人教版八年级数学下《平行四边形的判定》拓展练习.docx
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人教版八年级数学下《平行四边形的判定》拓展练习
《平行四边形的判定》拓展练习
一、选择题(本大题共5小题,共25.0分)
1.(5分)如图,已知△ABC是边长为3的等边三角形,点D是边BC上的一点,且BD=1,以AD为边作等边△ADE,过点E作EF∥BC,交AC于点F,连接BF,则下列结论中①△ABD≌△BCF;②四边形BDEF是平行四边形;③S四边形BDEF=
;④S△AEF=
.其中正确的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.(5分)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,E、F是对角线AC上的两点,给出下列五个条件:
①∠ADB=∠CBD②DE=BF③∠EDF=∠EBF④∠DEB=∠DFB⑤AE=CF.其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
3.(5分)有两个内角分别为90°,60°,30°的完全一样的三角形拼成四边形,其形状不同的有( )
A.2个B.3个C.4个D.6个
4.(5分)如图,在四边形ABCD中,点O是对角线的交点且AB∥CD,添加下列哪个条件,不能判定四边形ABCD是平行四边形( )
A.AB=CDB.AO=COC.AD=BCD.AD∥BC
5.(5分)如图,在四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )
A.OA=OC,OB=ODB.AB∥CD,AD∥CB
C.AB=CD,AD=CBD.AB∥CD,AD=CB
二、填空题(本大题共5小题,共25.0分)
6.(5分)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,且AD=12cm.点P从点A出发,以3cm/s的速度在射线AD上运动;同时,点Q从点C出发,以lcm/s的速度在射线CB上运动.运动时间为t,当t= 秒(s)时,点P、Q、C、D构成平行四边形.
7.(5分)要使四边形ABCD是平行四边形,已知∠A=∠C=120°,则还需补充一个条件是 .
8.(5分)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=12cm,BC=8cm,P,Q分别从A,C同时出发,P以1cm/的速度由A向D运动,Q以2cm/s的速度由C出发向B运动, 秒后四边形ABQP是平行四边形.
9.(5分)用50cm长的绳子围成一个平行四边形,使其相邻两边的长度比为3:
2,则较长的边的长度为 cm.
10.(5分)如图,在△ABC中,BF平分∠ABC,AG⊥BF,垂足为点D,交BC于点G,E为AC的中点,连结DE,DE=2.5cm,AB=4cm,则BC的长为 cm.
三、解答题(本大题共5小题,共50.0分)
11.(10分)在△ABC中,点D为边BC的中点,点E在△ABC内,AE平分∠BAC,CE⊥AE,点F在AB上,且BF=DE.
如图,在△ABC中,点D为边BC的中点,点E在△ABC内,AE平分∠BAC,CE⊥AE,点F在AB上,且BF=DE.
(1)求证:
四边形BDEF是平行四边形;
(2)线段AB,BF,AC之间具有怎样的数量关系?
证明你所得到的结论.
12.(10分)如图,等边△ABC的边长是2,D、E分别为AB、AC的中点,延长BC至点F,使CF=
BC,连接CD和EF.
(1)求证:
四边形CDEF是平行四边形;
(2)求四边形BDEF的周长和面积.
13.(10分)已知:
如图,在平行四边形ABCD中,E、F是对角线BD上的两点,且AE∥CF,求证:
四边形AECF是平行四边形.
14.(10分)如图,D是△ABC的边AB上一点,CE∥AB,DE交AC于点F,若FA=FC.
(1)求证:
四边形ADCE是平行四边形;
(2)若AE⊥EC,EF=EC=1,求四边形ADCE的面积.
15.(10分)学习了《平行四边形》一章以后,小东根据学习平行四边形的经验,对平行四边形的判定问题进行了再次探究
.以下是小东的探究过程,请补充完整:
(1)在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O.若AB∥CD,补充下列条件中能判断四边形ABCD是平行四边形的是:
(写出一个你认为正确选项的序号即可);
A.BC=AD;B.∠BAD=∠BCD;C.AO=CO
(2)将
(1)中的命题用文字语言表述为:
①命题1:
.
