常微分方程试题及答案.docx
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常微分方程试题及答案
第十二章常微分方程
(A)
、是非题
1•任意微分方程都有通解。
(X)
2•微分方程的通解中包含了它所有的解。
(X)
3.函数y3sinx4cosx是微分方程yy0的解。
(O)
4•函数yxex是微分方程y2yy0的解。
(X)
12
5.微分方程xyInx0的通解是y-InxC(C为任意常数)。
(O)
2
6.y
siny是一阶线性微分方程。
(X)
7.y
xyxy不是一阶线性微分方程。
(O)
8.y
2y5y0的特征方程为r22r50。
(O)
9.矽
1xy2xy2是可分离变量的微分方程。
(O)
dx
、填空题
A.3B
A.y2xB.yx2C.
2xD
A.3B
2
4.微分方程y3y3的一个特解是(
A.yx31B.yx23C.y
5.函数ycosx是下列哪个微分方程的解(
cosx
A.yy0B.y2y0C.yn
6.yC1exC2ex是方程yy0的(A),其中G,C2为任意常数
A.通解B.特解C.是方程所有的解D.上述都不对
7.yy满足ylx02的特解是(B)。
x
A.yex1B.y2ex
C.y2e2D.y3ex
8.微分方程yy
sinx的一个特解具有形式(C)。
*
A.yasinx
B
*
yacosx
C.y*xasinx
bcosx
*
D.yacosxbsinx
9.下列微分方程中,
(A)
是二阶常系数齐次线性微分方程。
A.y2y0
yxy3y20
C.5y4x0D.y2y10
10.微分方程yy0满足初始条件y01的特解为(A)。
A.exB.ex1C.ex1D.2ex
11.在下列函数中,能够是微分方程yy0的解的函数是(C)。
A.y1B.yxC.ysinxD.yex
12.过点1,3且切线斜率为2x的曲线方程yyx应满足的关系是
(C)o
A.y2xB.y
2xC.y
2x,y13D.
y
2x,y13
13.卜列微分方程中,
可分离变量的是(B)o
A.3丫e
B.鱼
kxaby(k,a,
b是常数)
dxx
dx
C.史sinyx
D.y
xyy2ex
dx
14.方程y2y0的通解是(C)
o
A.ysinxB.
y4e2xC
yCe2xD.y
xe
15.微分方程空
0满足y|x3
4的特解是(A)
o
yx
A.x2y225B
.3x4yC
C.x2y2C
D
22
.xy7
16.微分方程矽—
y0的通解是
y(B)o
dxx
C
A.CB.Cx
1
C.丄C
D.xC
x
x
17.微分方程yy
0的解为(B
)o
A.exB.ex
xx
C.ee
D.ex
18.下列函数中,为微分方程xdx
ydy0的通解是(B
)
o
A.xyCB
.x2y2C
C.Cxy0D
Cx2y0
19.微分方程2ydydx0的通解为(A)
A.
sinx
cosyC
B
.cosy
sinx
C
C.
cosx
sinyC
D
cosx
siny
C
21.
ye
x的通解为y
(C)
o
A.
xe
B.e
C.ex
C1xC2
D
.exC1XC
22.
按照微分方程通解定义,y
sinx的通解是(
A)o
A.
sinxC1xC2
B
sinx
C1
C2
C.
sinx
C1xC2
D
sinx
C1C2
20.微分方程cosydy
sinxdx的通解是(D)
o
A.y2xCB
yxCC.yxCD
四、解答题
1.验证函数yCe3xe2x(C为任意常数)是方程凹e2x3y的通解,dx
并求出满足初始条件yLo0的特解。
22
2.求微分方程
xy1dxy1xdy0的通解和特解。
yIxo1
解:
二C,2x2y21
3.求微分方程鱼—tan丫的通解
dxxx
解:
sin'Cxo
x
解:
1y—sinx
xcosx
C
x
7
7.
求微分方程
x
1y
2yx12
0的特解。
y|x
01
解:
2
:
y—x1
3
2
1-x
12
3
3
8.
求微分方程y
2yx
24
满足初始条件
x0,y1,y3的特解。
x1
解:
yx33x
1
9•求微分方程y2yy满足初始条件x0,y1,y2的特解。
解:
arctanyx或ytanx—
44
10.验证二元方程x2xyy2C所确定的函数为微分方程
x2yy2xy的解。
11.求微分方程exyexdxexyeydy0的通解。
解:
ex1ey1C
12.求绥ytanxsecx,y|x00的特解。
dx
解:
y—
cosx
13.验证y1cosx,y2sinx都是y2y0的解,并写出该方程的通
14.求微分方程y
2yx2
x
的通解
解。
解:
yCx2x21nx
1
15.求微分方程y-yex0满足初始条件y10的特解。
x
x
解:
yJex
16.求微分方程dy
2
x
1y
x1'的通解。
dx
解:
yx12
x
12
C
2
17.求微分方程
x
—dx
y
-dy0满足条件y01的特解。
1
y
1x
解:
2y3x3
3y
22
x
!
