9分）

如图，为的直径，劣弧，连接并延长交于．

求证：

（1）是的切线；

第15题图

（2）．

16.（本小题8分）

在图1和图2中，已知OA=OB，AB=24，⊙O的直径为10．

（1）如图l，若AB与⊙O相切于点C，试求OA的值；

（2）如图2，若AB与⊙O相交于D、E两点，且D、E均为AB的三等分点，试求tanA的值．

17..（本小题9分）

如图，已知线段AB与直线CD交于点B．

（1）若点P是CD上离点A最近的点，请你用尺规作出点P和以AP为直径的⊙O（允许用三角尺作垂线；不写作法，保留作图痕迹）；

（2）若⊙O交AB于点E，F是PB的中点，试利用你作出的图证明EF与⊙O相切．

18．（本题7分）如图，在中，，是上的一点，且，点是的中点，连结．

（1）求证：

A

C

D

E

B

（2）求证：

（3）若，，那么的周长是多少？

19．（本题10分）已知：

如图等边内接于，点是劣弧上的一点（端点除外），延长至，使，连结．

（1）若过圆心，如图①，请你判断是什么三角形？

并说明理由．

A

O

C

D

P

B

图①

A

O

C

D

P

B

图②

（2）若不过圆心，如图②，又是什么三角形？

为什么？

20．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，AC为弦，且平分∠BAD，AD⊥CD，垂足为D．

（1）求证：

CD是⊙O切线；

（2）若⊙O的直径为4，AD=3，求∠BAC的度数．

21．（本题满分10分）

如图中，，，如果将在坐标平面内，绕原点按顺时针方向旋转到的位置．

y

x

A

B

O

（1）求点的坐标．

（2）求顶点从开始到点结束经过的路径长．

23．（本题满分13分）

三角形中位线定理，是我们非常熟悉的定理．

①请你在下面的横线上，完整地叙述出这个定理：

．

②根据这个定理画出图形，写出已知和求证，并对该定理给出证明．

24．（本题满分10分）

A

B

C

D

如图，用两张等宽的纸带交叉重叠地放在一起，重合的四边形是菱形吗？

如果是菱形请给出证明，如果不是菱形请说明理由．

25．（本题满分14分）

如图

（1），两半径为的等圆和相交于两点，且过点．过点作直线垂直于，分别交和于两点，连结．

（1）猜想点与有什么位置关系，并给出证明；

（2）猜想的形状，并给出证明；

（3）如图

（2），若过的点所在的直线不垂直于，且点在点的两侧，那么

（2）中的结论是否成立，若成立请给出证明．

O2

O1

N

M

B

A

图

（1）

O2

O1

N

M

B

A

图

（2）

26．（本题7分）将图

（1）中的矩形沿对角线剪开，再把沿着方向平移，得到图

（2）中的．其中是与的交点，是与的交点．在图

（2）中除与全等外，还有几对全等三角形（不得添加辅助线和字母）？

请一一指出，并选择其中一对证明．

A

B

C

D

A

C

D

E

F

图

（1）

图

（2）

27．（本题8分）如图，已知为坐标原点，点的坐标为，的半径为1，过作直线平行于轴，点在上运动．

（1）当点运动到圆上时，求线段的长．

（2）当点的坐标为时，试判断直线与的位置关系，并说明理由．

A

l

y

x

O

28．（10分）（2008•包头）如图，△ABC中，AD平分∠BAC交△ABC的外接圆⊙O于点H，过点H作EF∥BC交AC、AB的延长线于点E、F．

（1）求证：

EF是⊙O的切线；

（2）若AH=8，DH=2，求CH的长；

（3）若∠CAB=60°，在

（2）的条件下，求的长．

29、（10分）一副斜边相等的直角三角形（∠DAC=45°，∠BAC=30°），按如图所示的方式在平面内拼成一个四边形。

（1）A、B、C、D四点在同一个圆上吗？

如果在，请写出证明过程；如果不在，请说明理由。

A

B

D

l

C

（2）过点D作直线ι∥AC，求证：

ι是这个圆的切线

30、（10分）公园里有一块形如四边形ABCD的草地，测得BC=CD=10米，∠B=∠C=120°，∠A=45°。

Al

BAl

DAl

Cl

请你求出这块草地的面积

31、（10分）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，BF是∠ABC的平分线，AF∥DC，连接AC、CF，求证：

CA是∠DCF的平分线。

B

A

C

F

D

32．（7分）如图所示，正方形的边在正方形的边上，连接．

（1）求证：

．

（2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？

若存在，说出旋转过程；若不存在，请说明理由．

E

F

G

D

A

B

C

33．（8分）如图，在直角梯形中，

A

D

B

O

C

Q

P

，，为的直径，动点从点开始沿边向点以1cm/s的速度运动，动点从点开始沿边向点以2cm/s的速度运动．分别从点同时出发，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为．