②画出图形,并写出命题1的证明过程.
《平行四边形的判定》拓展练习
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共5小题,共25.0分)
1.(5分)如图,已知△ABC是边长为3的等边三角形,点D是边BC上的一点,且BD=1,以AD为边作等边△ADE,过点E作EF∥BC,交AC于点F,连接BF,则下列结论中①△ABD≌△BCF;②四边形BDEF是平行四边形;③S四边形BDEF=
;④S△AEF=
.其中正确的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
【分析】连接EC,作CH⊥EF于H.首先证明△BAD≌△CAE,再证明△EFC是等边三角形即可解决问题;
【解答】解:
连接EC,作CH⊥EF于H.
∵△ABC,△ADE都是等边三角形,
∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=∠ABC=∠ACB=60°,
∴∠BAD=∠CAE,
∴△BAD≌△CAE,
∴BD=EC=1,∠ACE=∠ABD=60°,
∵EF∥BC,
∴∠EFC=∠ACB=60°,
∴△EFC是等边三角形,CH=
,
∴EF=EC=BD,∵EF∥BD,
∴四边形BDEF是平行四边形,故②正确,
∵BD=CF=1,BA=BC,∠ABD=∠BCF,
∴△ABD≌△BCF,故①正确,
∵S平行四边形BDEF=BD•CH=
,
故③正确,
S△AEF=
S△AEC=
•S△ABD=
故④错误,
故选:
C.
【点评】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识,解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题,属于中考选择题中的压轴题.
2.(5分)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,E、F是对角线AC上的两点,给出下列五个条件:
①∠ADB=∠CBD②DE=BF③∠EDF=∠EBF④∠DEB=∠DFB⑤AE=CF.其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
【分析】条件⑤可以判断四边形DEBF是平行四边形.根据平行四边形的判定方法一一证明即可;
【解答】解:
⑤可以判断四边形DEBF是平行四边形.
理由:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OD=OB,OA=OC,
∵AE=CF,
∴OE=OF,
∴四边形DEBF是平行四边形,
故选:
D.
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质,全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.
3.(5分)有两个内角分别为90°,60°,30°的完全一样的三角形拼成四边形,其形状不同的有( )
A.2个B.3个C.4个D.6个
【分析】可动手拼图,出现四种不同的四边形,根据平行四边形的性质,可推出3个平行四边形,不是平行四边形的有一个.
【解答】解:
根据平行四边形的基本性质:
平行四边形的两组对角分别相等,可知角分别为,
(1)90°,90°,90°90°;
(2)120°,60°,120°,60°;(3)150°,30°,150°,30°;不是平行四边形的四边形为(4)60°,90°,120°,90°.共4种,
故选:
C.
【点评】主要考查了平行四边形的基本性质,并利用性质解题.注意不要漏掉不是平行四边形的那一种.平行四边形基本性质:
①平行四边形两组对边分别平行;②平行四边形的两组对边分别相等;③平行四边形的两组对角分别相等;④平行四边形的对角线互相平分.
4.(5分)如图,在四边形ABCD中,点O是对角线的交点且AB∥CD,添加下列哪个条件,不能判定四边形ABCD是平行四边形( )
A.AB=CDB.AO=COC.AD=BCD.AD∥BC
【分析】直接根据平行四边形的判定定理求解即可求得答案.注意掌握排除法在选择题中的应用.
【解答】解:
A、∵AB∥CD,AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边形,正确;
B、∵AB∥CD,∴∠CDO=∠ABO,∠OAB=∠OCD,∵AO=CO,∴△DCO≌△ABO,∴OD=OB,∴四边形ABCD是平行四边形,正确;
C、∵AB∥DCAD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形,
故本选项不能判定这个四边形是平行四边形;
D、∵AB∥CD,AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形,
故本选项能判定这个四边形是平行四边形;
故选:
C.
