高中数学排列组合教案.docx
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高中数学排列组合教案.docx
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高中数学排列组合教案
高中数学排列组合教案
高中数学排列组合教案
【篇一:
高中数学教案:
排列与组合】
排列与组合
一、知识网络
二、高考考点
1、两个计数原理的掌握与应用;
2、关于排列与组合的定义的理解;关于排列与组合数公式的掌握;关于组合数两个性质的掌握;
3、运用排列与组合的意义与公式解决简单的应用问题(多为排列与组合的混合问题)
三、知识要点
一.分类计数原理与分步计算原理
1分类计算原理(加法原理):
完成一件事,有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法,?
?
,在第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有n=m1+m2+?
+mn种不同的方法。
2分步计数原理(乘法原理):
3、认知:
上述两个原理都是研究完成一件事有多少种不同方法的计数依据,它们的区别在于,加法原理的要害是分类:
将完成一件事的方法分成若干类,并且各类办法以及各类办法中的各种方法相互独立,运用任何一类办法的任何一种方法均可独立完成这件事;乘法原理的要害是分步:
将完成一件事分为若干步骤进行,各个步骤不可缺少,只有当各个步骤依次完成后这件事才告完成(在这里,完成某一步的任何一种方法只能完成这一个步骤,而不能独立完成这件事)。
二.排列
1定义
(1)从n个不同元素中取出m(
素中取出m个元素的一排列。
(2)从n个不同元素中取出m(
m个元素的排列数,记为.)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元
2排列数的公式与性质
(1)排列数的公式:
规定:
0!
=1
(2)排列数的性质:
=n(n-1)(n-2)?
(n-m+1)=特例:
当m=n时,=n!
(Ⅰ)=(排列数上标、下标同时减1(或加1)后与原排列数的联系)(Ⅱ)(排列数上标加1或下标减1后与原排列数的联系)(Ⅲ)
三.组合(分解或合并的依据)
1定义
(1)从n个不同元素中取出
个元素的一个组合
(2)从n个不同元素中取出
个元素的组合数,用符号表示。
个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m2组合数的公式与性质
(1)组合数公式:
(乘积表示)
(阶乘表示)特例:
(2)组合数的主要性质:
(Ⅰ)(上标变换公式)
(Ⅱ)
四、经典例题(杨辉恒等式)
例1、某人计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60、70元的单片软件和盒装磁盘,要求软件至少买3片,磁盘至少买2盒,则不同的选购方式是()
a.5种b.6种c.7种d.8种
例2、已知集合m={-1,0,1},n={2,3,4,5},映射
为奇数,则这样的映射
,当x∈m时,的个数是()a.20b.18c.32d.24
例3、在中有4个编号为1,2,3,4的小三角形,要在每一个小三角形中涂上红、蓝、黄、白、黑五种颜色中的一种,使有相邻边的小三角形颜色不同,共有多少种不同的涂法?
例4、将字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里,每格填一个数,则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有()a.6种b.9种c.11种d.23种
例5、用数字0,1,2,3,4,5组成无重复数字4位数,其中,必含数字2和3,并且2和3不相邻的四位数有多少个?
例6、某人在打靶时射击8枪,命中4枪,若命中的4枪有且只有3枪是连续命中的,那么该人射击的8枪,按“命中”与“不命中”报告结果,不同的结果有()
期五有2人参加,星期六、星期日各有1人参加,则不同的选派方法共有。
5、有8本不同的书,从中取出6本,奖给5位数学优胜者,规定第一名(仅一人)得2本,
其它每人一本,则共有种不同的奖法。
6、有3位老师、4名学生排成一排照相,其中老师必须在一起的排法共有种。
7、有8本不同的书,其中数学书3本,外文书2本,其他书3本,若将这些书排成一列放在
书架上,则数学书恰好排在一起,外文书也恰好排在一起的排法共有____________种。
8、五种不同的收音机和四种不同的电视机陈列一排,任两台电视机不靠在一起,有种
陈列方法。
9、有6名同学站成一排:
甲、乙、丙不相邻有种不同的排法。
10、五个人排成一排,要求甲、乙不相邻,且甲、丙也不相邻的不同排法的种数是11、6名男生6名女生排成一排,要求男女相间的排法有种。
12、4名男生和3名女生排成一排,要求男女相间的排法有种。
13、有4男4女排成一排,要求女的互不相邻有种排法;要求男女相间有种
排法。
14、一排有8个座位,3人去坐,要求每人左右两边都有空位的坐法有种。
15、三个人坐在一排7个座位上,若3个人中间没有空位,有种坐法。
若4个
空位中恰有3个空位连在一起,有种坐法。
16、由1、2、3、4、5组成一个无重复数字的5位数,其中2、3必须排在一起,4、5不能排在
一起,则不同的5位数共有个。
17、有4名学生和3位老师排成一排照相,规定两端不排老师且老师顺序固定不变,那么不
同的排法有种。
18、从6名短跑运动员中选4人参加4100米的接力赛,如果其中甲不能跑第一棒,乙不能
跑第四棒,共有种参赛方案。
19、现有6名同学站成一排:
甲不站排头也不站排尾有种不同的排法甲不站排
头,且乙不站排尾有种不同的排法
20、有2位老师和6名学生排成一排,使两位老师之间有三名学生,这样的排法共有种。
21、以正方体的顶点为顶点的四面体共有个。
22、由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字,十位数
字小于百位数字,则这样的数共有个。
23、a,b,c,d,e五人站一排,b必须站a右边,则不同的排法有种。
24、晚会原定的5个节目已排成节目单,开演前又加了2个节目,若将这2个节目插入原节
目单中,则不同的插法有种。
25、书架上放有6本书,现在要再插入3本书,保持原有书的相对顺序不变,则不同的放法
有种。
【篇二:
排列组合教案】
1.分类加法原理——(或)——不重不漏
2.分步乘法原理——(且)——步骤完整
3.排列(arrangement):
例1.用0~9十个数字,可以组成多少个没有重复的数字的三位数?