（1）当为何值时，四边形为平行四边形？

（2）当为何值时，与相切？

34．（本小题满分10分）

O

N

B

P

C

A

M

如图，已知是的直径，点在上，过点的直线与的延长线交于点，，．

（1）求证：

是的切线；

（2）求证：

；BC=AB

（3）点是的中点，交于点，若，求的值．

35．（本小题满分12分）

如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点．

（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？

A

Q

C

D

B

P

（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？

36．（2010•赤峰）在▱ABCD中，AC是一条对角线，∠B=∠CAD，延长BC至点E，使CE=BC，连接DE．

（1）求证：

四边形ABED是等腰梯形；

（2）若AB=AD=4，求梯形ABED的面积．

37．（2010•赤峰）如图，AB是⊙O的直径，BC是一条弦，连接OC并延长至点P，使PC=BC，∠BOC=60°．

（1）求证：

PB是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为1，且AB、PB的长是方程x2+bx+c=0的两根，求b、c的值．

38．（2010•赤峰）两块完全相同的三角板Ⅰ（△ABC）和Ⅱ（△A1B1C1）如图①放置在同一平面上（∠C=∠C1=90°，∠ABC=∠A1B1C1=60°），斜边重合．若三角板Ⅱ不动，三角板Ⅰ在三角板Ⅱ所在的平面上向右滑动，图②是滑动过程中的一个位置．

（1）在图②中，连接BC1、B1C，求证：

△A1BC1≌△AB1C；

（2）三角板Ⅰ滑到什么位置（点B1落在AB边的什么位置）时，四边形BCB1C1是菱形？

说明理由．

39.（2011内蒙古赤峰，22，12分）如图，等圆⊙和⊙相交于A、B两点，⊙经过⊙的圆心，两圆的连心线交⊙于点M，交AB于点N，连结BM，已知AB=2

（1）求证：

BM是⊙的切线；

（2）求的长。

40.（2011内蒙古赤峰，25，14分）如图（图1、图2），四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在线段BC上，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CP于点F，FN⊥BC，交BC的延长线于点N。

（1）若点E是BC的中点（如图1），AE与EF相等吗？

为什么？

（2）点E在BC间运动时（如图2），设BE=x,△ECF的面积为y。

①求y与x的函数关系式；

②当x取何值时，y有最大值，并求出这个最大值。

41．（本小题满分7分）在□ ABCD中，对角线 AC、BD相交于点O，BD=2AB，点E、F分别是OA、BC的中点．连接BE、EF．

（1）求证：

EF=BF

（2）在上述条件下，若AC=BD，G是BD上一点，且BG∶GD=3∶1，连接EG、FG，试判断四边形EBFG的形状，并证明你的结论．

第22题图①

第22题图②

42．（本小题满分8分）

第42题图

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90o，△MDB的一边DB在AB上，边MD与AC交于点N，以BD为直径的⊙O与边AC恰相切于点N，与MB交于点E．

（1）求证：

∠AND=∠MBD

DN

⌒⌒

（2）若BC=6，AD=4，求的长．（结果保留π）

43、（6分）如图所示，再一次课外实践活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A、B两个凉亭之间的距离，现测得AC=30m，BC=70m，∠CAB=120°，请计算A、B两个凉亭之间的距离.

44、（7分）如图所示，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点且∠AEF=90°，EF交正方形外角平分线CF于点F，取边AB的中点G，连接EG.

（1）求证：

EG=CF；

（2）将△ECF绕点E逆时针旋转90°，请在图中直接画出旋转后的图形，并指出旋转后CF与EG的位置关系.

45、（8分）如图所示，AC为⊙O的直径且PA⊥AC，BC是⊙O的一条弦，直线PB交直线AC于点D，.

（1）求证：

直线PB是⊙O的切线；

（2）求cos∠BCA的值

46．（2012赤峰）如图所示，在△ABC中，∠ABC=∠ACB．

（1）尺规作图：

过顶点A作△ABC的角平分线AD；（不写作法，保留作图痕迹）

（2）在AD上任取一点E，连接BE、CE．求证：

△ABE≌△ACE．

47．（2012赤峰）如图，点O是线段AB上的一点，OA=OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F．

（1）求证：

四边形CDOF是矩形；

（2）当∠AOC多少度时，四边形CDOF是正方形？

并说明理由．

48．（2012赤峰）如图，AB是⊙O的弦，点D是半径OA上的动点（与点A．O不重合），过点D垂直于OA的直线交⊙O于点E、F，交AB于点C．

（1）点H在直线EF上，如果HC=HB，那么HB是⊙O的切线吗？

请说明理由；

（2）连接AE、AF，如果，并且CF=16，FE=50，求AF的长．

49．如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC边上任意一点，DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F．

