常微分方程第四章答案.docx
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常微分方程第四章答案
常微分方程第四章答案
【篇一:
常微分方程习题及评分标准答案】
一、选择题(每题3分)第一章:
1.微分方程y?
xy2?
y?
0的直线积分曲线为()
(a)y?
1和y?
x?
1(b)y?
0和y?
x?
1(c)y?
0和y?
x?
1(d)y?
1和y?
x?
1第二章:
2.下列是一阶线性方程的是()
(a)dydx?
x2
?
y(b)d2ydy3dx2?
(dx
)?
xy?
0(c)(
dy2dydydx)?
xdx?
xy2?
0(d)dx
?
cosy3.下列是二阶线性方程的是()
(a)d2ydy
dx2?
x
dx?
x2?
y(b)(dydx)3?
(dydx)2?
xy?
0(c)(x?
1)dy2
d2ydx?
xy?
0(d)dx
2?
cosycosx
4.下列方程是3阶方程的为()
(a)y?
x2?
y3(b)(
dydx
)3
?
xy?
0(c)(dydx)2?
xd3y
dydx
3?
y2?
0(d)dx?
cosy35.微分方程(
dydx)4?
x(dydx)3?
dy
dx
?
0的阶数为()(a)1(b)2(c)3(d)4
6.方程(dydx)3?
xd2y
dx
2?
2y4?
0的阶数为()
(a)1(b)2(c)3(d)47.针对方程
dydx?
x?
y
x?
y
,下列说法错误的是().(a)方程为齐次方程
1
(b)通过变量变换u?
y
x
可化为变量分离方程(c)方程有特解y?
0
(d)可以找到方程形如y?
kx的特解y?
(?
1x8.针对方程y?
?
sin2(x?
y?
1),下列说法错误的是().
(a)为一阶线性方程
?
2
(d)方程的通解为tan(x?
y?
1)?
x?
c9.伯努利方程
dy
?
p(x)y?
q(x)yndx
,它有积分因子为()(a)e?
(n?
1)p(x)dx(b)e?
np(x)dx
(c)xe?
(n?
1)p(x)dx(d)xe?
np(x)dx
10.针对方程
dy
dx
?
y?
y2(cosx?
sinx),下列说法错误的是().(a)方程为伯努利方程(b)通过变量变换z?
y2可化为线性方程(c)方程有特解y?
0(d)方程的通解为y?
1
cex?
sinx
11.方程
dydx?
xf(y
x
2)经过变量变换()可化为变量分离方程。
(a)u?
xy(b)u?
y(c)u?
y
2(d)u?
x2xx
y
12.方程x2
dy
dx
?
f(xy)经过变量变换()可化为变量分离方程。
(a)u?
xy(b)u?
yy
x(c)u?
x
2(d)u?
x2y
13.微分方程ylnydx?
(x?
lny)dy?
0是()
(a)可分离变量方程(b)线性方程(c)全微分方程(d)伯努利方程14.针对方程y2(1?
y)?
(2?
y)2下面说法错误的是()
(a)不显含x的形如f(y,y)?
0的隐式方程(b)设2?
y?
yt,原方程消去y后可求解
2
(c)方程的通解为y?
1
?
cx?
c
(d)方程有特解y?
?
215.方程m(x,y)d?
x
为n(x,y)?
dy其0中m(x,y),n(x,y)x,y的连续函数,如有
?
m?
n
?
?
y?
x
?
1,则方程的积分因子为()m
(a)?
(x,y)?
ey(b)?
(x,y)?
e?
y(c)?
(x,y)?
ex(d)?
(x,y)?
e?
x16.若函数f(x)满足关系式f(x)?
?
2x0
t
f()dt?
ln2,则等于f(x)?
()2
x2xx2x
(a)eln2(b)eln2(c)e?
ln2(d)e?
ln2
第三章:
17.方程
dy
?
1?
lnx满足条件y
(1)?
