排列组合问题.docx
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排列组合问题.docx
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排列组合问题:
6位新教师全部分给4所学校,每校至少1人,共有多少种不同的分配方安?
给每个学校分一个老师先,其分配方案为:
第一个学校有6种可能,第二个学校有5种可能,第三个学校有4种可能,第四个学校有3个可能,即:
A1=6*5*4*3;即A64(打不出来那种符号,理解便可);然后是把两个老师分到4个学校的问题了,即:
剩下的两个人每一个都有4种可能,他们可以去四所学校的任一学校
A2=4*4;
总的方案为:
A=A1*A2;
1.3名医生和6名护士被分配到3所所为学生体检,每校分配1名医生和2名护士,不同的分配方法共有( )
(A)90种(B)180种(C)270种(D)540种
【解析】
三名医生各自去一所学校,即对医生或者学校其中一个全排列即可,A33=6种
护士是每所学校去2名,即2,2,2的分配,因此是C62*C42/A33,然后对医院全排列,即A33,所以护士是C62*C42
(知识链接参考苹果分盘子问题)
A33*C62*C42=540
2.5本不同的书,全部分给四个学生,每个学生至少1本,不同分法的种数为()
(A)480 (B)240(C)120 (D)96
【解析】
分配的方法是:
1,1,1,2 根据从左往右法直接列式
C52*A44=240
3.编号为1,2,3,4,5的五个人分别去坐在编号为1,2,3,4,5的座位上,至多有两个号码一致的坐法种数为
( ) (先看29题)
(A)90 (B)105 (C)109 (D)100
【解析】
至多有两个号码一致,要分情况考虑
没有号码一致:
即都不正确的方法是:
44(全排错,对应元素有5个)
只有一个号码一致:
其他4个不正确的方法是:
C51*9(全排错,对应元素有4个)
只有两个号码一致:
其他3个不正确的方法是:
C52*2(全排错,对应元素有3个)
44+C51*9+C52*2=109
4.若把英语“error”中字母的拼写顺序写错了,则可能出现的错误的种数是( )。
(A)19(B)20 (C)119(D)60
【解析】
先对5个元素全排列,然后除去3个元素相同的情况,最后再减去正确的拼写方法一种即可
A55/A33-1=19
5.某赛季足球比赛的计分规则是:
胜一场,得3分;平一场,得1分;负一场,得0分,一球队打完15场,积分33分,若不考虑顺序,该队胜、负、平的情况有( )
(A)6种 (B)5种(C)4种 (D)3种
【解析】
33=11*3+4*0
33=10*3+3*1+2*0
33=9*3+6*1+0*0
3种
6.从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台,其中至少有原装与组装计算机各两台,则不同的取法有()种。
【解析】分类考虑:
从6台原装计算机里面取2台,再从5台组装计算机里面取3台,C62*C53
从6台原装计算机里面取3台,再从5台组装计算机里面取2台,C63*C52C62*C53+C63*C52=350
7.在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生,那么不同的夺冠情况共有( )种.
(A)24 (B)64 (C)81 (D)6
【解析】
每一项比赛的冠军都可以是甲乙丙三个人中的任意一个
3^4=81
8.有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球,排成一排,共有多少种不同的排列方法?
【解析】
对8个元素全排列,然后除去3个同色和5个同色的全排列即可
A88/A33*A55
或者在8个元素里面选出3个或者5个同色的即可
C83=56
9.某交通岗共有3人,从周一到周日的七天中,每天安排一人值班,每人至少值2天,其不同的排法共有( )种.
(A)5040 (B)1260 (C)210 (D)630
【解析】
“苹果分盘子的变形”
将7天看成“苹果”,3个人看成是3个“盘子”
一周7天各不相同,人与人也不相同可以分配的方法是:
2,2,3
根据从左往右法直接列出式子
C73*C42/A22*A33=630
10.用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字的比1000大的奇数共有()
(A)36个 (B)48个 (C)66个 (D)72个
【解析】
分四位数和五位数考虑,72
11.现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、20元、50元人民币各一张,100元人民币2张,从中至少取一张,共可组成不同的币值种数是( )
(A)1024种 (B)1023种 (C)1536种 (D)1535种
【解析】
“插板法”的运用
除了100元,其他的人民币都可以有选取或者不选取这两种,2^9
100元有三种,不选取、选取1张、选取2张,3
再除去都不取的情况1种,答案即出来
2^9*3-1=1535
12.现有8个人排成一排照相,其中有甲、乙、丙三人不能相邻的排法有()种.