（1）求证：

AF﹣BF=EF；

（2）将△ABF绕点A逆时针旋转，使得AB与AD重合，记此时点F的对应点为点F′，若正方形边长为3，求点F′与旋转前的图中点E之间的距离．

50．如图，已知AB为⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，线段OP与弦AC垂直并相交于点D，OP与弧AC相交于点E，连接BC．

（1）求证：

∠PAC=∠B，且PA•BC=AB•CD；

（2）若PA=10，sinP=，求PE的长．

51．（6分）（2013•呼和浩特）如图，CD=CA，∠1=∠2，EC=BC，求证：

DE=AB．

52．（9分）（2013•呼和浩特）如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC边上的点，BE=1，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分线CP于点P，交边CD于点F，

（1）的值为　　；

（2）求证：

AE=EP；

（3）在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？

若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．

53．（12分）（2013•赤峰）如图，已知MN是⊙O的直径，直线PQ与⊙O相切于P点，NP平分∠MNQ．

（1）求证：

NQ⊥PQ；

（2）若⊙O的半径R=3，NP=，求NQ的长．

54．（7分）（2014•呼和浩特）如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿AC折叠，点B落在点E处，AE与DC的交点为O，连接DE．

（1）求证：

△ADE≌△CED；

（2）求证：

DE∥AC．

55．（8分）（2014•呼和浩特）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CM．

（1）求证：

∠ACM=∠ABC；

（2）延长BC到D，使BC=CD，连接AD与CM交于点E，若⊙O的半径为3，ED=2，求△ACE的外接圆的半径．

56.（10分）如图（8），已知△ABC中AB=AC

（1）作图：

在AC上有一点D，延长BD，并在BD的延长线上取点E，使AE=AB，连AE，作∠EAC的平分线AF，AF交DE于点F（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在

（1）条件下，连接CF，求证：

∠E=∠ACF

57.24．如图，在中，以为直径的⊙交于点，弦∥交于点，且．

（1）求证：

是⊙的切线；

（2）求⊙的半径．

58．以为直径作半圆，=10，点是该半圆上一动点，连接、，延长至点，使=，过点作于点，交于点，在点运动过程中：

（1）如图1，当点与点重合时，连接，试判断的形状，并证明你的结论；

（2）如图2，当=8时，求线段的长；

（3）当点在线段上时，是否存在以点、、为顶点的三角形与相似？

若存在，请求出此时线段的长；若不存在，请说明理由.

59．（10分）（2015•赤峰）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB．

（1）求证：

PB是的切线．

（2）若PB=6，DB=8，求⊙O的半径．

60．（12分）（2015•赤峰）如图，四边形ABCD是边长为2，一个锐角等于60°的菱形纸片，小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点D重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边分别交CB、BA（或它们的延长线）于点E、F，∠EDF=60°，当CE=AF时，如图1小芳同学得出的结论是DE=DF．

（1）继续旋转三角形纸片，当CE≠AF时，如图2小芳的结论是否成立？

若成立，加以证明；若不成立，请说明理由；

（2）再次旋转三角形纸片，当点E、F分别在CB、BA的延长线上时，如图3请直接写出DE与DF的数量关系；

（3）连EF，若△DEF的面积为y，CE=x，求y与x的关系式，并指出当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？

61．（5分）（2015•通辽）如图，在平行四边形ABCD中，若AB=6，AD=10，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，求DF的长．

62．（7分）（2015•通辽）如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：

△ABC与△DEC全等．

63.（本题满分9分）

如图，在□ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，连接EC、AF，AF与EC交

第21题图

于点M，AF的延长线与DC的延长线交于点N.

（1）求证：

AB=CN

（2）若AB=，BE=2MF，试用含的式子表示线段AN的长.

64.（本题满分8分）

如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AB上，且∠B=2∠A，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，EF=FC.

（1）求证：

CF是⊙O的切线.

（2）设⊙O的半径为2，且AC=CE，求AM的长.

第22题图

66.

67．（10分）（2015•包头）如图，AB是⊙O的直径，点D是上一点，且∠BDE=∠CBE，BD与AE交于点F．

（1）求证：

BC是⊙O的切线；

（2）若BD平分∠ABE，求证：

DE2=DF•DB；

（3）在

（2）的条件下，延长ED，BA交于点P，若PA=AO，DE=2，求PD的长和⊙O的半径．

68．（12分）（2015•包头）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=1厘米，AB=3厘米，BC=5厘米，动点P从点B出发以1厘米/秒的速度沿BC方向运动，动点Q从点C出发以2厘米/秒的速度沿CD方向运动，P，Q两点同时出发，当点Q到达点D时停止运动，点P也随之停止，设运动时间为t秒（t＞0）．

（1）求线段CD的长；

（2）t为何值时，线段PQ将四边形A