0的解的存在区间为()。
dx
(a)(0,+18.已知方程
)(b)[0,+)(c)(1,+)(d)[1,+)
dy
?
f(x,y)(其中f(x,y)为区域r上的连续函数),则利普希兹条件是保dx
证方程初值解唯一的()条件.
(a)必要(b)必要非充分(c)充分(d)充分必要19.利普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的()条件.(a)必要(b)必要非充分(c)充分(d)充分必要20.方程
dy
?
x2?
y2定义在矩形域r:
?
2?
x?
2,?
1?
y?
1上,则经过点(0,0)的解存在唯dx
一区间为()
1111
(a)[?
1,1](b)[?
](c)[?
2,2](d)[?
]
2255
dy
?
x2?
y2解存在区间为()21.方程dx
11
(a)[?
1,1](b)(?
?
?
?
)(c)[?
2,2](d)[?
]
55
第四章:
22.微分方程y?
y?
ex?
1的一个特解应具有形式(式中a,b为常数)为()(a)aex?
b(b)axex?
b(c)aex?
bx(d)axex?
bx第五章:
3
23.初值问题x?
2x?
7tx?
e?
t?
0,x
(1)?
?
7,x
(1)?
2和下列()一阶方程组等价。
(a)x?
?
?
01?
?
7t2?
?
x?
?
?
0?
?
7?
?
et?
?
x
(1)?
?
?
?
2?
?
(b)x?
?
?
10?
?
0?
?
?
7?
?
?
7t?
2?
?
x?
?
?
et?
?
x
(1)?
?
?
2?
?
(c)x?
?
?
01?
?
?
7t?
2?
?
x?
?
?
0?
?
?
7?
?
et?
?
x
(1)?
?
?
2?
?
(d)x?
?
?
01?
?
?
7t?
2?
?
x?
?
?
0?
?
?
et?
?
x
(1)?
?
?
?
7?
?
2?
?
第六章:
?
dx
?
?
x24.线性驻定方程组?
?
?
dt
?
y的奇点(0,0)是()
?
dy?
?
dt
?
x?
y(a)不稳定焦点(b)稳定结点(c)稳定焦点(d)鞍点?
dx
?
2x?
25.线性驻定方程组?
?
?
dt
7y的奇点(0,0)是()
?
dy?
?
dt
?
x?
2y(a)不稳定焦点(b)稳定结点(c)稳定焦点(d)鞍点?
dx?
?
226.驻定方程组?
?
x?
y?
x?
dt
的线性近似方程为()
?
dy?
x?
y?
y2?
?
dt?
dx?
?
y?
x?
dx?
?
y?
x(a)?
?
?
dt(b)?
?
?
dt
?
1
?
dy?
?
x?
y?
dy?
dt?
?
dt?
x?
y?
1?
dx?
?
y?
x?
dx
?
?
y?
(c)?
?
(d)?
x?
1?
dt?
dt
?
dy?
?
?
dt?
x?
y?
1?
dy?
?
dt
?
x?
y27.已知yx?
2x,则方程的4阶差分为()
4
(a)?
4yx?
24?
2x(b)?
4yx?
2x(c)?
4yx?
34?
2x(d)?
4yx?
4?
2x
28.已知yx?
x5?
3x2?
x,则方程的6阶差分为()
(a)?
6yx?
x2?
1(b)?
6yx?
9x?
1(c)?
6yx?
0(d)?
6yx?
3x补充差分
29.已知yx?
2x,则方程的4阶差分为()
(a)?
4yx?
24?
2x(b)?
4yx?
2x(c)?
4yx?
34?
2x(d)?
4yx?
4?
2x30.已知yx?
x5?
3x2?
x,则方程的6阶差分为()
(a)?
6yx?
x2?
1(b)?
6yx?
9x?
1(c)?
6yx?
0(d)?
6yx?
3x二、填空题(每题3分)第二章:
dy
?
p(x)y的通解为(其中p(x)为x的连续函数)。
dxdy
?
f(x)g(y)的方程称为y?
y0使得g(y0)?
