椭圆和双曲线综合.docx
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椭圆和双曲线综合
1.设椭圆
A.e-i,e2
【答案】
e1
椭圆和双曲线综合练习卷
22
1,双曲线
n2
m2
2x
~2m
2
一再=1,(其中m.n.0)的离心率分别为e,e2,则()
n
D.e!
e2与1大小不确定
2.已知双曲线C
垂足为H,
【答案】C
Jm2+n2
e=
,所以二
4:
:
:
1,故选B.
m
2
y
2牙=1(a0,b0)的左焦点为F,过点F作双曲线
ab
x2
C的一条渐近线的垂线,
点P在双曲线上,且,则双曲线的离心率为(
设H在渐近线
.13
D..13
上,直线FH方程为
y=a(xc),b
a
y(xc)b
,得
c,即H(
abc
辿),
c
3a2
由FP=3FH,得P(
c
2c,业),因为P在双曲线上,所以
c
2222
(2c-3a)9a
a2c2
2=1,
c
22c13
化简得4c=13a,e=
V.故选C.
3.
x2
_222
已知a,b0,若圆xy^b与双曲线22
ab
-1有公共点,则该双曲线离心率的取值范围
['2,:
:
)
B.(1,2]
C.
(1,3)
D.02,2)
【答案】A由圆及双曲线的对称性可知,当b-a,即--1时,圆x2y^b2与双曲线
a
22
笃-爲=1有公共点,则离心率
a2b2
e=E=Ji+(b)2X血,故选A.aa
2
4.P为双曲线X2-^1的渐近线位于第一象限上的一点,若点P到该双曲线左焦点的距离为
3
23,则点P到其右焦点的距离为()
A.2B.3C.、、2D.1
【答案】A由题意,知a=1,b=3,c=2,渐近线方程为y=±J3x,所以不妨令
P(a,、、3a)(a0),则有(a2)2(一3a)2=(2、、3)2,解得a=1,所以P(1「3),所以点P到其
右焦点的距离为..(1-2)2•Q3)2=2,故选A.
2222
5.设R、F2分别为椭圆
G:
22-1(ab0)与双曲线C2:
—2y^=1佝、0,Q、0)的公共焦点,
ab
它们在第一象限内交于点
取值为(
A.—
2
3.2
B.-
2
M,■RMF2=90,若椭圆的离心率e=3,则双曲线C2的离心率0的
4
C.—D.—
24
【答案】B由椭圆与双曲线的定理,可知〔MF」+|MF2=2a,MF1—IMF2I=2&,所以
MF」=a+a1,MF2=a—&,因为NF1MF2=90*,所以M^2+MF^^4c2,即a2怡:
=(f,
11332
即(—)2^(―亍=2,因为a,所以6],故选B.
ee142
_22
6.若圆.3)2(y-1)2=3与双曲线务-占=1(a0,b0)的一条渐近线相切,则此双曲线
ab
的离心率为(
)
2.3A.
3
7
B.
2
C.2D.、、7
【答案】A
由题意得
|b3a|c2、3
3=a二3b=c二2b二e二
ca3,选a.
7.已知双曲线
xy
22=1a0,b0的两顶点为
ab
Ai,A,虚轴两端点为
Bi,B2,两焦点为Fi,F2,
若以Ai,A2为直径的圆内切于菱形F1BiF2B2,则双曲线的离心率为()
A.3.5B.壬
2
D.3^5
2
【答案】C直线b1f2方程为
由题意
-be
b2c2
=a,变形为
e4-3e21=0e1,二
23;5e=
2
e亠.故选
2
x22
8.已知双曲线c:
xr-y"的左,右焦点分别为RF,过点
F2的直线与双曲线
C的右支相交于
P,Q两点,且点P的横坐标为2,则:
PF1Q的周长为()
【答案】D易知F2(2,0),
所以PQ_x轴,
pf2=qf2
,又PR=PF2+2a
APF1Q周长为
9.若点Fi、F2分别为椭圆
2
c:
0
4
2
+y_
3
=1的左、右焦点.点P为椭圆C上的动点则厶PF1F2的重心G
的轨迹方程为(
2
A.—
36
4x22
9y5厂0)
4x2
C.一
3y2=1(y=0)
X2+/=1(yH。
)
3
【答案】
2
10.过双曲线X2-为=1的右焦点作直线I交双曲线于A、B两点,若|AB|=4,则满足条件的直线I
有()
A.4条B.3条C.2条D.无数条
【答案】B•••双曲线的两个顶点之间的距离是2,小于4,
•••过抛物线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于4,
2
当直线与实轴垂直时,有3-y1y=2,•直线AB的长度是4,
2
综上可知有三条直线满足|AB|=4,故选B.