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定,关键是掌握
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形.(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形.(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.
5.(5分)如图,在四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )
A.OA=OC,OB=ODB.AB∥CD,AD∥CB
C.AB=CD,AD=CBD.AB∥CD,AD=CB
【分析】根据平行四边形的判定定理进行判断即可.
【解答】解:
A、OA=OC,OB=OD,根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可以判定四边形ABCD为平行四边形,故此选项不合题意;
B、AB∥CD,AD∥CB,根据两组对边分别平行四边形是平行四边形可以判定四边形ABCD为平行四边形,故此选项不合题意;
C、AB=CD,AD=CB,根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可以判定四边形ABCD为平行四边形,故此选项不合题意;
D、AB∥CD,AD=CB,不能判定四边形为平行四边形,故此选项符合题意;
故选:
D.
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定,关键是掌握判定定理:
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形.(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形.(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.
二、填空题(本大题共5小题,共25.0分)
6.(5分)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,且AD=12cm.点P从点A出发,以3cm/s的速度在射线AD上运动;同时,点Q从点C出发,以lcm/s的速度在射线CB上运动.运动时间为t,当t= 3或6 秒(s)时,点P、Q、C、D构成平行四边形.
【分析】由平行四边形的对边相等,即:
PD=CQ,建立方程即可得出结论;
【解答】解:
由运动知,AP=3t,CQ=t,
∴DP=AD﹣AP=12﹣3t,
∵四边形PDCQ是平行四边形,
∴PD=CQ,
∴12﹣3t=t,
∴t=3秒;
当P运动到AD线段以外时,AP=3t,CQ=t,
∴DP=3t﹣12,
∵四边形PDCQ是平行四边形,
∴PD=CQ,
∴3t﹣12=t,
∴t=6秒,
故答案为:
3或6
【点评】主要考查了平行四边形的判定和性质,用方程的思想解决问题是解本题的关键.
7.(5分)要使四边形ABCD是平行四边形,已知∠A=∠C=120°,则还需补充一个条件是 ∠B=∠D=60° .
【分析】由条件∠A=∠C=120°,再加上条件∠B=∠D=60°,可以根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得到四边形ABCD是平行四边形.
【解答】解:
添加条件∠B=∠D=60°,
∵∠A=∠C=120°,∠B=∠D=60°,
∴∠A+∠B=180°,∠C+∠D=180°
∴AD∥CB,AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形),
故答案为:
∠B=∠D=60°,
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定,关键是熟练掌握平行四边形的判定定理:
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形;②两组对边分别相等的四边形是平行四边形;③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;④两组对角分别相等的四边形是平行四边形;⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形.
8.(5分)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=12cm,BC=8cm,P,Q分别从A,C同时出发,P以1cm/的速度由A向D运动,Q以2cm/s的速度由C出发向B运动,
秒后四边形ABQP是平行四边形.
【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得当AP=BQ时,四边形ABQP是平行四边形,因此设x秒后四边形ABQP是平行四边形,进而表示出AP=xcm,CQ=2xcm,QB=(8﹣2x)cm再列方程解出x的值即可.
【解答】解:
设x秒后,四边形ABQP是平行四边形,
∵P以1cm/s的速度由A向D运动,Q以2cm/s的速度由C出发向B运动,
∴AP=xcm,CQ=2xcm,
∵BC=8cm,
∴QB=(8﹣2x)cm,
当AP=BQ时,四边形ABQP是平行四边形,
∴x=8﹣2x,
解得:
x=
.
故答案为:
.
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定,关键是掌握平行四边形的判定方法.
9.(5分)用50cm长的绳子围成一个平行四边形,使其相邻两边的长度比为3:
2,则较长的边的长度为 15 cm.
【分析】根据平行四边形的对边相等的性质,设长边为3xcm,则短边长为2xcm,根据题意列出方程,解方程即可.