【解析】
“捆绑法”的运用
将甲乙丙三人“捆绑”成一个元素,那么总的元素变成6个,A33*A66
然后用总的8个元素全排列去减即可
A88-A33*A66
13.高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,其中工厂甲必须有班级去,每班去何工厂可自由选择,则不同的分配方案有( )
(A)16种 (B)18种 (C)37种 (D)48种
【解析】
“逆向思维”来考虑
不考虑甲厂必须要有班级的情况
3个班级,每个班级都可以选择4家厂中的任意一个,4^3都不取甲厂的情况:
3^3
4^3-3^3=37
14、7名学生站成一排,甲、乙必须站在一起有多少不同排法?
【解析】“捆绑法”的运用将甲乙捆绑成一个元素,总的元素变成6个A22*A66
15、7名学生站成一排,甲乙互不相邻有多少不同排法?
【解析】“插孔法”的运用7个人,除去甲乙2人,剩下5个人,
有6个空在6个空中插入甲乙2人,C62*A22=A62然后对那5个人全排列即可A55*A62
16、正六边形的中心和顶点共7个点,以其中3个点为顶点的三角形共有多少个。
【解析】7个点,任取3个,C73然后除去三个点在一条直线的即可C73-3
17、1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念,若老师不排在两端,则共有不同的排法种。
【解析】
5个人全排列,然后去掉老师在两端的情况即可
A55-2A44
18、乒乓球队的10名队员中有3名主力队员,派5名队员参加比赛,3名主力队员要安排在第一、三、五位置,其余7名队员选2名安排在第二、四位置,那么不同的出场安排共有种。
【解析】三名主力在一、三、五位置上全排列即可,A33然后在剩下的7名非主力中选取2人分在二、四位置上即可A33*A72=252
19、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同插法的种数为()A.42 B.30 C.20 D.12【解析】“插孔法”的运用5个节目,有6个空,插
入一个即,6种6个节目,有7个空,插入一个即,7种6*7
20、12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查,若每个路口4人,则不同的分配方案共有( )
【解析】
“苹果分盘子”的运用分配方法:
4,4,4根据从左往右法即可
C(12,4)*C(8,4)
21、从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种,分别种在不同土质的三块土地上,其中黄瓜必须种植,不同的种植方法共有()A.24种 B.18种 C.12种 D.6种
【解析】
先从除了黄瓜以外的其他三种蔬菜中取出2种,C32
再对取出的3种蔬菜全排列即可
C32*A33=18
22、把10本相同的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室,每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数,试求不同分法的种数。
【解析】
“插板法”的运用
先给编号是1,2,3的阅览室分别给予0,1,2本书那么还剩下10-0-1-2=7本书
题目转化成:
7本相同的书,分到3个阅览室,每个阅览室至少有一本书的情况。
7本书,6个空,2块板将其分成3分
C62
23、用0,2,3,4,5,五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有()。
A.24个 B.30个 C.40个 D.60
个
【解析】
分类考虑即可
4*3+2*3*3=30
24、有8本不同的书;其中数学书3本,外语书2本,其它学科书3本.若将这些书排成一列放在书架上,让数学书排在一起,外语书也恰好排在一起的排法共有()种。
【解析】
“捆绑法”的运用
数学书、外语书,看成2个元素,那么总的元素变成5个,全排列再对数学书和外语书分别排列即可
A33*A22*A55
25、用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数,要求1与2相邻,2与4相邻,5与6相邻,而7与8不相邻。
这样的八位数共有()个。
【解析】
1与2相邻,2与4相邻,那么情况要么是124,要么是421这两种
5月6相邻,那么全部元素变成5种:
124,3,56,7,8
因为7、8不能相邻,那么124,3,56这3个元素全排列,A33
对56全排列,A22
然后在124,3,56三个元素的4个空中插入7、8即可,A422*A22*A33*A42=288
26、6个人排队,甲、乙、丙三人按“甲---乙---丙”顺序排的排队方法有多少种?