0成立,则2.形如dx
1.方程
有为方程的解。
3.伯努利方程4.方程5.方程
dy
?
ysinx?
y2tanx,立刻可以判断方程有特解为________________。
dx
dy
?
?
2xy?
4x的通解为。
dx
dyx
?
?
的通解为y?
dxy
6.m(x,y),n(x,y)为x,y的连续函数且有连续的一阶偏导数.方程
m(x,y)?
dx
(n,x?
)y为恰当方程的充要条件是dy________________.
n(x,y)?
dy其0中m(x,y),n(x,y)x,y的连续函数,如有为
x7.方程m(x,y)d?
?
m?
n?
?
y?
x
?
1,则方程有积分因子为?
(x,y)?
________________.m
8.方程m(x,y)dx?
n(x,y)dy?
0有只含x的积分因子的充要条件是。
9.方程m(x,y)dx?
n(x,y)dy?
0有只含y的积分因子的充要条件是。
5
【篇二:
【精选习题】第四章高阶微分方程】
>4-1证明线性非齐次方程的叠加原理:
设x1(t),x2(t)分别是线性非齐次方程
dxdt
nnn
?
a1(t)
d
n?
1
x
dtd
n?
1
?
?
?
an?
1(t)
dxdtdxdt
?
an(t)x?
f1(t)
dxdt
n
n?
1
?
a1(t)
x
dt
n?
1
?
?
?
an?
1(t)?
an(t)x?
f2(t)
的解,则x1(t)?
x2(t)是方程
dxdt
nn
?
a1(t)
d
n?
1
x
dt
n?
1
?
?
?
an?
1(t)
dxdt
?
an(t)x?
f1(t)?
f2(t)
(1)
的解。
证由题意,有
dxidt
nn
?
a1(t)
d
n?
1
xi
dt
n?
1
?
?
?
an?
1(t)
dxidt
?
an(t)xi?
fi(t)
(i?
1,2),
把x1(t)?
x2(t)代入方程
(1)的左端得左端=
d(x1?
x2)
dtdx1dt
nnn
n
n
?
a1(t)
n?
1
d
n?
1
(x1?
x2)dt
n?
1
?
?
?
an?
1(t)
d(x1?
x2)
dt
?
an(t)(x1?
x2)
?
[
?
a1(t)
d
x1
dtd
n?
1
?
?
?
an?
1(t)
dx1dtdx2dt
?
an(t)x1]?
[
dx2dt
n
n?
1
?
a1(t)
x2
dt
n?
1
?
?
?
an?
1(t)?
an(t)x2]
?
f1(t)?
f2(t)?
右端。
评注:
线性非齐次方程的叠加原理用于求线性非齐次方程的特解,特别对于右端函数可以分解为几个简单函数之和时更加有用。
4-2试验证方程
dxdtt
22
?
tdx
1?
tdt
11?
t
?
11?
t
x?
0有基本解组t,e,并求方程
t
dxdt
2
2
?
dx
1?
tdt
?
x?
t?
1
的通解。
证1?
将t,et分别代入方程得0?
t
?
t
?
0;
1?
t1?
tt1ttt
e?
e?
e?
0。
1?
t1?
t
又
et
t
?
常数,因此t,e是方程的基本解组。
t
2用常数变易法,令方程的特解具有以下形式
x(t)?
c1(t)t?
c2(t)e,
t
?
则
t
?
(t)?
0?
?
tc1?
(t)?
ec2
,?
t
?
(t)?
t?
1?
?
c1?
(t)?
ec2
由此得
?
c1?
(t)?
?
1
?
t,?
?
(t)?
t?
c2
e?
所以
c1(t)?
?
t?
c1,c2(t)?
?
e
?
t
(t?
1)?
c2,
因而方程的通解为
x(t)?
c1t?
c2e?
(t?
