第二章 相交线与平行线 单元测试题.docx
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第二章相交线与平行线单元测试题
第二章相交线与平行线单元测试题
姓名:
__________班级:
__________考号:
__________
一、选择题(本大题共12小题)
1.如图,AB∥CD,CB⊥DB,∠D=65°,则∠ABC的大小是( )
A.25°B.35°C.50°D.65°
2.如图,∠AOB的一边OA为平面镜,∠AOB=37°36′,在OB上有一点E,从E点射出一束光线经OA上一点D反射,反射光线DC恰好与OB平行,则∠DEB的度数是( )
A.75°36′B.75°12′C.74°36′D.74°12′
3在数学课上,同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时,有一部分同学画出下列四种图形,请你数一数,错误的个数为( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
4.如图,AB∥CD,以点A为圆心,小于AC长为半径作圆弧,分别交AB、AC于E、F两点;再分别以E、F为圆心,大于1/2EF长为半径作圆弧,两条圆弧交于点G,作射线AG交CD于点H.若∠C=140°,则∠AHC的大小是()
A.20°B.25°C.30°D.40°
5.如图,直线l1∥l2,∠A=125°,∠B=85°,则∠1+∠2=( )
A.30°B.35°C.36°D.40°
6.下列说法正确的是( )
A.若两条直线被第三条直线所截,则同旁内角互补
B.相等的角是对顶角
C.有一条公共边并且和为180°的两个角互为邻补角
D.若三条直线两两相交,则共有6对对顶角
7.如图所示,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,则下列结论中,正确的个数为( )
①AB⊥AC;②AD与AC互相垂直;③点C到AB的垂线段是线段AB;④点A到BC的距离是线段AD的长度;⑤线段AB的长度是点B到AC的距离;⑥线段AB是点B到AC的距离;⑦AD>BD.
A.3个B.4个C.7个D.0个
8.下面说法正确的个数为( )
(1)过直线外一点有一条直线与已知直线平行;
(2)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;
(3)两角之和为180°,这两个角一定邻补角;
(4)同一平面内不平行的两条直线一定相交.
A.1个B.2个C.3个D.4个
9.小明、小亮、小刚、小颖一起研究一道数学题.如图,已知EF⊥AB,CD⊥AB,
小明说:
“如果还知道∠CDG=∠BFE,则能得到∠AGD=∠ACB.”
小亮说:
“把小明的已知和结论倒过来,即由∠AGD=∠ACB,
可得到∠CDG=∠BFE.”
小刚说:
“∠AGD一定大于∠BFE.”
小颖说:
“如果连接GF,则GF一定平行于AB.”
他们四人中,有( )个人的说法是正确的.
A.1B.2C.3D.4
10.下列说法正确的个数是( )
①连接两点的线中以线段最短;
②两条直线相交,有且只有一个交点;
③若两条直线有两个公共点,则这两条直线重合;
④若AB+BC=AC,则A.B、C三点共线.
A.1B.2C.3D.4
11.如图,AB∥CD,用含∠1,∠2,∠3的式子表示∠4,则∠4的值为( )
A.∠1+∠2﹣∠3B.∠1+∠3﹣∠2
C.180°+∠3﹣∠1﹣∠2D.∠2+∠3﹣∠1﹣180°
12.如图,AB∥CD,EG、EM、FM分别平分∠AEF,∠BEF,∠EFD,则图中与∠DFM相等的角(不含它本身)的个数为( )
A.5B.6C.7D.8
二、填空题(本大题共8小题)
13.如图,已知∠1=∠2=∠3=62°,则∠4= 度.
14,如图,△ABC中,BC=5cm,将△ABC沿BC方向平移至△A′B′C′的对应位置时,A′B′恰好经过AC的中点O,则△ABC平移的距离为 cm.
15.如图,OA⊥OB,OC⊥OD.若∠AOD=144°,则∠BOC= .
16.一块直角三角板放在两平行直线上,如图所示,∠1+∠2= 度.
17.如图,已知∠A=∠F=40°,∠C=∠D=70°,则∠ABD= ,∠CED= .