22
Xy
11.在区间1,51和12,61内分别取一个数,记为a和b,则方程—2=1(a:
:
:
b)表示离心率小于
ab
.5的双曲线的概率为()
1
15
17
31
A.-B.
C.
—
D.
2
32
32
32
【答案】B
因为方程
2
X
~2_
a
2
每=1(a:
:
:
b)表示离心率小于、、5的双曲线,b
三丄八5,.2ab.ba0,2a•b.它对应的平面区域如图中阴影部分所示,则方程
a
22S旺
22=1(a:
:
:
b)表示离心率小于的双曲线的概率为:
p=一阴影
abs距形
11
W,故选b.
32
444233
22_
44
2
12.已知双曲线x2-丄1的左、右焦点分别为Fi,F2,双曲线的离心率为e,若双曲线上一点P
3
使snPF^1二©,则FPf2f1的值为()
sin.PF1F2221
A.3B.2C.-3D.-2
【答案】B
2
由双曲线方程X2-y1得a=1,c=2,由双曲线定义得
3
2,
因为
勞謀=e,所以由正弦定理得
PF1
-T=2,可解得PR=4,PF?
=2,
PF2
=4,根据
1
余弦定理可知cos^PFzF:
4
F2P
F2F1
LpF2_cosPF2F1
13.已知点M(1,0),
A,B是椭圆
x22
y-1上的动点,且MA・MB=0,贝UMA*BA的取值范围
4
是()
A.[|,1]
B.[1,9]C.[2,9]D.靑,3]
33
【答案】C
设A(X1,yj,B(X2,y2),则M\=X^1y)JVBX1丁)瓯(x=xy2yJ—2,
由题意有MA・MB=(为T)(X2T)yy=0,所以
2
MA・BA=(xT)(X1-X2)y1(y1-y2^(x1-1)X1-(X1-1)X2y1—yy
22'212
=x1_x1y^i(X|_1)(x2-1)■y-iy2(x1-1^x1-x-i1x-i-x11
4
二3治2_2x「^3(x1--)2-,x^[-2,2]
4433
所以,当x=-2时,MA・BA有最大值9,当X=4时,mA•bA有最小值-,故选C.
33
22
14.椭圆C:
—1的左、右顶点分别为
3
A,A2,点P在C上且直线pa2的斜率的取值范围是
1-2,-1],那么直线
PAi斜率的取值范围是
A'jB-
33
_8'4
【答案】B
22
15.已知F1,F)分别是双曲线笃-吿
ab
1的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于
r”
Lx)
A.
1,1+——
<2)
B.
1++oC
12,丿
A,B两点,若ABF2是锐角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是(
C.1,12
答案:
C
16.过双曲线
x2
2
y
15
2
=1的右支上一点P,分别向圆C1:
x4
2
-y=4和圆
2
C2:
(x—4)
2
y=1作切线,切点分别为
M,N,则
PM
-PN的最小值为()
A.10
B.13
【答案】B
C.16
D.
19
2
2
2
可有
PM
—
PN
—
PO1
—4—
po2
【解析】如图所示,根据切线,
=(|P01+|P02X|PO1—PO2I)—3=2(|PO1+P02)—3,IPO1
PO2色OO2=8,所以
PM
2
-PN最小值为15.
2
2y
17.过点P(1,1)作直线与双曲线X1交于A,B两点,使点P为AB中点,则这样的直线()
2
A.存在一条,且方程为2x-y-1=0B.存在无数条
C.存在两条方程为2x-y1=0D.不存在
答案:
D
22
18.已知双曲线=1a0,b0的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线
ab
的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是.
【答案】[2,+^)
22
19.已知双曲线C:
令-岂-1的左、右焦点分别是F1,F2,正三角形AF1F2的一边AF1与双曲
ab
线左支交于点B,且AF1=4BF1,则双曲线C的离心率为
【答案】
131
3
【解析】设|AF1l=4BF!
|=4m,则|B?
|2=|AF2|2+|AB|2—2|7F?
||7B|cos60—13m2,所以
2a=BF2「BR=、13m「m,2c二4m,e二
4
•13-1
13+1
3
22
Xy
20.已知双曲线C:
二2=1a0,b0的左、右焦点分别为F1-c,0,F2c,0,A,B是圆
ab
222
xcy-4c2与C位于x轴上方的两个交点,且F1A//F2B,则双曲线C的离心率为
317
【答案】4
【解析】由双曲线定义得AF2=2a2c,BF^2^2a,因为FiA//F2B,所以
cos.FzFjA=-cos.hFzB,再利用余弦定理得
222222
4c4c-(2a2c)_4c(2c-2a)-4c2317
2=cyc__2汉2c"2c-2a),化简得2e一孔一1=°,e>1=e二一4—
2
21.已知双曲线x2-y1的左右焦点分别为FpF2,P为双曲线右支上一点,点Q的坐标为
312
(-2,3),则|PQ|+|PR|的最小值为.