1)。
t
2
评注:
常数变易法是线性非齐次方程求特解的最基本的方法。
但有时可根据方程的具体形式采用灵活的方法。
将本例方程变形为(1?
t)
dxdt
22
?
t
dxdt
?
x?
?
(t?
1),容易发现它可
2
能具有形如二次多项式的特解,因此可设其有特解形如~x(t)?
at
2
?
bt?
c,代入方程,
2
比较系数得a?
c?
?
1,b可任意取值,所以易求得一个特解为~x(t)?
?
(t?
1)。
dxdt
22
4-2已知方程?
x?
0有基本解组e,e
t?
t
,试求此方程适合初始条件
x(0)?
1,x?
(0)?
0及x(0)?
0,x?
(0)?
1的基本解组(称为标准基本解组,即有w(0)?
1),
?
的解。
并由此求出方程的适合初始条件x(0)?
x0,x?
(0)?
x0
解由于原方程有基本解组:
et,e?
t,所以通解为
x(t)?
c1e?
c2e,且x?
(t)?
c1e?
c2e
t
?
t
t
?
t
,
将x(0)?
1,x?
(0)?
0代入上式,求得c1?
c2?
x1?
12e?
t
12
,由此得特解
12
e
?
t
?
cht;
12,c2?
?
12
将x(0)?
0,x?
(0)?
1代入上式,求得c1?
x2?
12e?
t
,由此得特解
12
e
?
t
?
sht。
又
w(t)?
chtsht
shtcht
?
cht?
sht?
1?
0,
2
2
所以cht和sht线性无关,因而cht,sht是标准基本解组,并由此得出方程的通解为x?
c1cht?
c2sht。
?
代入得c1?
x0,c2?
x0?
,因且x?
?
c1sht?
c2cht,将初始条件x(0)?
x0,x?
(0)?
x0
?
sht。
而满足这个初始条件的解为:
x(t)?
x0cht?
x0
评注:
标准基本解组是满足初始条件x(0)?
1,x?
(0)?
0,及x(0)?
0,x?
(0)?
1的基本解组。
4-3设xi(t)(i?
1,2,?
n)是线性齐次方程
dxdt
nn
?
a1(t)
d
n?
1
x
dt
n?
1
?
?
?
an?
1(t)
dxdt
?
an(t)x?
0
的任意n个解,它们所构成的朗斯基行列式记为w(t)。
试证明w(t)满足一阶线性方程
w?
(t)?
a1(t)w(t)?
0
(1)
因而有w(t)?
w(t0)e
?
?
ta1(s)ds
t
t,t0?
(a,b)。
证将行列式的微分法则使用于w(t),则所得的前n?
1项的行列式都有两行相等,即
都等于零,于是有
x1?
x1
w?
(t)?
?
x1
(n?
2)(n)
x2?
x2?
x2
(n?
2)(n)
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
xn?
xn?
xn
(n?
2)(n)
,
x1x2xn
所以
w?
(t)?
a1(t)w(t)
x1?
x1
?
?
x1
(n?
2)(n)
x2?
x2?
x2
(n?
2)(n)
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
xn?
xn?
xn
(n?
2)(n)
x1?
x1
?
a1(t)
?
x1x1
(n?
2)(n?
1)
x2?
x2?
x2x2
(n?
2)(n?
1)
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
xn?
xn?
xnxn
(n?
2)(n?
1)
x1x2xn
x1?
x1
?
(n)
x2?
x2?
x2
(n?
1)
(n?
2)
(n?
1)
(n)
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
xn
(n)
xn?
xn?
xn
(n?
2)
(n?
1)
?
x1
x1
(n?
2)
?
a1x1x2?
a1x2?
a1xn
x1x1?
?
(n?
1)
x2?
x2?
x2
(n?
1)
(n?
2)
(n?
1)
(n?
1)
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
(?
a1xn
(n?
1)
xn?
xn?
xn
(n?
2)
(n?
1)
?
x1
(?
a1x1
(n?
2)
?
?
?
anx1)?
a1x1(?
a1x2?
?