【解析】甲乙丙的顺序确定,那么对6个元素全排列后再除去3个元素的全排列即可A66/A33
27、4个男生和3个女生,高矮不相等,现在将他们排成一行,要求从左到右女生从矮到高排列,有多少种排法。
【解析】
女生的顺序确定,那么对7个人全排列后再除去3个元素的全排列即可
A77/A33
28、7个人坐两排座位,第一排3个人,第二排坐4个人,则不同的坐法有多少种?
【解析】
7个人可以任意坐,直接对人全排列即可
A77
29、将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的方格中,每方格填1个,方格标号与所填数字均不相同的填法种数有
( )A.6 B.9 C.11 D.23【解析】元素是1个:
0种元素是2个:
1种元素是3个:
2种元素是
4个:
9种元素是5个:
44种元素是6个:
265种…………本题的全排错元素有4个,故为9种30、方程a+b+c+d=12有
多少组正整数解【解析】正整数就是除去0的自然数1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=1211个加号,选取其中的3个加号即可C(11,3)31、从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少要甲型与乙型电视机各一台,则不同的取法共有()种.A.140种B.80种 C.70种 D.35种【解析】先从4台甲型电视机中取1台,5台乙型电视机中取2台,C41*C52再从4台甲型电视机中取2台,5台乙型电视机中取1台,C42*C51加起来即可C41*C52+C42*C51=7032、从1到100的自然数中,每次取出不同的两个数,使它们的和大于100,则不同的取法种数有多少种。
【解析】求和公式记住即可N^2=50^2=2500
33、六人站成一排,求
(1)甲不在排头,乙不在排尾的排列数
(2)甲不在排头,乙不在排尾,且甲乙不相邻的排法数
【解析】
(1)六个人全排列-(甲在排头+乙在排尾)+甲在排头乙在排尾A66-2A55+A44
(2)对除了甲乙的其他4个人全排列,A44
4个人有5个空
_人_人_人_人_
甲在第二个空时,乙可以在:
1,3,4空甲在第三个空时,乙可以在:
1,2,4空甲在第四个空时,乙可以在:
1,2,3空
甲在第五个空时,乙可以在:
1,2,3,4空所以答案就是:
A44*(3+3+3+4)=312
34、某同学逛书店,发现三本喜欢的书,决定至少买其中一本,则购买方案有
A.3种 B.6种 C.7种 D.9种
【解析】
正面法考虑:
一本的情况有:
C31=3种两本的情况有:
C32=3种三本的情况有:
C33=1种3+3+1=7种
反面法考虑:
随便拿的情况:
2^3=8种
一本都不拿的情况:
C30=1种
8-1=7种
35、某公共汽车上有10名乘客,沿途有5个车站,乘客下车的可能方式有()
A.5^10种B.10^5种C.50种 D.以上都不对
【解析】
每个人都可以选择任何一个车站下车,5^10种
36、某高校从8名优秀毕业生中选出5名支援中国西部开发建设,某人必须当选的种数是()
A.35 B.56 C.21 D.36
【解析】
某人必须当选,这个人已经确定了,剩下7个人中选4个即可,C74=35
37、某种产品有4只次品和6只正品,每只产品均不相同,但需进行科学测试才能区分出来,今每次取出一只测试,直到4只次品全测出为止,则最后一只次品恰好在第五次测试时被发现的不同情况共有种数是()
A.24 B.144 C.576 D.720
【解析】
第五个是次品,有4种情况,前面四个里面有3个是次品,因为各不相同,所以4*A43*6=576
38、甲、乙两人参加环保知识竞答,共有8道不同的题目,其中选择题5个,判断题3个,甲、乙二人依次各抽一题,甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是
【解析】
5/8*3/7=15/56