【解答】解:
设长边为3xcm,则短边长为2xcm;
根据题意得:
2(2x+3x)=50,
解得:
x=5,
∴较长边为3×5=15(cm).
故答案为15.
【点评】本题考查了平行四边形的对边相等的性质;解题的关键是根据性质,找到等量关系,列出方程.
10.(5分)如图,在△ABC中,BF平分∠ABC,AG⊥BF,垂足为点D,交BC于点G,E为AC的中点,连结DE,DE=2.5cm,AB=4cm,则BC的长为 9 cm.
【分析】由条件“BF平分∠ABC,AG⊥BF”可判定三角形ABG是等腰三角形(AB=GB),再由条件“E为AC的中点”,可判定DE是三角形AGB的中位线,由此可得GC=2DE,进而可求出BC的长.
【解答】解:
∵BF平分∠ABC,AG⊥BF,
∴△ABG是等腰三角形,
∴AB=GB=4cm,
∵BF平分∠ABC,
∴AD=DG,
∵E为AC的中点,
∴DE是△AGB的中位线,
∴DE=
CG,
∴CG=2DE=5cm,
∴BC=BG+CG=4+5=9cm,
故答案为:
9
【点评】本题考查了等腰三角形的判断和性质、三角形中位线定理的运用,熟记判断等腰三角形的各种方法是解题的关键.
三、解答题(本大题共5小题,共50.0分)
11.(10分)在△ABC中,点D为边BC的中点,点E在△ABC内,AE平分∠BAC,CE⊥AE,点F在AB上,且BF=DE.
如图,在△ABC中,点D为边BC的中点,点E在△ABC内,AE平分∠BAC,CE⊥AE,点F在AB上,且BF=DE.
(1)求证:
四边形BDEF是平行四边形;
(2)线段AB,BF,AC之间具有怎样的数量关系?
证明你所得到的结论.
【分析】
(1)证明△AGE≌△ACE,根据全等三角形的性质可得到GE=EC,再利用三角形的中位线定理证明DE∥AB,再加上条件DE=BF可证出结论;
(2)先证明BF=DE=
BG,再证明AG=AC,可得到BF=
(AB﹣AG)=
(AB﹣AC).
【解答】
(1)证明:
延长CE交AB于点G,
∵AE⊥CE,
∴∠AEG=∠AEC=90°,
在△AEG和△AEC中,
,
∴△AGE≌△ACE(ASA).
∴GE=EC.
∵BD=CD,
∴DE为△CGB的中位线,
∴DE∥AB.
∵DE=BF,
∴四边形BDEF是平行四边形.
(2)解:
BF=
(AB﹣AC).
理由如下:
∵四边形BDEF是平行四边形,
∴BF=DE.
∵D、E分别是BC、GC的中点,
∴BF=DE=
BG.
∵△AGE≌△ACE,
∴AG=AC,
∴BF=
(AB﹣AG)=
(AB﹣AC).
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,三角形中位线定理,题目综合性较强,证明GE=EC,再利用三角形中位线定理证明DE∥AB是解决问题的关键.
12.(10分)如图,等边△ABC的边长是2,D、E分别为AB、AC的中点,延长BC至点F,使CF=
BC,连接CD和EF.
(1)求证:
四边形CDEF是平行四边形;
(2)求四边形BDEF的周长和面积.
【分析】
(1)直接利用三角形中位线定理得出DE∥BC,再利用平行四边形的判定方法得出答案;
(2)利用等边三角形的性质结合平行四边形的性质得出DC=EF,进而求出四边形BDEF的周长.)过点D作DH⊥BC于H,求出CF、DH即可求出面积;
【解答】
(1)证明:
∵D、E分别是AB,AC中点,
∴DE∥BC,DE=
BC,
∵CF=
BC,
∴DE=CF,
∴四边形CDEF是平行四边形,
(2)解:
∵四边形DEFC是平行四边形,
∴DC=EF,
∵D为AB的中点,等边△ABC的边长是2,
∴AD=BD=1,CD⊥AB,BC=2,
∴DC=EF=
=
,
∴四边形BDEF的周长是1+1+2+1+
=5+
.
