常微分方程习题及答案.docx
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常微分方程习题及答案
第十二章常微分方程
(A)
、是非题
任意微分方程都有通解。
()
2.
微分方程的通解中包含了它所有的解。
3.
函数y3sinx4cosx是微分方程
y0的解。
()
4.
函数yx2ex是微分方程y2y
0的解。
()
5.
微分方程xyInx0的通解是y
1
一Inx
2
C(C为任意常数)。
()
6.y
siny是一阶线性微分方程。
(
)
7.
■y
xyxy不是一阶线性微分方程。
()
8.
■y
2y5y0的特征方程为r22r
50。
(
)
9.
dy
1xy2xy2是可分离变量的微分方程。
(
)
dx
填空题
1.
.在横线上填上方程的名称
①y
3Inxdxxdy0是
。
②xv
2xdxyx2ydy0是
。
③X鱼ylnY是
。
dxx
④xy
yx2sinx是
。
⑤y
y2y0是
。
2.
.y
sinxyxcosx的通解中应含
个独立
常数。
3.
.y
e2x的通解是
。
4.
.y
sin2xcosx的通解是
。
5.
.xy
2x2y2x3yx41是
阶微分方程。
6.
■微分方程yyy60是
一阶微分方程。
o
y1所满足的微分方程是
x
8.
勿的通解为
x
9.
dx
dy0的通解为
x
10.
dy
dx
耳x12,其对应的齐次方程的通解为
11.
方程xy1x2
0的通解为
12.
3阶微分方程
x3*的通解为
、选择题
1.微分方程
xyy
0的阶数是()
2.微分方程
x567**1的通解中应含的独立常数的个数为
3.下列函数中,哪个是微分方程
dy
2xdx
0的解(
A.y2xB.yx2C.
2xD
cosx
其中C1,C2为任意常数。
A.通解B.特解C.是方程所有的解
D.上述都不对
8.微分方程yy
sinx的一个特解具有形式
yacosx
A.yasinx
C.yxasinx
bcosx
yacosxbsinx
9.下列微分方程中,
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是二阶常系数齐次线性微分方程。
A.y2y0B.yxy3y20
C.5y4x0D.y2y10
10.微分方程yy0满足初始条件y01的特解为()。
A.exB.ex1C.ex1D.2ex
11.在下列函数中,能够是微分方程yy0的解的函数是()<
A.y1B.yxC.ysinxD.yex
12.过点1,3且切线斜率为2x的曲线方程yyx应满足的关系是()
A.y2x
b.y
2xC.y
2x,
y13
D
•
y2x,
y13
13.卜列微分方程中,
可分离变量的是(
)0
a.®y
e
B.鱼
kx
aby
(k,
a,
b是常数)
dxx
dx
dy
C.sin
yx
D.y
xy
2x
ye
dx
14.方程y
2y0的通解是()
。
A.ysinxB.
y4e2xC
.y
Ce2xD.
y
xe
15.微分方程
dxdy
0满足y|x3
4的特解是(
)
c
)
yx
A.x2y2
25B
.3x4yC
C
22
.xy
!
C
D.x2
y27
16.微分方程
dy1
y0的通解是
y(
)0
dxx
A.CB
.Cx
1
C.-C
D.
xC
x
x
17.微分方程
yy
0的解为()
。
A.exB
x
.e
xx
C.ee
D
xe
18.下列函数中,为微分方程xdx
ydy
0的通解是(
)
0
A.xyi
CB
.x2y2C
C.
Cxy
0
D
.Cx2
y0
19.微分方程2ydy(
dx0的通解为
()
0
A.y2x
CB
.yxC
C
.yx
C
D
.yx
C
A.
sinx
cosyC
B
.cosysinxC
C.
cosx
sinyC
D
cosxsinyC
21.
ye
x的通解为y
(
)
。
A.
xe
B.ex
C
.e
xC1xC2D.exGxC
22.
