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111集合的含义与表示
1.1.1集合的含义和表示
一、基础知识
(一)集合的概念
1、集合:
把一些对象放在一起考虑时,就说这些食物组成了一个集合,给这些对象的总的名称,就是这个集合的名字。
集合通常用大写的拉丁字母表示,如A、B、C、……
元素通常用小写的拉丁字母表示,如a、b、c、……
2、集合中元素的特征
(1)确定性:
设A是一个给定的集合,x是某一个具体对象,则或者是A的元素或者不是A的元素,两种情况必有一种且只有一种成立。
(2)互异性:
一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体,因此,同一集合中不应重复出现同一元素。
(3)无序性:
集合与其中元素的排列次序无关。
3、两个集合相等:
构成两个集合的元素是一样的。
4、元素与集合的关系
(1)如果a是集合A的元素,就说a属于A,记作a∈A
(2)如果a不是集合A的元素,就说a不属于A,记作a
A。
5、集合的分类:
根据集合所含元素个数不同,可把集合分为如下几类。
(1)元素个数有限的集合叫做有限集(或有穷集);
(2)元素个数无限的集合叫做无限集(或无穷集);
(3)没有元素的集合叫做空集,记作Ф。
(二)、集合的表示:
{…}
1.常用数集及其记法
全体整数的集合叫做整数集,记作Z;
全体有理数组成的集合叫做有理数集,记作Q;
全体实数组成的集合叫做实数集,记作R;
全体自然数组成的集合叫做自然数集,记作N。
约定0是自然数,即0∈N。
2.集合的表示方法:
(1)列举法:
把集合中的元素一个一个的写出来,写在大括号内。
如:
{1,2,3,4,5},{x2,3x+2,5y3-x,x2+y2},…;
说明:
元素与元素之间必须用“,”隔开;集合的元素必须是明确的;不必考虑元素出现的先后顺序;集合的元素不能重复;集合的元素可以表示任何事物;对含有较多元素的集合,如果构成该集合的元素具有明显的规律,可用列举法表示,但是必须把元素间的规律显示清楚后,才能用省略号表示。
(2)描述法:
把集合中的元素公共的,也只有该集合中元素才有的属性描述出来,
以确定这个集合。
写在大括号{}内。
说明:
文字描述法---用文字把元素所具有的属性描述出来,如{自然数};
符号描述法---用符号把元素所具有的的属性描述出来,如{x|p(x)}。
如:
{x|x-3>2},{(x,y)|y=x2+1},{直角三角形},…。
(三)、区间的表示
设a,b是两个实数,a
用符号表示:
(a,b)={x∈R|a 全体实数也可用区间表示为(-∞,+∞),符号“+∞”读作“正无穷大”,“-∞”读作“负无穷大”. 二、例题 例1、考查下列每组对象能否构成一个集合: (1)著名的数学家 (2)某校2001年在校的所有高个子同学 (3)不超过20的非负数; (4)方程 在实数内的解; (5)直角坐标系平面内第一象限的一些点。 例2: 用符号∈或 填空: (1)1______N,0______N,-3______N,0.5______N, ______N; (2)1______Z,0______Z,-3______Z,0.5______Z, ______Z; (3)1______Q,0______Q,-3______Q,0.5______Q, ______Q; (4)1______R,0______R,-3______R,0.5______R, ______R. 例3、集合A={x|x=a+ b,a∈Z,b∈Z},判断下列元素x=0、 、 与集合A之间的关系。 例4、用列举法表示下列集合: (1)小于10的所有自然数组成的集合; (2)方程x2=x的所有实数根组成的集合; (3)由1~20以内的所有质数组成的集合. 例5、用描述法表示下列集合 (1)二次函数y=x2图象上的点组成的集合; (2)坐标平面内数轴上的点集合; (3)不等式x-7<3的解集. 例6、分别用列举法、描述法表示方程组 的解集. 例7、在数集{2x,x2-x}中,求实数x的取值范围。 例8、数集{3,x,x2-2x}中,实数x满足什么条件? 例9、已知集合 若 ,求满足条件的实数 组成的集合。 例10、方程ax2+5x+c=0的解集是{ },则a=________,c=_______. 例11、已知 , 。 时,求集合 。 例12、已知集合A={ (1)、若A= ,求实数k的取值范围; (2)、若A是单元素集,求k的值及集合A。 例13、用区间记法表示下列不等式的解集: (1)9≤x≤10; (2)x≤0.4 例14、用集合的性质描述法表示下列区间: (1)(-4,0); (2)(-8,7]. 例15、在数轴上表示集合{x|x<-2或x≥1}. 六、课后练习 1、下列对象能否组成集合: (1)数组1、3、5、7; (2)到两定点距离的和等于两定点间距离的点; (3)满足3x-2>x+3的全体实数; (4)所有直角三角形; (5)美国NBA的著名篮球明星; (6)所有绝对值等于6的数; (7)所有绝对值小于3的整数; (8)中国男子足球队中技术很差的队员; (9)参加2008年奥运会的中国代表团成员. 2、用列举法表示下列集合: (1)大于1且小于6的整数; (2)A={x|(x-1)(x+2)=0}; (3)B={x∈Z|-3<2x-1≤3}。 3、试选择适当的方法表示下列集合: (1)二元二次方程组 的解集 (2)二次函数y=x2-4的因变量组成的集合; (3)反比例函数y= 的自变量组成的集合; (4)不等式3x≥4-2x的解集。 4、数集 满足,若 则 证明: (1)若 ,则在A中还有另外两个数,求出这两个数。 (2)集合A不可能是单元素集。 5、已知集合 ,若 中元素至多只有一个,求 的取值范围。 6、用区间记法表示下列不等式的解集,并在数轴上表示这些区间: (1)-2≤x≤3; (2)-3<x≤4;(3)-2≤x<3; (4)-3<x<4;(5)x>3;(6)x≤4. 7、用集合的性质描述法表示下列区间,并在数轴上表示这些区间: (1)[-1,2); (2)[3,1]. 8、已知数轴上的三个区间: (-∞,-3),(-3,4),(4,+∞).当x在每个区间上取值时,试确定代数式x+3的值的符号.
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