学年高中数学第一章集合与函数概念111集合的含义与表示第二课时集合的表示学案含.docx
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学年高中数学第一章集合与函数概念111集合的含义与表示第二课时集合的表示学案含
第二课时 集合的表示
列举法
[提出问题]
观察下列集合:
(1)中国古代四大发明组成的集合;
(2)20的所有正因数组成的集合.
问题1:
上述两个集合中的元素能一一列举出来吗?
提示:
能.
(1)中的元素为造纸术、印刷术、指南针、火药,
(2)中的元素为1,2,4,5,10,20.
问题2:
如何表示上述两个集合?
提示:
用列举法表示.
[导入新知]
列举法
把集合的元素一一列举出来,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.
[化解疑难]
使用列举法表示集合的四个注意点
(1)元素间用“,”分隔开,其一般形式为{a1,a2,…,an};
(2)元素不重复,满足元素的互异性;
(3)元素无顺序,满足元素的无序性;
(4)对于含有有限个元素且个数较少的集合,采取该方法较合适;若元素个数较多或有无限个且集合中的元素呈现一定的规律,在不会产生误解的情况下,也可以列举出几个元素作为代表,其他元素用省略号表示.
描述法
[提出问题]
观察下列集合:
(1)不等式x-2≥3的解集;
(2)函数y=x2-1的图象上的所有点.
问题1:
这两个集合能用列举法表示吗?
提示:
不能.
问题2:
如何表示这两个集合?
提示:
利用描述法.
[导入新知]
描述法
(1)定义:
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法.
(2)具体方法:
在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
[化解疑难]
1.描述法表示集合的条件
对于元素个数不确定且元素间无明显规律的集合,不能将它们一一列举出来,可以将集合中元素的共同特征描述出来,即采用描述法.
2.描述法的一般形式
它的一般形式为{x∈A|p(x)},其中的x表示集合中的代表元素,A指的是元素的取值范围;p(x)则是表示这个集合中元素的共同特征,其中“|”将代表元素与其特征分隔开来.
一般来说,集合元素x的取值范围A需写明确,但若从上下文的关系看,x∈A是明确的,则x∈A可以省略,只写元素x.
用列举法表示集合
[例1]
(1)设集合A={1,2,3},B={1,3,9},若x∈A且x∉B,则x=( )
A.1 B.2
C.3D.9
(2)用列举法表示下列集合:
①不大于10的非负偶数组成的集合;
②方程x2=x的所有实数解组成的集合;
③直线y=2x+1与y轴的交点组成的集合;
④方程组
的解.
[解] 选B
(1)∵x∈A,
∴x=1,2,3.
又∵x∉B,∴x≠1,3,9,故x=2.
(2)①因为不大于10是指小于或等于10,非负是大于或等于0的意思,所以不大于10的非负偶数集合是{0,2,4,6,8,10}.
②方程x2=x的实数解是x=0或x=1,所以方程x2=x的所有实数解组成的集合为{0,1}.
③将x=0代入y=2x+1,得y=1,即交点是(0,1),故直线y=2x+1与y轴的交点组成的集合是{(0,1)}.
④解方程组
得
∴用列举法表示方程组
的解集为{(0,1)}.
[类题通法]
用列举法表示集合的步骤
(1)求出集合的元素;
(2)把元素一一列举出来,且相同元素只能列举一次;
(3)用花括号括起来.
[活学活用]
已知集合A={-2,-1,0,1,2,3},对任意a∈A,有|a|∈B,且B中只有4个元素,求集合B.
解:
对任意a∈A,有|a|∈B.
因为集合A={-2,-1,0,1,2,3},
由-1,-2,0,1,2,3∈A,知0,1,2,3∈B.
又因为B中只有4个元素,
所以B={0,1,2,3}.
用描述法表示集合
[例2]
(1)用符号“∈”或“∉”填空:
①A={x|x2-x=0},则1____A,-1____A;
②(1,2)________{(x,y)|y=x+1}.
(2)用描述法表示下列集合:
①正偶数集;
②被3除余2的正整数的集合;
③平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合.
[解]
(1)①将1代入方程,成立;将-1代入方程,不成立.故1∈A,-1∉A.
②将x=1,y=2代入y=x+1,成立,故填“∈”.