有三种思路:
①
②分三类
③逆向思维
4.组合(combination):
由此
例2.要从十七人中选出十一人组建足球队
(1)有多少种可能
(2)要是要选出一人出任守门员,有多少种不同的可能
两种方法
组合的性质:
1.
2.
计算器:
(排列的另外一种理解)(也即是大除法,去序)
5.
二项式:
n个(a+b)相乘,不合并同类项,总共有多少项?
基础练习:
1.设有99本不同的书
(1)分给甲、乙、丙3人,甲得96本,乙得2本,丙得1本,共有多少种不同的分法?
(2)分给甲、乙、丙3人,甲得93本,乙、丙各得3本,共有多少种不同的分法?
(3)平均分给甲、乙、丙3人,共有多少种不同的分法?
(4)分给甲、乙、丙3人,一人得96本,一人得2本,一人得1本,共有多少种不同的
分法?
(5)分给甲、乙、丙3人,一人得93本,另两人各得3本,共有多少种不同的分法?
(6)分成3份,一份96本,一份2本,一份1本,共有多少种不同的分法?
(7)平均分成3份,共有多少种不同的分法?
(8)分成三份,一份93本,另两份各3本,共有多少种不同的分法?
2某科研小组有工作人员8人。
(1)现有五个项目需要研发,其中a项目必须由4人共同完成,余下的四个项目每个项目都由1人独立完成,有多少种不同的安排方法?
(2)现有三个研究课题,完成每个课题至少需要2人,有多少种不同的安排方法?
3.将5名新转入的同学分配到高二年级的三个班学习,每班至少1名,最多2名,不同的分配方案有多少种?
4.某高校有14名志愿者参加接待工作,若每天早、中、晚三班,每班4人,没人每天最多值一班,则一天不同的排版种数为多少?
5.将3名司机和6名乘务员分配到3辆不同的公共汽车上,没量公共汽车分配1名司机和2名乘务员,不同的分配方法共有多少种?
6.将9件不同的玩具放入三个相同的盒子里,每个盒子里放3件,则不同的放法有多少种?
(异球同盒)
8.9名反恐战士中,有3名中国籍战士和6名其他国籍战士。
再一次反恐演习中,9名战士以抽签的方式进行分组。
(1)分成甲、乙、丙3组,每组3名战士。
①3名中国籍战士分别被分在甲、乙、丙三组,共有多少种不同的分法?
②至少有2名中国籍战士被分在同一组,共有多少种不同的分法?
(2)平均分成3组,每组3名战士。
①3个组中,各有1名中国籍战士,共有多少种不同的分法?
②恰有2名或3名中国籍战士被分在同一组,共有多少种不同的分法?
【篇三:
高中数学-排列组合和概率-人教版全部教案】
两个基本原理
一、教学目标
1、知识传授目标:
正确理解和掌握加法原理和乘法原理
2、能力培养目标:
能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题
3、思想教育目标:
发展学生的思维能力,培养学生分析问题和解决问题的能力
二、教材分析
1.重点:
加法原理,乘法原理。
解决方法:
利用简单的举例得到一般的结论.
2.难点:
加法原理,乘法原理的区分。
解决方法:
运用对比的方法比较它们的异同.
三、活动设计
1.活动:
思考,讨论,对比,练习.