?
anx2)?
a1x2?
?
?
anxn)?
a1xn
x1?
x1
?
?
x1
?
a2x1?
0
(n?
2)
(n?
2)
x2?
x2?
x2
?
a2x2
(n?
2)
(n?
2)
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
a2xn
xn?
xn?
xn
(n?
2)
(n?
2)
?
?
?
anx1?
?
?
anx2?
?
?
anxn
所以w?
(t)?
a1(t)w(t)?
0。
这说明w(t)满足一阶线性齐次方程
(1),因而有w(t)?
ce
?
?
ta1(s)ds
0t
,当t?
t0时,
c?
w(t0),所以w(t)?
w(t0)e
t
?
?
ta1(s)ds
t
。
评注:
公式w(t)?
w(t0)e
?
?
ta1(s)ds
是著名的刘维尔(liouville)公式,反映了线性齐次
方程n个解和系数之间的关系。
由此可得到重要结论:
若线性齐次方程的n个解的朗斯基行列式在一点为零,则其朗斯基行列式恒为零,即朗斯基行列式或者恒为零,或者恒不为零。
?
?
a1(t)x?
?
a2(t)x?
0的解,这里a1(t)和4-4假设x1(t)?
0是二阶线性齐次方程?
xa2(t)于区间[a,b]上连续,试证
1)x2(t)为方程的解的充分必要条件是w?
[x1,x2]?
a1w[x1,x2]?
0;2)方程的通解可表为x(t)?
x1[c1?
1x1
2
exp(?
?
a1(s)ds)dt?
c2]
t0
t
其中c1,c2为任意常数,t0,t?
[a,b]。
证1)充分性。
因为
w?
[x1,x2]?
dx1?
1dtx
x2?
2x
?
?
1x?
1x
?
2x?
2xx1?
?
1x
?
x1?
?
1x
x2?
?
2x
?
x1?
?
1xx2?
2xx2?
?
2x
,
w?
[x1,x2]?
a1(t)w[x1,x2]?
x2?
?
2x
?
a1(t)
x1?
1x
?
x1
?
?
1?
a1(t)x?
1x
x2
?
?
2?
a1(t)x?
2x
?
0
而x1(t)?
0是已知方程的解,所以
x1?
a2(t)x1
x2
?
?
2?
a1(t)x?
2x
?
x1
1?
a2(t)
x2
?
?
2?
a1(t)x?
2x
?
0
?
2?
a1(t)x?
2?
a2(t)x2?
0,即x2(t)是方程的解。
故有?
x
必要性。
因为w[x1,x2]为方程的解x1(t),x2(t)的朗斯基行列式,
w?
[x1,x2]?
x1?
?
1xx1?
1?
a1(t)x
x2?
?
2x
?
x1
?
?
1?
a2(t)x1x
x2?
2?
a1(t)x
x2
?
?
2?
a2(t)x2x
x1?
1x
x2?
2x
?
?
a1(t)w[x1,x2]
?
?
?
a1(t)
即w[x1,x2]满足w?
[x1,x2]?
a1w[x1,x2]?
0。
2)设t0?
[a,b],x(t)是原方程不同于x1(t)的另一特解,不妨设它满足
【篇三:
习题4[1].1解答
(1)】
程
dy
?
x?
y2通过点(0,0)的第三次近似解.dx
x
解:
所给方程满足解的存在唯一性定理.
22
?
0(x)?
0,?
1(x)?
y0?
?
?
?
x?
(?
0(x))?
?
dx?
x,
1
2
?
22?
2
?
?
2(x)?
y0?
?
?
x?
(?
(x))dx?
x?
(x)dx?
x?
1?
?
?
?
?
2
xx
?
1
2
?
1215
x.20
x
22?
?
3(x)?
y0?
?
?
x?
(?
(x))dx?
x?
2?
?
1
21518111
x?
x?
x.201604400
2.求方程
dy
?
x?
y2通过点(1,0)的第二次近似解.dx
x
20
x
解:
所给方程满足解的存在唯一定理.