(2)①偶数可用式子x=2n,n∈Z表示,但此题要求为正偶数,故限定n∈N*,
所以正偶数集可表示为{x|x=2n,n∈N*}.
②设被3除余2的数为x,则x=3n+2,n∈Z,但元素为正整数,故x=3n+2,n∈N.所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x=3n+2,n∈N}.
③坐标轴上的点(x,y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0,即xy=0,故坐标轴上的点的集合可表示为{(x,y)|xy=0}.
[答案]
(1)①∈ ∉ ②∈
[类题通法]
利用描述法表示集合应关注五点
(1)写清楚该集合代表元素的符号.例如,集合{x∈R|x<1}不能写成{x<1}.
(2)所有描述的内容都要写在花括号内.例如,{x∈Z|x=2k},k∈Z,这种表达方式就不符合要求,需将k∈Z也写进花括号内,即{x∈Z|x=2k,k∈Z}.
(3)不能出现未被说明的字母.
(4)在通常情况下,集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写.例如,方程x2-2x+1=0的实数解集可表示为{x∈R|x2-2x+1=0},也可写成{x|x2-2x+1=0}.
(5)在不引起混淆的情况下,可省去竖线及代表元素,如{直角三角形},{自然数}等.
[活学活用]
下列三个集合:
①A={x|y=x2+1};
②B={y|y=x2+1};
③C={(x,y)|y=x2+1}.
(1)它们是不是相同的集合?
(2)它们各自的含义分别是什么?
解:
(1)由于三个集合的代表元素互不相同,故它们是互不相同的集合.
(2)集合A={x|y=x2+1}的代表元素是x,且x∈R,所以{x|y=x2+1}=R,即A=R;集合B={y|y=x2+1}的代表元素是y,满足条件y=x2+1的y的取值范围是y≥1,所以{y|y=x2+1}={y|y≥1}.
集合C={(x,y)|y=x2+1}的代表元素是(x,y),是满足y=x2+1的数对.可以认为集合C是坐标平面内满足y=x2+1的点(x,y)构成的集合,其实就是抛物线y=x2+1的图象.
集合表示的应用
[例3]
(1)集合A={1,-3,5,-7,9,…}用描述法可表示为( )
A.{x|x=2n±1,n∈N}
B.{x|x=(-1)n(2n-1),n∈N}
C.{x|x=(-1)n(2n+1),n∈N}
D.{x|x=(-1)n-1(2n+1),n∈N}
(2)设集合B=
.
①试判断元素1,2与集合B的关系;
②用列举法表示集合B.
[解] 选C
(1)观察规律,其绝对值为奇数排列,且正负相间,且第一个为正数,故应选C.
(2)①当x=1时,
=2∈N;
当x=2时,
=
∉N.
所以1∈B,2∉B.
②∵
∈N,x∈N,
∴2+x只能取2,3,6.
∴x只能取0,1,4.∴B={0,1,4}.
[类题通法]
判断元素与集合间关系的方法
(1)用列举法给出的集合,判断元素与集合的关系时,观察即得元素与集合的关系.
例如,集合A={1,9,12},则0∉A,9∈A.
(2)用描述法给出的集合,判断元素与集合的关系时就比较复杂.此时,首先明确该集合中元素的一般符号是什么,是实数?
是方程?
…,其次要清楚元素的共同特征是什么,最后往往利用解方程的方法判断所给元素是否满足集合中元素的特征,即可确定所给元素与集合的关系.
[活学活用]
用列举法表示集合A={(x,y)|y=x2,-1≤x≤1,且x∈Z}.
解:
由-1≤x≤1,且x∈Z,得x=-1,0,1,
当x=-1时,y=1;当x=0时,y=0;当x=1时,y=1.
∴A={(-1,1),(0,0),(1,1)}.
[典例] 集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R}中只有一个元素,求a的取值范围.
[解] 当a=0时,原方程变为2x+1=0,
此时x=-
,符合题意;
当a≠0时,方程ax2+2x+1=0为一元二次方程,
当Δ=4-4a=0,即a=1时,原方程的解为x=-1,符合题意.
故当a=0或a=1时,原方程只有一个解,此时A中只有一个元素.
[多维探究]
解答上面例题时,a=0这种情况极易被忽视,对于方程“ax2+2x+1=0”有两种情况:
一是a=0,即它是一元一次方程;二是a≠0,即它是一元二次方程,也只有在这种情况下,才能用判别式Δ来解决问题.