2.教具:
多媒体课件.
四、教学过程正
1.新课导入
随着社会发展,先进技术,使得各种问题解决方法多样化,高标准严要求,使得商品生产工序复杂化,解决一件事常常有多种方法完成,或几个过程才能完成。
排列组合这一章都是讨论简单的计数问题,而排列、组合的基础就是基本原理,用好基本原理是排列组合的关键.
2.新课
我们先看下面两个问题.
(l)从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车,还可以乘轮船.一天中,火车有4班,汽车有2班,轮船有3班,问一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?
板书:
图
因为一天中乘火车有4种走法,乘汽车有2种走法,乘轮船有3种走法,每一种走法都可以从甲地到达乙地,因此,一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有4十2十3=9种不同的走法.
一般地,有如下原理:
加法原理:
做一件事,完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法,?
?
,在第n类办法中有mn种不同的方法.那么完成这件事共有n=m1十m2十?
十mn种不同的方法.
(2)我们再看下面的问题:
由a村去b村的道路有3条,由b村去c村的道路有2条.从a村经b村去c村,共有多少种不同的走法?
板书:
图
这里,从a村到b村有3种不同的走法,按这3种走法中的每一种走法到达b村后,再从b村到c村又有2种不同的走法.因此,从a村经b村去c村共有3x2=6种不同的走法.一般地,有如下原理:
乘法原理:
做一件事,完成它需要分成n个步骤,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,?
?
,做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有n=m1m2?
mn种不同的方法.
例1书架上层放有6本不同的数学书,下层放有5本不同的语文书.
1)从中任取一本,有多少种不同的取法?
2)从中任取数学书与语文书各一本,有多少的取法?
解:
(1)从书架上任取一本书,有两类办法:
第一类办法是从上层取数学书,可以从6本书中任取一本,有6种方法;第二类办法是从下层取语文书,可以从5本书中任取一本,有5种方法.根据加法原理,得到不同的取法的种数是6十5=11.
答:
从书架l任取一本书,有11种不同的取法.
(2)从书架上任取数学书与语文书各一本,可以分成两个步骤完成:
第一步取一本数学书,有6种方法;第二步取一本语文书,有5种方法.根据乘法原理,得到不同的取法的种数是n=6x5=30.
答:
从书架上取数学书与语文书各一本,有30种不同的方法.
练习:
一同学有4枚明朝不同古币和6枚清朝不同古币
1)从中任取一枚,有多少种不同取法?
2)从中任取明清古币各一枚,有多少种不同取法?
例2
(1)由数字l,2,3,4,5可以组成多少个数字允许重复三位数?
(2)由数字l,2,3,4,5可以组成多少个数字不允许重复三位数?
(3)由数字0,l,2,3,4,5可以组成多少个数字不允许重复三位数?
解:
要组成一个三位数可以分成三个步骤完成:
第一步确定百位上的数字,从5个数字中任选一个数字,共有5种选法;第二步确定十位上的数字,由于数字允许重复,
这仍有5种选法,第三步确定个位上的数字,同理,它也有5种选法.根据乘法原理,得到可以组成的三位数的个数是n=5x5x5=125.
答:
可以组成125个三位数.
练习:
1、从甲地到乙地有2条陆路可走,从乙地到丙地有3条陆路可走,又从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走.
(1)从甲地经乙地到丙地有多少种不同的走法?
(2)从甲地到丙地共有多少种不同的走法?
2.一名儿童做加法游戏.在一个红口袋中装着2o张分别标有数1、2、?
、19、20的红卡片,从中任抽一张,把上面的数作为被加数;在另一个黄口袋中装着10张分别标有数1、2、?
、9、1o的黄卡片,从中任抽一张,把上面的数作为加数.这名儿童一共可以列出多少个加法式子?
3.题2的变形
4.由0-9这10个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数?
小结:
要解决某个此类问题,首先要判断是分类,还是分步?
分类时用加法,分步时用乘法其次要注意怎样分类和分步,以后会进一步学习
练习
1.(口答)一件工作可以用两种方法完成.有5人会用第一种方法完成,另有4人会用第二种方法完成.选出一个人来完成这件工作,共有多少种选法?
2.在读书活动中,一个学生要从2本科技书、2本政治书、3本文艺书里任选一本,共有多少种不同的选法?
3.乘积(a1+a2+a3)(b1+b2+b3+b4)(c1+c2+c3+c4+c5)展开后共有多少项?
4.从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路可通;从甲地到丁地有4条路可通,从丁地到丙地有2条路可通.从甲地到丙地共有多少种不同的走法?
5.一个口袋内装有5个小球,另一个口袋内装有4个小球,所有这些小球的颜色互不相同.