18.珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来相同,如图,若∠ABC=120°,∠BCD=80°,则∠CDE= 度.
19.一平面内,三条直线两两相交,最多有3个交点;4条直线两两相交,最多有6个交点;5条直线两两相交,最多有10个交点;8条直线两两相交,最多有 个交点.
20.如图,已知AB∥CD,BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,∠BAD=70°.∠BCD=n°,则∠BED的度数为 度.
三、解答题(本大题共8小题)
21.如图,在下列解答中,填空或填写适当的理由:
(1)∵AB∥FE,(已知)
∴∠A=∠__________,(__________)
∠2=∠__________,(__________)
∠B+∠__________=180°.(__________)
(2)∵∠2=∠__________,(已知)
∴AC∥DE.(__________)
(3)∵∠3=∠__________,(已知)
∴__________∥__________.(__________)
22.已知:
如图,AB∥EF,BC∥ED,AB,DE交于点G.
求证:
∠B=∠E.
23.如图,点P是∠ABC内一点.
(1)按下列要求画出图形.
①过点P画BC的垂线,垂足为点D;
②过点P画AB的平行线交BC于点E;过点P画BC的平行线交AB于点F.
(2)在
(1)所画出的图形中,若∠ABC=54°,则∠DPE=__________度.
24.如图,已知射线AB与直线CD交于点O,OF平分∠BOC,OG⊥OF于O,AE∥OF,且∠A=30°.
(1)求∠DOF的度数;
(2)试说明OD平分∠AOG.
25.如图,四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,BE,DF分别是∠ABC,∠ADC的平分线.
(1)∠1与∠2有什么关系,为什么?
(2)BE与DF有什么关系?
请说明理由.
26,如图所示,AB∥CD,∠CFE的平分线与∠EGB平分线的反向延长线交于点P,若∠E=20°,则∠FPH的度数为多少?
27.如图,已知AB∥CD,CE、BE的交点为E,现作如下操作:
第一次操作,分别作∠ABE和∠DCE的平分线,交点为E1,
第二次操作,分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线,交点为E2,
第三次操作,分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线,交点为E3,…,
第n次操作,分别作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分线,交点为En.
(1)如图①,求证:
∠BEC=∠ABE+∠DCE;
(2)如图②,求证:
∠BE2C=
∠BEC;
(3)猜想:
若∠En=α度,那∠BEC等于多少度?
(直接写出结论).
28.已知AM∥CN,点B为平面内一点,AB⊥BC于B.
(1)如图1,直接写出∠A和∠C之间的数量关系 ;
(2)如图2,过点B作BD⊥AM于点D,求证:
∠ABD=∠C;
(3)如图3,在
(2)问的条件下,点E、F在DM上,连接BE、BF、CF,BF平分∠DBC,BE平分∠ABD,若∠FCB+∠NCF=180°,∠BFC=3∠DBE,求∠EBC的度数.
答案解析
一、选择题
1.分析:
先根据三角形内角和定理求出∠C的度数,然后根据两直线平行内错角相等即可求出∠ABC的大小.
解:
∵CB⊥DB,
∴∠CBD=90°,
∴∠C+∠D=90°,
∵∠D=65°,
∴∠C=25°,
∵AB∥CD,
∴∠BAC=∠C=25°.
故选A.
2.分析:
过点D作DF⊥AO交OB于点F.根据题意知,DF是∠CDE的角平分线,故∠1=∠3;然后又由两直线CD∥OB推知内错角∠1=∠2;最后由三角形的内角和定理求得∠DEB的度数.
解:
过点D作DF⊥AO交OB于点F.
∵入射角等于反射角,
∴∠1=∠3,
∵CD∥OB,
∴∠1=∠2(两直线平行,内错角相等);
∴∠2=∠3(等量代换);
在Rt△DOF中,∠ODF=90°,∠AOB=37°36′,
∴∠2=90°﹣37°36′=52°24′;
∴在△DEF中,∠DEB=180°﹣2∠2=75°12′.
故选B.
3.分析:
根据垂线段的定义直接观察图形进行判断.