按照微分方程通解定义,
y
sinx的通解是()。
A.
sinxC1xC2
B
.sinxC1C2
C.
sinx
C1xC2
D
.sinxC1C2
20.微分方程cosydysinxdx的通解是()
o
四、解答题
1.验证函数yCe3xe2x(C为任意常数)是方程史e2x3y的通解,dx
并求出满足初始条件yLo0的特解。
22
2.求微分方程Xy1dXy1Xdy0的通解和特解。
y|xo1
3.求微分方程直—tan#的通解。
dxxx
4.求微分方程
xy
yx的特解。
yIxi2
5.求微分方程yycosxesinx的通解。
6.求微分方程®—sinx的通解。
dxx
7
7.求微分方程x1y2yx仔0的特解。
y|x01
8.求微分方程y孕瓦满足初始条件x0,y1,y3的特解。
x1
9.求微分方程y2yy满足初始条件x0,y1,y2的特解。
10.验证二元方程x2xyy2C所确定的函数为微分方程
x2yy2xy的解。
解。
11•求微分方程exyexdxexy
eydy0的通解
12.
13.
求巴ytanxsecx,y|x00的特解。
dx
验证y1cosx,y2sinx都是y
2y0的解,并写出该方程的通
14.
求微分方程
y
2y
x
15.
求微分方程
y
1
y
x
16.
求微分方程
dy
2
dx
x1
17.
求微分方程
x
-dx
1
y
18.
求微分方程
y
y:
19.
求微分方程
y
2y
20.
求微分方程
y
4y
21.
试求yx
的经
[过点
2
—的通解。
0满足初始条件y1
x13的通解。
dy0满足条件yO
0的通解。
5y0的通解。
4y0的通解。
M0,1且在此点与直线
(B)
0的特解。
1的特解。
21相切的积分曲线。
、是非题
1.可分离变量微分方程不都是全微分方程。
(
2.
y1x与y2x线性无关,
若y1x,y2x都是yPxyQx的特解,且
则通解可表为yxy1xCy1xy2x。
()
3.函数ye1x-2x
e~是微分方程y12y1
2y0的解。
()
4.曲线在点x,y处的切线斜率等于该点横坐标的平方,则曲线所满足的微分方程是yx2C(C是任意常数)。
()
1
5.微分方程ye2xy,满足初始条件yIo0的特解为ey—e2x1。
()
2
二、填空题
1.y1cosx与y2sinx是方程yy0的两个解,则该方程的通解为一。
2.
微分方程
2y3y0的通解为
3.
微分方程
2yy0的通解为
4.
微分方程
e2x的通解是
5.
微分方程
y'的通解是
6.
微分方程
dy
dx
2xy的通解是
、选择题
1•微分方程
4y4y0的两个线性无关解是()
2x
A.e2x与2e2xB.e2x与xe2xC
e2x与xe
2xD.e2x与4
2xe
2.下列方程中,不是全微分方程的为(
A.3x26xy2dx6x2y4y2dy
.eydx
xey
2ydy
C.yx2ydxx2dy0
ydx
xdy
3.下列函数中,哪个函数是微分方程
g的解()
2
A.sgtB.sgtC.s
2gt
4.下列函数中,是微分方程y7y
12y0的解()
x2C.y
e3x
2x
ye
5.方程1x2yxy
0的通解是(
C
~^x2
1x3Cx
12
x
Cxe2
6.微分方程
yInxdx
xIn
ydy满足
y|x
11的特解是(
A.ln2x
2
lny
ln2x
ln2y1
C.ln2x
ln2y0
In
ln2y1
7.微分方程
1x2dy
1y2dx
0的通解是(
A.arctanxarctany
tanxtany
C.lnxlnyC
cotxcotyC
A.y
sin
x
B
.y
sinx
C.y
sin
xC1x
C2
D.
y
sinxC1xC2
9.方程
xyy
3的通解是(
)0
C门
3
CcC
A.y
3
b.y
CC.
