高等代数北大版课件1.1数域.ppt
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高等代数北大版课件1.1数域.ppt
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4最大公因式,5因式分解,6重因式,10多元多项式,11对称多项式,3整除的概念,2一元多项式,1数域,7多项式函数,9有理系数多项式,8复、实系数多项式的因式分解,第一章多项式,一、数域,二、数域性质定理,1.1数域,一、数域,设P是由一些复数组成的集合,其中包括,数不为0)仍是P中的数,则称P为一个数域,0与1,如果P中任意两个数的和、差、积、商(除,常见数域:
复数域C;实数域R;有理数域Q;,(注意:
自然数集N及整数集Z都不是数域),定义,说明:
1)若数集P中任意两个数作某一运算的结果仍在P,中,则说数集P对这个运算是封闭的,2)数域的等价定义:
如果一个包含0,1在内的数,集P对于加法,减法,乘法与除法(除数不为0),是封闭的,则称集P为一个数域,是一个数域,例1证明:
数集,证:
又对,设,则有,设,或,矛盾),(否则,若,则,于是有,为数域,例2设P是至少含两个数的数集,证明:
若P中任,意两个数的差与商(除数0)仍属于P,则P为一,一个数域,有,证:
由题设任取,所以,P是一个数域,时,时,二、数域的性质定理,任意数域P都包括有理数域Q,即,有理数域为最小数域,证明:
设P为任意一个数域由定义可知,,于是有,进而有,而任意一个有理数可表成两个整数的商,,设P为非空数集,若,则称P为一个数环,附:
例如,整数集Z就作成一个数环,数环,练习,判断数集是否为数域?
为什么?
作业,S是数域吗?
证明:
集合是一个数环,1若为数域,证明:
也为数域,
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