39、用0,1,2,3,4,5六个数码,可以组成无重复数字且被5整除的四位数的个数是()
【解析】
被五整除,末尾是0或者5
当末尾是0时有:
A53=60
当末尾是5时有:
4*4*3=48
60+48=108
40、某运输公司有7个车队,每个车队的车都多于4辆且型号相同,要从这7个车队中抽出10辆车组成一个运输车队,
每个队至少抽1辆车,则不同的抽法有()种。
【解析】
10辆车,分配到7个车队,每个车队至少要有1辆车。
满足插板法
10辆车,9个空,6块板将其分成7份
C96=84
41、10件新产品中有一等品7件,二等品2件,三等品1件,从中任取3件,一等品、二等品、三等品各一件的概率是
()。
【解析】
(C71*C21*C11)/C(10,3)=7/60
42、某班有12名工人,其中A型血3人,B型血3人,O型血4人,AB型血2人,随意抽取2人去验血,恰有2人是相同血型的概率是()。
【解析】
(C32+C32+C42+C22)/C(12,2)=13/66
43、从3位老师和8位学生中,选派1位老师和2位学生一起参加某项活动,不同的选派方法的种数是()。
【解析】
C31*C82=84种
44、有三个袋子,其中一个袋子装有红色小球20个,每个球上标有1至20中的一个号码.一个袋子装有白色小球15个,
每个球上标有1至15中的一个号码,第三个袋子装有黄色小球8个,每个球上标有1至8中的一个号码。
(1)从袋子里任取一个小球,有多少种不同的取法?
(1)从袋子里任取红、白、黄色球各一个,有多少种不同的取法?
【解析】
(1)总共有20+15+8=43个小球,那么就有43种取法
(2)20*15*8=2400种取法
45、5男5女共10个同学排成一行
(1)女生都排在一起,有几种排法?
(2)女生与男生相间,有几种排法?
(3)任何两个男生都不相邻,有几种排法?
(4)5名男生不排在一起,有几种排法?
(5)男生甲与男生乙中间必须排而且只能排2位女生,女生又不能排在队伍的两端,有几种排法?
【解析】
(1)5个女生捆绑在一起再加上5个男生,就是6个元素,A66*A55即可
(2)A55*A55*2即可
(3)5个女生6个空,A65*A55即可
(4)全排列-男生排在一起=男生不排在一起,A(10,10)-A66*A55即可
(5)分情况讨论
①甲在第一个位置时:
甲__乙 男
甲乙排列,A22;中间两个女生排列,A52;接下去5个人全排列,A55;最后一个是男生,A31。
即A22*A52*A55*A31=A33*A52*A55
②甲不在第一个位置时:
“甲 乙”看成一个元素,首尾有两个男生,即A22*A32*A52*A55
因此答案就是上面的相加即可
46、要从12人中选出5人去参加一项活动,按下列要求,有多少种不同选法?
(1)A、B、C三人必须入选
(2)A、B、C三人不能入选(3)A、B、C三人只有一人入选(4)A、B、C三人至少一人入选(5)A、B、C三人至多二人入选
【解析】
(1)在除了ABC三人以外的其他9人中取2人即可,C92=36
(2)在除了ABC三人以外的其他9人中取5人即可,C95=126
(3)在除了ABC三人以外的其他9人中取4人即可,C31*C94=378
(4)正面法考虑:
三人中有一个的情况:
剩下9人中选取4人,C31*C94=378三人中有两个的情况:
剩下9人中选取3人,C32*C93=252
三人中都有的情况:
C92=36378+252+36=666
反面法考虑:
除去三个人都没入选的情况:
C(12,5)-C95=666
(5)正面法考虑:
没有一个入选的情况:
C95=126
只有一个入选的情况:
C31*C94=378只有两个入选的情况:
C32*C93=252126+378+252=756
反面法考虑:
除去三人都入选的情况即可,C(12,5)-C92=756
47、有红、黄、绿三种颜色的卡片,每种颜色均有A、B、C、D、E字母的各一张,现每次取出五张,要求字母各不相同,三种颜色齐备,问有多少种不同的取法?