5
18.求微分方程
y
y
2y
0的通解。
解:
yC1ex(
C2e
2x
19.求微分方程
y
2y
5y
0的通解。
解:
yexC1cos2xC
2sin2x
20.求微分方程
y
4y
4y
0的通解。
解:
y
C1
C2Xe
2x
21.试求yx的经过点M0,1且在此点与直线y
解:
y—x3—x1
62
f1相切的积分曲线
(B)
、是非题
1.可分离变量微分方程不都是全微分方程。
(X)
2.若y1x,y2x都是yPxyQx的特解,且y1x与y?
x线性无关,
则通解可表为yxy1xCy1xy2x。
(O)
3.函数ye1xe2x是微分方程y12y1?
y0的解。
(O)
4.曲线在点x,y处的切线斜率等于该点横坐标的平方,则曲线所满足的微
分方程是yx2C(C是任意常数)。
(X)
5.微分方程ye2xy,满足初始条件ylxo0的特解为ey丄e2x1
2
(X)
二、填空题
1.yicosx与ysinx是方程yy0的两个解,则该方程的通解为
yC1cosxC2sinx
2.
微分方程
2y
3y0的通解为y
C1e
xC2e3xo
3.
微分方程
2y
y0的通解为y
C1
C2xexo
4.
微分方程
e2x的通解是y1e
2x
C1x2
C?
XC3o
5.
微分方程
y'的通解是yGex
C2o
6.
微分方程
dy
dx
2xy的通解是yC
exo
、选择题
1.微分方程
4y4y0的两个线性无关解是(C)
A.e2x与2e2xB.e2x与xe2xC.e2x与xe
2x2x2x
D.e与4e
2.下列方程中,不是全微分方程的为(C)
A.3x26xy2dx6x2y4y2dy
B.eydx
xey
2ydy
C.yx2ydxx2dy0
ydx
xdy
3.下列函数中,哪个函数是微分方程
tg的解(C
2
A.sgtB.sgtC.s
2gt2D.s
2a
1
2gt
4.下列函数中,是微分方程y7y
12y0的解(C)
A.yx3B.y
x2C.ye
3xD.
2x
ye
5.方程1x2yxy
0的通解是(D)o
A.yC.1x2B
C
.yx2
=x3Cx
2
2x2
Cxe2
6.微分方程
yInxdx
xlnydy满足
y|x11的特解是(A)
A.In2x
ln2y
ln2x
ln2y1
C.ln2x
ln2y
ln2x
ln2y1
7.微分方程
1x2
dy
dx0的通解是(A)o
C.lnxlny
C
D
•
cotx
coty
C
8.微分方程y
sinx
的通解是(
C)
。
A.ysinx
B
.y
sin
x
C.ysin
xC1x
C2
D
y
sin
xxC2
9.方程xyy
3的通解是(
A)
。
A.yC3x
b.y
3
x
CC
.y
C
x
3D.y-
x
A.arctanxarctanyCB.tanxtanyC
3
四、解答题
1.求微分方程
y9y
24x
6cos3x2sin3x的通解。
解:
yC1x
cos3x
C2
2x2
xsinx3x
2.
求微分方程
y7y
6y
sin
x的通解。
解:
y詁
C2ex
1
——7cosx
5sinx
74
3.
求微分方程
3x22xyy2
dx
x22xydy0的通解。
解:
y2xyx
2C
x
(C)
—、是非题
1.只要给出n阶线性微分方程的n个特解,就能写出其通解。
X
2
y,即可
则该方
.已知二阶线性齐次方程yPxyQxy0的一个非零解求出它的通解。
(0)
二、填空题
1.微分方程y4y5y0的通解是ye2xCicosxC2sinx。
2.已知y1,yx,yx2某二阶非齐次线性微分方程的三个解,程的通解为ye2xC1cosxC2sinx。
3.微分方程y2y2yex的通解为yexGcosxC2sinx1
三、选择题
1.微分方程y
1
―r的通解为()
xx1
A.yCex
31
4.
微分方程dy—tan丫的通解为
dxxx
2
11
A.aex
B.axex
bC.aexbxD.axexbx
方程的通解是()
A.-C-
x1
四、解答题
1.设yex是微分方程xypxyx的一个解,求此微分方程满足条件y|xln20的特解。
解:
代入yex到方程xypxyx中,得pxxexx
原方程为xyxexxyx
yex1Ceex,yex1y1
1
•/xIn2,y0/.Ce2。
x1
ex-
2
0
2•已知yixexe2x,y?
xexex,yxexe2xex是某二阶线性非齐次
微分方程的三个解,求此微分方程。
解:
yiyex,yy?
e2x2ex均是齐次方程的解且线性无关。
C1exC2e2x2ex是齐次方程的通解。
当C12,C21时,齐次方程的特解为e2x
ex、e2x都是齐次方程的解且线性无关。
•••C1exC2e2x是齐次方程的通解。
由此特征方程之根为-1,2,故特征方程rr20。
相应的齐次方程为yy2y0
故所求的二阶非齐方程为
yy2yfx
y1是非齐次方程的特解代入上式得
x
fx12xe
所以yy2y12xex为所求的微分方程。
1
3.已知f0-,试确定fx,使exfxydxfxdy0为全微分方程,并
2
求此全微分方程的通解。
解:
P
exf
『x
y,
Q
f
x
,由
Q
P
得
x
y
f
x
xe
f
x,
即
f
x
fx
xe
•f
x
e
dx
x
ee
dx
C
xex
C
•••f
0
1
C
)**
fx
xe
1
x—
5
2
2
解得ux,y
x
0dx
0
yexx-dy
故此全微分方程的通解为exx-yC
2
3.ye2x的通解是-e2xC1xC2。
4
1
4.ysin2xcosx的通解是sin2xcosxC1xC2。
4
5.xy2x2y2x3yx451是3阶微分方程。
6.微分方程yyy670是」阶微分方程。
7.y-所满足的微分方程是yy20。
x
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