【答案】7
【解析】由双曲线定义可知IPF,|=|PF2|2,故|股||怦|1=|PQ|•|PF2|2,可知当Q,P,F2三点共线时,|PQ|•|PR|最小,且最小值为|QF21,2=5•2=7.
22
22.如图,已知双曲线牛y2=1a0,b0上有一点A,它关于原点的对称点为B,点F为双ab
曲线的右焦点,且满足AF_BF,设•ABF=、,且,,则该双曲线离心率e的取值范围
_126
为.
【答案】.2,.31
【解析】设Fi是左焦点,由对称性得AR=|BF,设Al3!
=EF|=x,AF|=y,则x-y=2,又OA=OB=OF=c,因为AF丄BF,x2+y2=(2c)2=4c2,又(x-y)2=(2a)2,则
22、
xy=2(c-a).
2S.oaf,
112222
xy=2(-csin2),二c-acsin2:
22
1
1「sin2:
,再由
—e2
_126
[2,C、31)2],即e卜2八31].
23.以下四个关于圆锥曲线的命题中:
①设A、B为两个定点,k为正常数,
||PB^k,则动点
P的轨迹为椭圆;
222
2双曲线l-f^1与椭圆釘八1有相同的焦点;
22
x__y_
169
③方程2x2-5x•2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;
255
④和定点A(5,0)及定直线l:
x的距离之比为的点的轨迹方程为
44
其中真命题的序号为
(±34,0);
【答案】②③
【解析】①中需要对k的取值范围加以限定;②中有公式可知两个曲线的焦点分别是
116
3中方程的两个根分别是2和一:
④中直线的方程应该是x=—;故答案为②③
25
22
24.已知椭圆笃占=1(ab0)的左顶点为A,上顶点为B,右焦点为F•设线段AB的中点ab
2
为M,若2MA«MFBF_0,则该椭圆离心率的取值范围为
【答案】(0,.3-1]
22
25.过点M(1,1)作一直线与椭圆—丄1相交于A.B两点,若M点恰好为弦AB的中点,贝UAB
94
所在直线的方程为.
【答案】4x9y-13=0
222
【解析】设A(X!
,X2),B(X2,Y2),分别代入椭圆—y1的方程中,可得:
乞•止=1,①
9494
22
空•上1,②,由①-②可得,(X1卷亦-卷)=(y1y2)(y1-yj,因为点M是弦ab
9494
一y24
的中点,•••X1X2=2,%■y2=2,—-=k,又因为直线过点M(1,1),所以直线AB
X<|—X29
的方程为
V_1X-1),即4x9y-13=0.
9
直线I的方程为y=.3(x—2)
y=3(x-2)
22
xy
a2+b2=1
yi+y2=
由韦达定理可得
—3b2(a2—4)
2「2
3a+b
•/AF=2F2B
.•.—y1=2y2,代入①②得
—y2=—
43b2
3a2+b2
242t.22
3zB1_48b3a+b16b
4得2=(3a2+b2)23b2(a2—4)=(3a2+b2)(a—4)
又a2=b2+4⑥
22
由⑤⑥解得a2=9b2=5椭圆C的方程为—+y=1
95
27.已知双曲线C的中心在坐标原点
焦点在x轴上,离心率e
,虚轴长为2.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)若直线I:
y二kx-m与曲线C相交于代B两点(代B均异于左、右顶点)的圆过双曲线C的左顶点D,求证:
直线l过定点,并求出定点的坐标.
【答案】
(1)—-y2=1
(2)-10,0
4I3丿
,且以AB为直径
22
试题解析:
(1)设双曲线的标准方程为x-1a0,b0,由已知得―=
aba
2
222x2
ab二c,解得a=2,b=1,所以双曲线的标准方程为y=1.
4
得(3a2+b2)y2+43b2y—3『(a2—4)=0
ykxm
(2)设Ax1,y1,BX2,y2,联立x22,得1-4k2
y-1
4
22
x-8mkx-4m1=0,有
."■:
=64m2k2161-4k2m2108mk-
x.(x22:
:
:
0
1-4k2
-
-4(m+1)
X1X2—
1-4k2
22
y-iy2=kx1mkx2m=kx1x2mk片x2j亠m
2_4p2
h,以AB为直径的圆过双曲线
C的左顶点D-2,0,.kADl_kBD=—1,即
2
iy2,c门m2-4k2-m16mk
-hy』2"22&X24=o,222=°,
x221-4k1-4k1-4k
-16mk20宀0,解得m=2k或m=学当m=2k时,l的方程为厂“2,直线过
10k『
卫,直线过定点10
3
0,经检验
3
符合已知条件
,所以直线I过定点,定点坐标为
28.已知椭圆
2
X+y2=1上两个不同的点A,
1
B关于直线y=mx+?