求解集合与方程问题时,要注意相关问题的求解,如:
1.在本例条件下,若A中至多有一个元素,求a的取值范围.
解:
A中至多有一个元素,即A中有一个元素或没有元素.
当A中只有一个元素时,由例题可知,a=0或a=1.
当A中没有元素时,Δ=4-4a<0,即a>1.
故当A中至多有一个元素时,a的取值范围为{a|a=0或a≥1}.
2.在本例条件下,若A中至少有一个元素,求a的取值范围.
解:
A中至少有一个元素,即A中有一个或两个元素.
由例题可知,当a=0或a=1时,A中有一个元素;
当A中有两个元素时,Δ=4-4a>0,即a<1.
∴A中至少有一个元素时,a的取值范围为{a|a≤1}.
3.若1∈A,则a为何值?
解:
∵1∈A,
∴a+2+1=0,即a=-3.
4.是否存在实数a,使A={1},若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
解:
∵A={1},∴1∈A,∴a+2+1=0,即a=-3.
又当a=-3时,
由-3x2+2x+1=0,得x=-
或x=1,
即方程ax2+2x+1=0存在两个根-
和1,此时A=
,与A={1}矛盾.
故不存在实数a,使A={1}.
[随堂即时演练]
1.方程组
的解集是( )
A.(-5,4) B.(5,-4)
C.{(-5,4)}D.{(5,-4)}
解析:
选D 解方程组
得
故解集为{(5,-4)}.
2.下列四个集合中,不同于另外三个的是( )
A.{y|y=2}B.{x=2}
C.{2}D.{x|x2-4x+4=0}
解析:
选B 集合{x=2}表示的是由一个等式组成的集合,其他选项所表示的集合都是含有一个元素2.
3.给出下列说法:
①平面直角坐标内,第一、三象限的点的集合为{(x,y)|xy>0};
②方程
+|y+2|=0的解集为{2,-2};
③集合{(x,y)|y=1-x}与集合{x|y=1-x}是相等的.
其中正确的是________(填序号).
解析:
直角坐标平面内,第一、三象限的点的横、纵坐标是同号的,且集合中的代表元素为点(x,y),故①正确;
方程
+|y+2|=0等价于
即
解为有序实数对(2,-2),解集为{(2,-2)}或
,故②不正确;
集合{(x,y)|y=1-x}的代表元素是(x,y),集合{x|y=1-x}的代表元素是x,前者是有序实数对,后者是实数,因此这两个集合不相等,故③不正确.
答案:
①
4.已知A={-1,-2,0,1},B={x|x=|y|,y∈A},则B=________.
解析:
∵|-1|=1,|-2|=2,且集合中的元素具有互异性,
∴B={0,1,2}.
答案:
{0,1,2}
5.用适当的方法表示下列集合:
(1)一年中有31天的月份的全体;
(2)大于-3.5小于12.8的整数的全体;
(3)梯形的全体构成的集合;
(4)所有能被3整除的数的集合;
(5)方程(x-1)(x-2)=0的解集;
(6)不等式2x-1>5的解集.
解:
(1){1月,3月,5月,7月,8月,10月,12月}.
(2){-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}.
(3){x|x是梯形}或{梯形}.
(4){x|x=3n,n∈Z}.
(5){1,2}.
(6){x|x>3}.
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一、选择题
1.下列集合的表示,正确的是( )
A.{2,3}≠{3,2}
B.{(x,y)|x+y=1}={y|x+y=1}
C.{x|x>1}={y|y>1}
D.{(1,2)}={(2,1)}
解析:
选C {2,3}={3,2},故A不正确;{(x,y)|x+y=1}中的元素为点(x,y),{y|x+y=1}中的元素为实数y,{(x,y)|x+y=1}≠{y|x+y=1},故B不正确;{(1,2)}中的元素为点(1,2),而{(2,1)}中的元素为点(2,1),{(1,2)}≠{(2,1)},故D不正确.
2.已知x,y,z为非零实数,代数式
+
+
+
的值所组成的集合是M,则下列判断正确的是( )
A.0∉M B.2∈M
C.-4∉MD.4∈M
解析:
选D 当x,y,z都大于零时,代数式的值为4,所以4∈M.