解:
从左向右第一个图形中,BE不是线段,故错误;
第二个图形中,BE不垂直AC,所以错误;
第三个图形中,是过点E作的AC的垂线,所以错误;
第四个图形中,过点C作的BE的垂线,也错误.
故选D.
4.分析:
根据题意可得AH平分∠CAB,再根据平行线的性质可得∠CAB的度数,再根据角平分线的性质可得答案.
解:
由题意可得:
AH平分∠CAB,
∵AB∥CD,
∴∠C+∠CAB=180°,
∵∠ACD=140°,
∴∠CAB=40°,
∵AH平分∠CAB,
∴∠HAB=20°,
∴∠AHC=20°.
故选A.
5.分析:
过点A作l1的平行线,过点B作l2的平行线,根据两直线平行,内错角相等可得∠3=∠1,∠4=∠2,再根据两直线平行,同旁内角互补求出∠CAB+∠ABD=180°,然后计算即可得解
解:
如图,过点A作l1的平行线,过点B作l2的平行线,
∴∠3=∠1,∠4=∠2,
∵l1∥l2,
∴AC∥BD,
∴∠CAB+∠ABD=180°,
∴∠3+∠4=125°+85°﹣180°=30°,
∴∠1+∠2=30°.
故选A.
6.分析:
根据平行线的性质、对顶角的定义和性质、邻补角的定义判断.
解:
A.应该是“若两条平行直线被第三条直线所截,则同旁内角互补”,故错误;
B、相等的角不一定都是对顶角,如两直线平行,其中的同位角相等但不是对顶角,故错误;
C、如果这两个角在公共边的同侧,则不是邻补角,故错误;
D、正确.
故选D.
7.分析:
本题要根据垂线定义、垂线段定义(定理)、点到直线的距离定义,逐一判断.
解:
∵∠BAC=90°∴①AB⊥AC正确;
∵∠DAC≠90°,∴AD与AC不互相垂直,所以②错误;
点C到AB的垂线段应是线段AC,所以③错误;
点A到BC的距离是线段AD的长度,所以④正确;
根据“从直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.”可知⑤正确;
线段AB的长度是点B到AC的距离,所以⑥错误;
AD>BD不一定,所以⑦错误.
故选A.
.
8.分析:
根据同一平面内,过直线外一点有一条直线和已知直线平行即可判断
(1);在同一平面内,过一点有且只有一条直线和已知直线垂直即可判断
(2);举出反例即可判断(3);根据在同一平面内,两直线的位置关系是平行或相交,即可判断(4).
解:
过直线外一点有一条直线和已知直线平行,故
(1)正确;
只有在同一平面内,过一点有且只有一条直线和已知直线垂直,故
(2)错误;
如图:
∠ABC=∠DEF=90°,且∠ABC+∠DEF=180°,但是两角不是邻补角,故(3)错误;
同一平面内不平行的两条直线一定相交正确,
因为不特别指出时,一般认为,两条直线重合就是同一条直线,所以所提出的命题是正确的,故(4)正确.
即正确的个数是2个.
故选B.
9.分析:
由EF⊥AB,CD⊥AB,知CD∥EF,然后根据平行线的性质与判定即可得出答案;
解:
已知EF⊥AB,CD⊥AB,∴CD∥EF,
(1)若∠CDG=∠BFE,
∵∠BCD=∠BFE,
∴∠BCD=∠CDG,
∴DG∥BC,
∴∠AGD=∠ACB.
(2)若∠AGD=∠ACB,
∴DG∥BC,
∴∠BCD=∠CDG,∠BCD=∠BFE,
∴∠CDG=∠BFE.
(3)∵DG不一定平行于BC,所以∠AGD不一定大于∠BFE;
(4)如果连接GF,则GF不一定平行于AB;
综上知:
正确的说法有两个.
故选B.
10.分析:
①根据线段的基本性质解答;②、③由直线的定义解答;④根据两点间的距离解答.
