高等代数北大版课件3.4矩阵的秩.ppt
- 文档编号:1826373
- 上传时间:2023-05-01
- 格式:PPT
- 页数:21
- 大小:2.33MB
高等代数北大版课件3.4矩阵的秩.ppt
《高等代数北大版课件3.4矩阵的秩.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高等代数北大版课件3.4矩阵的秩.ppt(21页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
一、矩阵的行秩、列秩、秩,二、矩阵的秩的有关结论,3.4矩阵的秩,三、矩阵秩的计算,一、矩阵的行秩、列秩、秩,定义,的秩称为矩阵A的行秩;,则矩阵A的行向量组,的秩称为矩阵A的列秩.,矩阵A的列向量组,设,引理如果齐次线性方程组,
(1),的系数矩阵,的行秩,那么它有非零解,(若
(1)只有零解,则),证:
的秩为r,,设矩阵A的行向量组,且不妨设为其一个极大无关组.,于是方程组
(1)与方程组
(1)是同解的.,由于向量组与向量组等价,,
(1),所以
(1)有非零解,从而
(1)有非零解.,在
(1)中,定理4矩阵的行秩矩阵的列秩,证明:
设,A的行秩r,A的列秩r1,,下证,先证,则向量组的秩为r,,不妨设是它的一个极大无关组,,于是线性无关,,设A的行向量组为,只有零解.,由引理,方程组
(2)的系数矩阵,(未知量的个数).,的行秩,是r个线性无关的行向量,,中一定可以找到r个线性无关的向量.,从而在矩阵的行向量组,不妨设,则该向量组的延伸组,于是矩阵A的列秩,同理可证.,所以,也线性无关,矩阵的行秩与矩阵的列秩统称为矩阵的秩,,记作秩A或、,定义,注,设,则,若则称A为行満秩的;,若则称A为列満秩的.,若,则,二、矩阵秩的有关结论,定理5设,则,(降秩矩阵),(满秩矩阵),证:
若n1,则A只有一个一维行向量0,,的n个行向量线性相关.,从而A0,,若n1,则A的行向量中至少有一个能由其余,行向量线性表出,,依次减去其余行的相应倍数,这一行就全变成了0.,从而在行列式中,用这一行,若n1,由知,,对n作数学归纳法.,A0,,从而,假若对n1级矩阵结论成立,下证n级的情形.,设,,为A的行向量.,考察A的第一列元素:
若它们全为零,则,若它们有一个元素不为零,,不妨设,则的第2至n行减去第1行的适当倍数后可为,其中,由知,,由归纳假设,矩阵的秩n1,,从而向量组,线性相关,,故在不全为零的数使,改写一下,有,线性相关,不全为零的n个数,推论1,齐次线性方程组,有非零解系数矩阵的行列式=0,只有零解,n个n维向量,推论2,定义,k级子式,在一个sn矩阵A中任意选定k行k列,个元素按原来次序所组成的k级行列式,称为矩阵,位于这些行和列的交点上的,A的一个k级子式,注,矩阵A的k级子式共有个.,有一个级子式不为0.,定理6矩阵的秩为的充要条件是中有一,注,的所有级子式等于0;,若则的不为0的级子式所在行(列),就是A行(列)向量组的一个极大无关组.,则A的任意个行向量,由定理5的推论2,,证:
设,都线性相关,,从而A的任意级子式的行向量也,线性相关.,A的级子式全为0.,下证A至少有一个级子式不为0.,设,因为,所以A有个行向量线性无关,,不妨设A的前个行向量线性无关,,作矩阵,则行列式,显然的行秩为,,从而的列秩也为,,不妨设在中前列线性无关,,此即A的一个级非零子式.,若A的所有级子式全为0,,所有级数大于的子式全为0.,则A的,设,由必要性,不可能有,否则A的级子式全为0.,同样,不可能有,否则A有级子式不为0.,三、矩阵秩的计算,方法一按定义求出A的行(列)向量组的秩.,级数.,方法二利用定理6,等于中非零子式的最大,例1求下列矩阵的秩,方法三用初等变换化A为阶梯阵J,等于,中非零行的行数.,原理:
初等变换不改变矩阵的秩;,阶梯阵的秩等于其中非零行的行数,例2求矩阵A的秩,
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高等 代数 北大 课件 3.4 矩阵