当x,y,z都小于零时,代数式的值为-4,所以-4∈M.当x,y,z有两个为正,一个为负时,或两个为负,一个为正时,代数式的值为0.所以0∈M.综上知选D.
3.集合{x∈N*|x-3<2}的另一种表示法是( )
A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}
C.{0,1,2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5}
解析:
选B ∵x-3<2,x∈N*,
∴x<5,x∈N*,
∴x=1,2,3,4.
4.已知集合A={x|x=2m-1,m∈Z},B={x|x=2n,n∈Z},且x1,x2∈A,x3∈B,则下列判断不正确的是( )
A.x1·x2∈AB.x2·x3∈B
C.x1+x2∈BD.x1+x2+x3∈A
解析:
选D 集合A表示奇数集,B表示偶数集,
∴x1,x2是奇数,x3是偶数,
∴x1+x2+x3应为偶数,即D是错误的.
5.设P={1,2,3,4},Q={4,5,6,7,8},定义P*Q={(a,b)|a∈P,b∈Q,a≠b},则P*Q中元素的个数为( )
A.4B.5
C.19D.20
解析:
选C 由题意知集合P*Q的元素为点,当a=1时,集合P*Q的元素为:
(1,4),(1,5),(1,6),(1,7),(1,8)共5个元素.同样当a=2,3时,集合P*Q的元素个数都为5个,当a=4时,集合P*Q中元素为:
(4,5),(4,6),(4,7),(4,8)共4个.因此P*Q中元素的个数为19.
二、填空题
6.若集合{1,a+b,a}=
,则a-b=________.
解析:
由题意知a≠0,a+b=0,b=1,则a=-1,
所以a-b=-2.
答案:
-2
7.已知集合A={x|2x+a>0},且1∉A,则实数a的取值范围是________.
解析:
∵1∉{x|2x+a>0},
∴2×1+a≤0,即a≤-2.
答案:
{a|a≤-2}
8.已知-5∈{x|x2-ax-5=0},则集合{x|x2-4x-a=0}中所有元素之和为________.
解析:
由-5∈{x|x2-ax-5=0},得(-5)2-a×(-5)-5=0,所以a=-4,所以{x|x2-4x+4=0}={2},所以集合中所有元素之和为2.
答案:
2
三、解答题
9.已知集合A={a+3,(a+1)2,a2+2a+2},若1∈A,求实数a的值.
解:
①若a+3=1,则a=-2,
此时A={1,1,2},不符合集合中元素的互异性,舍去.
②若(a+1)2=1,则a=0或a=-2.
当a=0时,A={3,1,2},满足题意;
当a=-2时,由①知不符合条件,故舍去.
③若a2+2a+2=1,则a=-1,
此时A={2,0,1},满足题意.
综上所述,实数a的值为-1或0.
10.用适当的方法表示下列集合:
(1)比5大3的数;
(2)方程x2+y2-4x+6y+13=0的解集;
(3)二次函数y=x2-10的图象上的所有点组成的集合.
解:
(1)比5大3的数显然是8,故可表示为{8}.
(2)方程x2+y2-4x+6y+13=0可化为(x-2)2+(y+3)2=0,∴
∴方程的解集为{(2,-3)}.
(3)“二次函数y=x2-10的图象上的所有点”用描述法表示为{(x,y)|y=x2-10}.
11.
(1)已知集合M=
,求M;
(2)已知集合C=
,求C.
解:
(1)∵x∈N,
∈Z,
∴1+x应为6的正约数.
∴1+x=1,2,3,6,即x=0,1,2,5.
∴M={0,1,2,5}.
(2)∵
∈Z,且x∈N,
∴1+x应为6的正约数,
∴1+x=1,2,3,6,此时
分别为6,3,2,1,
∴C={6,3,2,1}.
12.若集合A=
有且只有一个元素,试求出实数k的值,并用列举法表示集合A.
解:
当k=0时,方程组
可化为
解得
此时集合A为-
,0;
当k≠0时,要使集合A有且只有一个元素,则方程kx2-2x-1=0有且只有一个根,所以
解得k=-1,代入
中得
解得
即A={(-1,0)}.
综上可知,当k=0时,A=
;当k=-1时,A={(-1,0)}.
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