解:
①线段的基本性质是:
所有连接两点的线中,线段最短.故本选项正确;
②任意两个点可以通过一条直线连接,所以,两条直线相交,有且只有一个交点,故本选项正确;
③任意两个点可以通过一条直线连接,若两条直线有两个公共点,则这两条直线重合;故本选项正确;
④根据两点间的距离知,故本选项正确;
综上所述,以上说法正确的是①②③④共4个.
故选D.
11.分析:
先过点E作EG∥AB,过点F作FH∥CD,利用平行线的性质求得∠GEF和∠EFH,最后根据∠CFH=∠3﹣∠EFH,求得∠4即可.
解:
过点E作EG∥AB,过点F作FH∥CD,
∵AB∥CD,
∴AB∥CD∥EG∥FH,
∴∠1=∠AEG,
∴∠GEF=∠2﹣∠1,
∵EG∥FH,
∴∠EFH=180°﹣∠GEF=180°﹣(∠2﹣∠1)=180°﹣∠2+∠1,
∴∠CFH=∠3﹣∠EFH=∠3﹣(180°﹣∠2+∠1)=∠3+∠2﹣∠2﹣180°,
∵FH∥CD,
∴∠4=∠3+∠2﹣∠1﹣180°,
故选(D)
12.分析:
由FM平分∠EFD可知:
与∠DFM相等的角有∠EFM;由于AB∥CD,EG、EM、FM分别平分∠AEF、∠BEF、∠EFD,根据平行线的性质和判定定理可以推导出FM∥EG,由此可以写出与∠DFM相等的角.
解:
∵FM平分∠EFD,
∴∠EFM=∠DFM=
∠CFE,
∵EG平分∠AEF,
∴∠AEG=∠GEF=
∠AEF,
∵EM平分∠BEF,
∴∠BEM=∠FEM=
∠BEF,
∴∠GEF+∠FEM=
(∠AEF+∠BEF)=90°,即∠GEM=90°,
∠FEM+∠EFM=
(∠BEF+∠CFE),
∵AB∥CD,
∴∠EGF=∠AEG,∠CFE=∠AEF
∴∠FEM+∠EFM=
(∠BEF+∠CFE)=
(BEF+∠AEF)=90°,
∴在△EMF中,∠EMF=90°,
∴∠GEM=∠EMF,
∴EG∥FM,
∴与∠DFM相等的角有:
∠EFM、∠GEF、∠EGF、∠AEG以及∠GEF、∠EGF、∠AEG三个角的对顶角.
故选C.
二、填空题
13.分析:
因为∠1=∠2=∠3=62°,所以可知两直线a、b平行,由同旁内角互补求得∠4结果.
解:
∵∠1=∠3,
∴两直线a、b平行;
∴∠2=∠5=62°,
∵∠4与∠5互补,
∴∠4=180°﹣62°=118°.
14.分析:
根据平移的性质:
对应线段平行,以及三角形中位线定理可得B′是BC的中点,求出BB′即为所求.
解:
∵将△ABC沿BC方向平移至△A′B′C′的对应位置,
∴A′B′∥AB,
∵O是AC的中点,
∴B′是BC的中点,
∴BB′=5÷2=2.5(cm).
故△ABC平移的距离为2.5cm.
故答案为:
2.5.
15.分析:
根据垂直的定义知∠AOB=∠COD=90°,然后由周角的定义即可求得∠BOC的度数.
解:
∵OA⊥OB,OC⊥OD,
∴∠AOB=∠COD=90°;
又∵∠AOD+∠AOB+∠BOC+∠COD=360°,∠AOD=144°,
∴∠BOC=36°;
故答案是:
36°.
16.分析:
根据对顶角相等得到∠1=∠3,∠2=∠4,而三角形尺为直尺,即可得到∠1+∠2=90°.
解:
如图,
∵∠1=∠3,∠2=∠4,
而∠3+∠4=90°,
∴∠1+∠2=90°.
故答案为:
90.
17.分析:
根据平行线的判定得出DF∥AC,根据平行线的性质求出∠D=∠ABD=70°,根据平行线的性质得出∠CED+∠C=180°,代入求出即可.