对称.
(1)求实数
m的取值范围;
(2)求厶AOB面积的最大值(0为坐标原点
)•
定点-2,0,与已知矛盾;当心三时,|的方程为"kx
2
专+y2=1,
1
y=-mx+b,
消去y,得1+m^x2-2^x+b2-1=0•因为直线
1x22
y=-mx+b与椭圆-+y2=1有两
设M为AB的中点,贝UM
2mbmb
m2+2,m2+2,
12.2
代入直线方程y=mx+1解得b=-唏②
由①②得mv-f或m>£.
(2)令t=m€m
-2,0U0,26,则|AB|=冲
-,■-2t4+2t2+3
21
t2+1
21
t+2
且O到直线AB的距离d=—2——
■s/t1+
设厶AOB的面积为S(t),所以S(t)=2|AB|d-=*-2t
t2-;2+2迸,
当且仅当t2=2时,等号成立•故△AOB面积的最大值为
xy
29•已知椭圆2+2=1(a>b>0)的左焦点为F(-c,0)ab
离心率为3,点M在椭圆上且位于第
3
22b4
象限,直线FM被圆x+y=4截得的线段的长为5
FM
4.3
(1)
求直线FM的斜率;
(2)
求椭圆的方程;
(3)
设动点
P在椭圆上,若直线FP的斜率大于2,求直线
OP(O为原点)的斜率的取值范围
【答案】(I)
22
(idx_+y_
(4!
2呵
(III)
1
<3丿
13
3丿
【解析】(I)
由已知有
2
c
2
a
122222
=3,又由a=b-c,可得a=3c,
b2=2c2,
设直线FM
的斜率为
k(k0),则直线FM的方程为y=k(x飞),由已知有
kc
k21
,解得k
(II)由(I)得椭圆方程为
直线FM的方程为y=k(x•c),两个方程联立,消去
整理得
3x2+2cx_5c2=0,解得x=_5c或x=c,因为点M在第一象限,可得M的坐标为
3
由|FM二(cC)2
2
吃,解得C=1,所以椭圆方程为乞+乂=1
332
(III)设点P的坐标为(x,y),直线FP的斜率为t,得t=y,即y=t(x•1)(x=一1),与椭圆方
x+1
「y=t(x+1)\2
程联立]X2*y2[,消去y,整理得2x2+3t2(x+1)2=6,又由已知,得t=J(x+x)2><2,
.32一
解得
3
x:
:
-1或-1x:
:
0,
2
设直线OP的斜率为m,得m=y,即y=mx(x=0),与椭圆方程联立,整理可得
x
m222
x23
①当x
,有y=t(x•1):
:
:
0,因此m•0,于是m=
②当i1,0时,有y=t(x•1)•0,因此m:
:
:
0,于是m=-
2
2
x2
_3,
2
2
x2_
3,
得m
得m
\;22“
综上,直线0P的斜率的取值范围是
—CO
223
33
x22
0,b的直线
xy
30.已知椭圆;二2川一2=1(ab0)的半焦距为c,原点。
到经过两点c,0,
ab
(1)求椭圆上的离心率;
225
(2)如图,AE是圆M:
(X+2)+(y-1)=一的一条直径,
2
若椭圆上经过Z,三两点,求椭圆上的方程.
【答案】⑴3;(II)x」.y=1.
2123
【解析】
试题分析:
(I)先写过点c,0,0,b的直线方程,再计算原点0到该直线的距离,进而可得椭圆
—工y=kx21
上的离心率;(II)先由(I)知椭圆上的方程,设的方程,联立222,消去y,可
x+4y=4b
得XiX2和XiX2的值,进而可得k,再利用丄三二10可得b2的值,进而可得椭圆上的方程.
试题解析:
(I)过点c,0,0,b的直线方程为
bx+cy-bc=0,学优高考网
则原点O到直线的距离
bc
b2c2
bc
a
由d=1c,得a=2b=2Ja2-c2,解得离心率
2
(1)
(II)解法一:
由(l)知,椭圆上的方程为x2+4y2=4b2.
依题意,圆心二I-2,1是线段二三的中点,且|AB|=10.
易知,上2不与x轴垂直,设其直线方程为y=k(x+2)+1,代入
(1)得
2222
(1+4k)x+8k(2k+1)x+4(2k+1)-4b=0
设A(*,y1),B(X2,y2),则X+x?
=-
8k(2k+1)
1+4k2
%x2=
4(2k+1)2-4b2
1+4k2
由^+X2=-4,得-8^=-4'解得k冷.
从而x1x2=8-2b2.
二10(b2-2).
由|AB|=10,得10(b2-2)=10,解得b2=3.
22
故椭圆上的方程为x+y=1.
123
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- 关 键 词:
- 椭圆 双曲线 综合