y
3D.y3
x
x
xx
四、解答题
1.求微分方程
y9y
24x
6cos3x
2sin3x的通解。
2.求微分方程
y7y
6y
sinx的通解。
8•微分方程ysinx的通解是()
o
3.求微分方程3x22xyy2dxx22xydy0的通解。
(C)
—、是非题
1.只要给出n阶线性微分方程的n个特解,就能写出其通解。
2.已知二阶线性齐次方程yPxyQxy0的一个非零解y,即可求出它的通解。
()
二、填空题
1.微分方程y4y5y0的通解是。
2.已知y1,yx,yx2某二阶非齐次线性微分方程的三个解,则该方
程的通解为。
3.微分方程y
2y
2y
ex的通解为
。
选择题
1.微分方程y
y
1
2
的通解为(
)。
x
xx
1
A.arctanxC
B
1
.—.
arctanx
CC
1
arctanxCD.arctanx
C
x
x
x
2.微分方程y
y
1的通解是(
)。
A.yCex
B
.y
Cex
1C.
yCex1D.yC1
xe
3汀03的解是()
B.y31xC.y1
4.
tan丫的通解为()
x
5.
A.sin—Cxx
已知微分方程
sin^
x
.x
sin
y
Cx
.x
sin
y
1
Cx
5
12的一个特解为
7
12,则此微分
方程的通解是()
2
11
C.Cx1
_2
11
6.微分方程
1的一个特解应具有形式
(式中a,b为常数)()
A.aexbB.axexbC.aexbxD.axexbx
四、解答题
1.设yex是微分方程xypxyx的一个解,求此微分方程满足条件y|xln20的特解。
2.已知%xexe2x,y2xexex,y3xexe2xex是某二阶线性非齐次微分方程的三个解,求此微分方程。
1
3.已知f0-,试确定fx,使exfxydxfxdy0为全微分方程,
2
并求此全微分方程的通解。
第十二章微分方程
(A)
一、是非题
1.X;2.X;3.V;4.X;5.V;6.X;7.X;8.V;9.Vo
二、填空题
1.在横线上填上方程的名称
①可分离变量微分方程;②可分离变量微分方程;③齐次方程;
2.3;
3.
1_e4
2x
xC2;
4.1
4
sin2x
cosx
C1x
C2;
5.3;
6.2;
7.
y
2
y
0;8.
yCx2;
9.x
22
y
C;
10.y
C
x
12;
11.y
x2
Cxe2;
12.y
1
x
6C1
x
C2x
C3。
120
、选择题
1.D
2.
A;
3.E
3;4.B;
5.C;6.
A;7.
B;8.
C;9.
A;
10.
\;11.
12.C;
13.
.B;
14.
.C;15.
A16.B;
17.B;
18.B
;19.
A;
20.[
D21.
④一阶线性微分方程;⑤二阶常系数齐次线性微分方程。
22.A.
C;
C;
四、解答题
1.验证函数y
Ce3xe2x(C为任意常数)是方程鱼
dx
e2x3y的通解,
并求出满足初始条件
y|xo的特解。
2.求微分方程
2
xy
y|xo
2
1dxy1xdy0的通解和特解。
i
y21。
3.求微分方程
dy
dx
tan-的通解。
x
解:
sin,Cx
x
4.求微分方程
y
y|x12
y
x的特解。
解:
y22x2In
5.求微分方程y
ycosxesinx的通解。
解:
yesinxxC
6
-sinx的通解。
x
.求微分方程鱼
dx
解:
y
1
sinxxcosxC。
x
7
7•求微分方程x1y2yx门0的特解。
yIxo1
2312
解:
yx12x1。
33
8•求微分方程y孕兰满足初始条件x0,y1,y3的特解。
x1
解:
yx33x1。
9•求微分方程y2yy满足初始条件x0,y1,y2的特解。
解:
arctanyx
tanx
10.验证二元方程
x2
xy
y2C所确定的函数为微分方程
x2yy2xy的解。
解:
略。
解。
11.
解:
12.