解:
∵∠A=∠F=40°,
∴DF∥AC,
∵∠D=70°,
∴∠D=∠ABD=70°,
∵DF∥AC,
∴∠CED+∠C=180°,
∵∠C=70°,
∴∠CED=110°,
故答案为:
70°,110°.
18.分析:
由已知珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来相同,得AB∥DE,过点C作CF∥AB,则CF∥DE,由平行线的性质可得,∠BCF+∠ABC=180°,所以能求出∠BCF,继而求出∠DCF,
又由CF∥DE,所以∠CDE=∠DCF.
解:
过点C作CF∥AB,
已知珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来相同,
∴AB∥DE,
∴CF∥DE,
∴∠BCF+∠ABC=180°,
∴∠BCF=60°,
∴∠DCF=20°,
∴∠CDE=∠DCF=20°.
故答案为:
20.
19.分析:
由已知一平面内,三条直线两两相交,最多有3个交点;4条直线两两相交,最多有6个交点;5条直线两两相交,最多有10个交点总街出:
在同一平面内,n条直线两两相交,则有
个交点,代入即可求解.
解:
由已知总结出在同一平面内,n条直线两两相交,则有
个交点,
所以8条直线两两相交,交点的个数为
=28,故答案为28个.
故答案为:
28.
【点评】此题考查的知识点是相交线,关键是此题在相交线的基础上,着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力,掌握从特殊项一般猜想的方法.
20.分析:
先根据角平分线的定义,得出∠ABE=∠CBE=
∠ABC,∠ADE=∠CDE=
∠ADC,再根据三角形内角和定理,推理得出∠BAD+∠BCD=2∠E,进而求得∠E的度数.
解:
∵BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,
∴∠ABE=∠CBE=
∠ABC,∠ADE=∠CDE=
∠ADC,
∵∠ABE+∠BAD=∠E+∠ADE,∠BCD+∠CDE=∠E+∠CBE,
∴∠ABE+∠BAD+∠BCD+∠CDE=∠E+∠ADE+∠E+∠CBE,
∴∠BAD+∠BCD=2∠E,
∵∠BAD=70°,∠BCD=n°,
∴∠E=
(∠D+∠B)=35+
n.
故答案为:
35+
n
三、解答题
21.分析:
只需要根据两直线平行的判定方法及性质填写对应的空即可
解:
(1)∵AB∥FE,(已知)
∴∠A=∠EFC,(两直线平行,同位角相等),
∠2=∠BDE,(两直线平行,内错角相等),
∠B+∠BEF=180°.(两直线平行,同旁内角互补).
故答案为:
EFC,两直线平行,同位角相等;BDE,两直线平行,内错角相等;BEF,两直线平行,同旁内角互补;
(2)∵∠2=∠EFC,(已知),
∴AC∥DE.(内错角相等,两直线平行);
故答案为:
EFC,内错角相等,两直线平行;
(3)∵∠3=∠B,(已知)
∴AB∥EF.(同位角相等,两直线平行).
故答案为:
∠B;AB,EF,同位角相等,两直线平行
22.分析:
由AB∥EF,BC∥ED,根据平行线的性质,即可得∠E=∠AGD,∠B=∠AGD,继而证得结论.
解答:
证明:
∵AB∥EF,
∴∠E=∠AGD,
∵BC∥ED,
∴∠B=∠AGD,
∴∠B=∠E.
23.分析:
(1)①直接利用尺规过点P作PD⊥BC的垂线即可;
②利用尺规通过平移分别作BC,AB的平行线即可;
(2)首先得到四边形FBEP是平行四边形,然后利用平行四边形的性质得到∠EPF=∠B,然后利用垂直的定义求得结论即可.
解:
(1)如图所示;
(2)∵AB∥PE,FP∥BD,
∴四边形FBPE是平行四边形,
∴∠FPE=∠B=54°,
∴∠DPE=90°﹣54°=36°,
故答案为:
36.
24.分析:
(1)根据两直线平行,同位角相等可得∠FOB=∠A=30°,再根据角平分线的定义求出∠COF=∠FOB=30°,然后根据平角等于180°列式进行计算即可得解;
(2)先求出∠DOG=60°,再根据对顶角相等求出∠AOD=60°,然后根据角平分线的定义即可得解.