2
?
?
0(x)?
y0?
0,?
1(x)?
y0?
?
?
x?
?
(x)dx?
xdx?
x?
?
?
?
22
x0
1
11
?
?
121?
2?
121131511
?
?
2(x)?
y0?
?
?
x?
?
(x)dx?
x?
x?
?
x?
x?
x?
x?
.?
?
?
?
?
?
?
2?
?
462030x01?
?
?
2?
2
x
x
2
1
3.求初值问题
dy
?
x2?
y2,y(?
1)?
0;r:
x?
?
1,y?
1dx
的解的存在区间,并求第二次近似解。
给出在解的存在区间的误差估计.解:
(1)由存在定理知,解的存在区间是x?
1?
h,其中h?
min?
a,而现在,a?
1,b?
1,m?
maxx?
y?
4,故h?
r
2
2
?
?
b?
?
.m?
1.4
x
x
(2)
23
?
?
0(x)?
y(?
1)?
0,?
1(x)?
y0?
?
?
x?
?
(x)dx?
xdx?
x?
?
?
?
33
x0
?
1
2
20
11
?
2?
131?
2?
?
2(x)?
y0?
?
?
?
x?
?
(x)?
?
dx?
?
?
x?
?
3x?
3?
?
dx
?
?
?
?
?
x0?
1?
x
x
2
2
1
?
131714111x?
x?
x?
x?
.36318942
mlnhn?
1
(3)第n次近似解?
n(x)和真解?
(x)的误差估计公式为?
n(x)?
?
(x)?
.
(n?
1)!
其中l为lipschitz常数,因
?
f
?
2y?
2,故可取l?
2.则?
y
ml2h34?
22131
?
2(x)?
?
(x)?
?
()?
.
3!
3!
424
4.采用逐步逼近法求解初值问题
dy
?
x?
y?
1,y(0)?
1.dx
解:
显然方程右端函数满足定理4.1.1条件.按逐步逼近法公式,初值问题的各次近似解为
x
?
0(x)?
1,?
1(x)?
1?
?
(x?
1?
1)dx?
1?
2x?
x2
x
12
?
2(x)?
1?
?
[x?
(1?
2x?
x2)?
1]dx?
1?
2x?
123213x?
x2!
3!
?
?
?
n(x)?
1?
2x?
3233
x?
?
?
xn?
xn?
12!
n!
(n?
1)!
3233
x?
?
?
xn?
xn?
1?
?
2!
n!
(n?
1)!
原初值问题的解为?
(x)?
lim?
n(x)?
1?
2x?
n?
?
?
3ex?
x?
2.
5.验证:
方程希兹条件.
解:
因f(x,y)?
y,故
42
f(x,y1)?
f(x,y2)?
y14?
y2?
y1?
y2?
y12?
y2?
y1?
y2?
ly1?
y2
dy
?
y4的右端函数在条形区域:
x?
?
?
y?
b(b为正常数)上满足李普dx
4
其中l?
4b,即f(x,y)?
y在所讨论的条形区域上满足李普希兹条件
.这里不存在全平面适用的l.6.验证:
方程件。
解:
由f(x,y)34
dy?
dx
x?
?
?
?
?
y?
?
?
(?
?
0)上满足李普希兹条
得
?
f
?
?
可取李普希兹常数l?
则?
yf(x,y1)?
f(x,y2)?
?
f(x,?
)
?
y1?
y2?
ly1?
y2?
y
故f(x,y)?
7.求初值问题
.
dy
?
x?
y3,y(0)?
0解的存在区间.dx
3
解:
设r?
(x,y)x?
a,y?
b,f(x,y)?
x?
y,则
?
?
(1)f(x,y)在r内连续;
22
(2)fy(x,y)?
3y?
3b,有界.
故原初值问题的解在x?
h?
min?
a,
?
b?
f(x,y)?
?
a?
b3上存在唯一.?
?
m?
maxr
?
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