过点D作DH⊥BC于H.
∵∠DHC=90°,∠DCB=30°,
∴DH=
DC=
,
∵DE=CF=1,
∴S四边形DEFC=CF•DH=1×
=
.
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质以及平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理等知识,正确掌握平行四边形的性质是解题关键.
13.(10分)已知:
如图,在平行四边形ABCD中,E、F是对角线BD上的两点,且AE∥CF,求证:
四边形AECF是平行四边形.
【分析】由AAS证明△CDF≌△ABE,得出对应边相等AE=CF,根据一组对边平行且相等即可得出结论.
【解答】证明:
∵AE∥CF,
∴∠AEF=∠CFE,
∴180°﹣∠AEF=180°﹣∠CFE,
即∠AEB=∠DFC,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DC∥AB,DC=AB,
∴∠CDF=∠ABE,
在△CDF和△ABE中,
∵
,
∴△CDF≌△ABE(AAS),
∴AE=CF,
∵AE∥CF,
∴四边形AECF是平行四边形.
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质,平行四边形的判定方法共有五种,应用时要认真领会它们之间的联系与区别,同时要根据条件合理、灵活地选择方法.
14.(10分)如图,D是△ABC的边AB上一点,CE∥AB,DE交AC于点F,若FA=FC.
(1)求证:
四边形ADCE是平行四边形;
(2)若AE⊥EC,EF=EC=1,求四边形ADCE的面积.
【分析】
(1)首先利用ASA得出△DAF≌△ECF,进而利用全等三角形的性质得出CE=AD,即可得出四边形ACDE是平行四边形;
(2)由AE⊥EC,四边形ADCE是平行四边形,可推出四边形ADCE是矩形,由F为AC的中点,求出AC,根据勾股定理即可求得AE,由矩形面积公式即可求得结论.
【解答】
(1)证明:
∵CE∥AB,
∴∠EDA=∠DEC,
∵FA=FC∠DFA=∠CFE,
∴△ADF≌△CEF(ASA),
∴AF=CF
∴四边形ADCE是平行四边形.
(2)解:
∵AE⊥EC,
综合
(1)四边形ADCE是平行四边形,
∴四边形ADCE是矩形,
∴DE=2EF=2∠DCE=90°,
∴DC=
,
四边形ADCE的面积=CE•DC=
.
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定,全等三角形的判定与性质,矩形的判定,勾股定理,得出∴△DAF≌△ECF是解题关键.
15.(10分)学习了《平行四边形》一章以后,小东根据学习平行四边形的经验,对平行四边形的判定问题进行了再次探究
.以下是小东的探究过程,请补充完整:
(1)在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O.若AB∥CD,补充下列条件中能判断四边形ABCD是平行四边形的是:
(写出一个你认为正确选项的序号即可);
A.BC=AD;B.∠BAD=∠BCD;C.AO=CO
(2)将
(1)中的命题用文字语言表述为:
①命题1:
B或C .
②画出图形,并写出命题1的证明过程.
【分析】
(1)利用平行四边形的判定方法即可解决问题;
(2)写出已知求证,画出图形证明即可;
【解答】解:
(1)B或C;
故答案为B或C.
(2)①例如,选择C,文字语言表述为:
一组对边平行,一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形.
②已知:
如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,对角线AC,BD相交于点O,AO=CO.求证:
ABCD是平行四边形.
证明:
∵AB∥CD,
∴∠ABO=∠CDO,∠BAO=∠DCO,
∵AO=CO,
∴△AOB≌△COD,
∴AB=CD,
又∵AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
【点评】本题考查平行四边形的性质和判定,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,属于中考常考题型.
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