解:
(1)∵AE∥OF,
∴∠FOB=∠A=30°,
∵OF平分∠BOC,
∴∠COF=∠FOB=30°,
∴∠DOF=180°﹣∠COF=150°;
(2)∵OF⊥OG,
∴∠FOG=90°,
∴∠DOG=∠DOF﹣∠FOG=150°﹣90°=60°,
∵∠AOD=∠COB=∠COF+∠FOB=60°,
∴∠AOD=∠DOG,
∴OD平分∠AOG.
25.分析:
(1)根据四边形的内角和,可得∠ABC+∠ADC=180°,然后,根据角平分线的性质,即可得出;
(2)由互余可得∠1=∠DFC,根据平行线的判定,即可得出.
解:
(1)∠1+∠2=90°;
∵BE,DF分别是∠ABC,∠ADC的平分线,
∴∠1=∠ABE,∠2=∠ADF,
∵∠A=∠C=90°,
∴∠ABC+∠ADC=180°,
∴2(∠1+∠2)=180°,
∴∠1+∠2=90°;
(2)BE∥DF;
在△FCD中,∵∠C=90°,
∴∠DFC+∠2=90°,
∵∠1+∠2=90°,
∴∠1=∠DFC,
∴BE∥DF.
26.分析:
作PM∥CD,如图,则AB∥PM∥CD,根据平行线的性质得∠4=∠2,∠3=∠1,则∠FPH=∠1+∠2,再利用角平分线定义得到∠CFQ=2∠1,∠EGB=2∠BGH,而∠BGH=∠2,所以∠FPH=
(∠CFQ+∠EGB),利用三角形外角性质得∠EGB=∠E+∠EQG,利用邻补角得∠EQG=180°﹣∠EQA,利用平行线的性质得∠CFQ=∠EQA,则∠EGB=∠E+180°﹣∠CFQ,于是得到∠FPH=
(∠CFQ+∠E+180°﹣∠CFQ)=
(20°+180°),然后把∠E=20°代入计算即可.
解:
作PM∥CD,如图,
∵AB∥CD,
∴AB∥PM∥CD,
∴∠4=∠2,∠3=∠1,
∴∠FPH=∠1+∠2,
∵∠CFE的平分线与∠EGB的平分线的反向延长线交于点P,
∴∠CFQ=2∠1,∠EGB=2∠BGH,
∵∠BGH=∠2,
∴∠FPH=
(∠CFQ+∠EGB),
∵∠EGB=∠E+∠EQG,
∵∠EQG=180°﹣∠EQA,
∵CD∥AB,
∴∠CFQ=∠EQA,
∴∠EGB=∠E+180°﹣∠CFQ,
∴∠FPH=
(∠CFQ+∠E+180°﹣∠CFQ)
=
(20°+180°)
=100°.
27.分析:
(1)先过E作EF∥AB,根据AB∥CD,得出AB∥EF∥CD,再根据平行线的性质,得出∠B=∠1,∠C=∠2,进而得到∠BEC=∠ABE+∠DCE;
(2)先根据∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1,运用
(1)中的结论,得出∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1=
∠ABE+
∠DCE=
∠BEC;同理可得∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2=
∠ABE1+
∠DCE1=
∠CE1B=
∠BEC;
(3)根据∠ABE2和∠DCE2的平分线,交点为E3,得出∠BE3C=
∠BEC;…据此得到规律∠En=
∠BEC,最后求得∠BEC的度数.
解:
(1)如图①,过E作EF∥AB,
∵AB∥CD,
∴AB∥EF∥CD,
∴∠B=∠1,∠C=∠2,
∵∠BEC=∠1+∠2,
∴∠BEC=∠ABE+∠DCE;
(2)如图2,∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1,
∴由
(1)可得,
∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1=
∠ABE+
∠DCE=
∠BEC;
∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2,
∴由
(1)可得,
∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2=
∠ABE1+
∠
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