(1)从两个口袋内任取一个小球,有多少种不同的取法?
(2)从两个口袋内各取一个小球,有多少种不同的取法?
作业:
(略)
排列
【复习基本原理】
1.加法原理做一件事,完成它可以有n类办法,第一类办法中有m1种不同的方法,第二
办法中有m2种不同的方法?
?
,第n办法中有mn种不同的方法,那么完成
这件事共有
n=m1+m2+m3+?
mn
种不同的方法.
2.乘法原理做一件事,完成它需要分成n个步骤,做第一步有m1种不同的方法,做第
二步有m2种不同的方法,?
?
,做第n步有mn种不同的方法,.那么完成这
件事共有
n=m1?
m2?
m3?
?
?
mn
种不同的方法.
3.两个原理的区别:
【练习1】
1.北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线,需要准备多少种不同的机票?
2.由数字1、2、3可以组成多少个无重复数字的二位数?
请一一列出.
【基本概念】
1.什么叫排列?
从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素(这里的被取元素各不相同)
按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.........
2.什么叫不同的排列?
元素和顺序至少有一个不同.
3.什么叫相同的排列?
元素和顺序都相同的排列.
4.什么叫一个排列?
【例题与练习】
1.由数字1、2、3、4可以组成多少个无重复数字的三位数?
2.已知a、b、c、d四个元素,①写出每次取出3个元素的所有排列;②写出每次取出4个元素的所有排列.
【排列数】
1.定义:
从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中
m取出m元素的排列数,用符号pn表示.
用符号表示上述各题中的排列数.
m2.排列数公式:
pn=n(n-1)(n-2)?
(n-m+1)
123pn=pn=pn=;4pn=;
242计算:
p5p5p15
【课后检测】
1.写出:
①从五个元素a、b、c、d、e中任意取出两个、三个元素的所有排列;
②由1、2、3、4组成的无重复数字的所有3位数.
③由0、1、2、3组成的无重复数字的所有3位数.
2.计算:
①p
排列
课题:
排列的简单应用
(1)
目的:
进一步掌握排列、排列数的概念以及排列数的两个计算公式,会用排列数公式计算和解决简单的实际问题.
过程:
一、复习:
(引导学生对上节课所学知识进行复习整理)
1.排列的定义,理解排列定义需要注意的几点问题;
2.排列数的定义,排列数的计算公式
mm=an=n(n-1)(n-2)(n-m+1)或an3100②p36③p-2p4828④8p127p12n!
(其中m≤nm,n∈z)(n-m)!
3.全排列、阶乘的意义;规定0!
=1
4.“分类”、“分步”思想在排列问题中的应用.
二、新授:
例1:
⑴7位同学站成一排,共有多少种不同的排法?
7解:
问题可以看作:
7个元素的全排列——a7=5040
⑵7位同学站成两排(前3后4),共有多少种不同的排法?
⑶7位同学站成一排,其中甲站在中间的位置,共有多少种不同的排法?
6解:
问题可以看作:
余下的6个元素的全排列——a6=720
⑷7位同学站成一排,甲、乙只能站在两端的排法共有多少种?
2解:
根据分步计数原理:
第一步甲、乙站在两端有a2种;第二步余下的5名
255同学进行全排列有a5种则共有a2=240种排列方法a5
⑸7位同学站成一排,甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种?
解法一(直接法):
第一步从(除去甲、乙)其余的5位同学中选2位同学站在
2排头和排尾有a5种方法;第二步从余下的5位同学中选5位进行排列(全排
525列)有a5种方法所以一共有a5=2400种排列方法.a5
66解法二:
(排除法)若甲站在排头有a6种方法;若乙站在排尾有a6种方法;若
5甲站在排头且乙站在排尾则有a5种方法.所以甲不能站在排头,乙不能排在
765排尾的排法共有a7-2a6+a5=2400种.
小结一:
对于“在”与“不在”的问题,常常使用“直接法”或“排除法”,对某些特
殊元素可以优先考虑.
例2:
7位同学站成一排.
⑴甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种?
解:
先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素(同学)一
6起进行全排列有a6种方法;再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有a2种方法.所
6以这样的排法一共有a6a2=1440种.22
⑵甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种?
53解:
方法同上,一共有a5=720种.a3
⑶甲、乙两同学必须相邻,而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种?
解法一:
将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素,此时一共有6个元素,因为
丙不能站在排头和排尾,所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排
2尾,有a5种方法;将剩下的4个元素进行全排列有a4种方法;最后将甲、乙两个
2同学“松绑”进行排列有a2种方法.所以这样的排法一共有a5a4a2=960种方2424
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