解:
13.
求微分方程exye
ex1ey1C。
求鱼ytanxdx
x
y
cosx
验证y1cosx,
解:
略。
14.
求微分方程
解:
yCx2x
15.
求微分方程
解:
x
e
yex
x
16.
求微分方程
y
y
o
dx
secx,
yIx
yeydy0的通解。
00的特解。
y2sinx都是y
2
Inx。
dy
dx
2y0的解,并写出该方程的通
o满足初始条件y10的特解。
x13的通解。
解:
yx12宁C
17•求微分方程—dx丄dy0满足条件yO1的特解。
1y1x
解:
2y3x33y2x25。
18•求微分方程yy2y0的通解。
解:
yGexC2e2x。
19.求微分方程y2y5y0的通解。
解:
yexC1cos2xC2sin2x。
20.求微分方程y4y4y0的通解。
解:
yC1C2xe2x。
x
21.试求yx的经过点M0,1且在此点与直线y—1相切的积分曲线
2
解:
y^x3丄x1。
62
(B)
、是非题
1.X;2.v;3.V;4.X;5.X。
、填空题
1.yC1cosxC2sinx;2.yC1exC2e3x;3.yC1C2xex;
2.求微分方程y
7y6ysinx的通解。
4.y
12xe
8
C1X2
C2X
x
C3;5.yGeC26.y
Ce"
三、选择题
1.C
;;2.C
;3.
C;4.
C;5.D;6.A;7.A;8.C;
9.A.
四、解答题
1.求微分方程
y
9y
24x6cos3x2sin3x的通解。
解:
yC1xcos3x
C22x2xsinx3x
解:
6x
y6e
C2ex
1
7cosx
5sinx0
74
3.
求微分方程
3x2
2xy
y2dx
x22xydy0的通解
解:
2
yxyx
2C
。
x
(C)
、是非题
1.x;2.V;
、填空题
1.ye2xC1cosxC2sinx
2.yC,x1C2x211;
x
3.yeGcosxC2sinx1
三、选择题
1.B;2.C;3.A;4.A;5.D;6.D.
四、解答题
1•设yex是微分方程xy
pxyx的一个解,求此微分方程满足条件
y|xln20的特解。
解:
代入y
ex到方程xy
Pxy
原方程为xy
xexxy
x
y
xex
e1Ce
,y
■/xIn2,
y0二C
1
e20
e
x1
yex1e
2
0
2.已知%
x2x
xee,y2
x
xe
齐次微分方程的三个解,求此微分方程。
解:
y1y3ex,y3y2e2x
x中,得pxxexx
ex1y1
ex,yxexe2xex是某二阶线性非
2ex均是齐次方程的解且线性无关。
GexC2e2x2ex是齐次方程的通解。
当G2,C21时,齐次方程的
特解为
2xe
ex、e2x都是齐次方程的解且线性无关。
•••GexC2e2x是齐次方程的通解。
由此特征方程之根为-1,2,故特征方程r2r20
相应的齐次方程为yy2y0
故所求的二阶非齐方程为
yy2yfx
yi是非齐次方程的特解代入上式得
fx12xex
所以yy2y12xex为所求的微分方程。
0为全微分方程,
1
3.已知f0-,试确定fx,使exfxydxfxdy
2
并求此全微分方程的通解。
解:
P
exf
『x
y,
x
f
x
e
f
x,
•••f
x
e
dx
x
ee
•••f
0
1
C
)**
2
x
Q
fx
,由
Q
P得
x
y
即1
fx
fx
xe
dx
C
xex
C
x
1
fx
e
x—
2
x
得全微分方程:
ydxexx
2
*dy0
解得ux,y
x
0dx
0
-dy
2
故此全微分方程的通解为宀*yC
2
4.微分方程y3y3的一个特解是(
A.yx31B.yx23C
5.函数ycosx是下列哪个微分方程的解(
A.yy0B.y2y0C.yn
6.yGexC2ex是方程yy0的()
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