【解析】
分配方法:
113和122C53*3!
=60C52*C32/2*3!
=9060+90=150
48、将5封信投入3个邮筒,不同的投法共有()种。
【解析】
5封信都有3个选择,3^5
49、同室4人各写1张贺年卡,然后每人从中拿1张别人送出的贺年卡,则4张贺年卡不同的分配方式有()种。
【解析】
全排错数列,元素有4个,对应9种
50、某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面及楼的外墙,现有编号为1到6
的6种不同花色的石材可选择,其中1号石材有微量的放射性,不可用于办公室内,则不同的装饰效果有()种。
【解析】
办公室有5种选择,其他三个地方分别由A53种答案就是:
5*A53=300
51、某银行储蓄卡的密码是一个4位数码,某人采用千位、百位上的数字之积作为十位个位上的数字(如2816)的方法
设计密码,当积为一位数时,十位上数字选0.千位、百位上都能取0.这样设计出来的密码共有()种。
【解析】
千位数字为0时,百位取[0,9]10个
千位数字为1时,百位取[0,9]10个
千位数字为2时,百位取[0,9]10个
千位数字为3时,百位取[0,9]10个
……
千位数字为9时,百位取[0,9]10个因此,共有10*10=100种
52、某班上午要上语、数、外和体育4门课,如体育不排在第一、四节;语文不排在第一、二节,则不同排课方案种数为()。
【解析】
第一节课不安排体育和语文,那么第一节课有2种选择
第二节课不安排语文,那么第二节课有除去第一节课,剩下2种选择,这时要分类考虑:
第二节课是体育的话:
第三节课有2种选择
第二节课不是体育的:
第三节课有1种选择(只能上体育)所以答案就是:
2*(2+1)=6
53、四个不同的小球全部放入编号为1、2、3、4的四个盒中。
①恰有两个空盒的放法有()种;
②甲球只能放入第2或3号盒,而乙球不能放入第4号盒的不同放法有()种
【解析】
① 分配方法有:
0013和0022这两种,根据从左往右法:
(C43+C42/A22)*A42=84
② 甲在第2号盒子的时候,乙可以在1、2、3号盒子,丙丁可以在1,2,3,4号盒子,所以有3*4*4=48种甲在甲在第3号盒子的时候,乙可以在1、2、3号盒子,丙丁可以在1,2,3,4号盒子,所以有3*4*4=48种因此答案为:
48*2=96
54、设有编号为1、2、3、4、5的五个茶杯和编号为1、2、3、4、5的5个杯盖,将五个杯盖盖在五个茶杯上,至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有()种。
【解析】全排错问题
至少有两个杯盖和茶杯的编号相同,分类
两个都相同,那么三个都不同:
C53*2=20三个都相同,那么两个都不同:
C52*1=10四个都相同,那么一个都不同:
C51*0=0五个都相同,那么没有都不同:
120+10+1=31种
55、某人射击8枪,命中4枪,4枪命中中恰好有3枪连在一起的情况的不同种数为()。
【解析】
捆绑法、插空法的综合运用
连着命中的3枪和单独命中的1枪不能“相遇”,看成2份
因此在剩下没命中的4枪里,出现5个空,C52
然后对2份全排列即可,A22答案就是:
C52*A22=20
56、把一同排6张座位编号为1,2,3,4,5,6的电影票全部分给4个人,每人至少分1张,至多分2张,且这两张票具有连续的编号,那么不同的分法种数有()种。
【解析】
正面考虑:
分配的情况是:
1,1,2,2
出现两个连号的情况我们分类讨论:
12在一起:
34,45,56 3种
23在一起:
45,56 2种
34在一起:
56 1种
3+2+1=6种
在4个人中选取两个人去拿2张票的情况,A42=12再对拿两张票的人全排列,A22
因此答案就是:
6*A42*A22=144种
反面考虑:
6张票分给4个人,利用插板法:
C53*A44
分配的情况有:
1,1,2,2和1,1,1,3这两种情况因此只需
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