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考研数学二真题
2004年全国硕士研究生入学统一考试理工数学二试题详解及评析
一.填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上.)
(1)设f(x)=lim(n-1)x,则f(x)的间断点为x=.
n→∞nx2+1
【答】0
【详解】显然当x=0时,f(x)=0;
(1-1)x
当x≠0时,f(x)=lim(n-1)x=limn=x
=1,
⎧0,
⎨⎪
所以f(x)=⎪1
⎩x
n→∞nx2+1
x=0
x≠0
n→∞
x2+1
n
x2x
因为limf(x)=lim1=∞≠
f(0)
x→0
x→0x
故x=0为f(x)的间断点.
(2)设函数y(x)由参数方程的x取值范围为.
⎧⎪x=t3+3t+1
⎩
⎨⎪y=t3-3t+1
确定,则曲线y=y(x)向上凸
【答】
(-∞,1)(或(-∞,1])
【详解】由题意得:
dy
dydt
3t2-3
t2-12
dx=dx
dt
==
3t2+3
t2+1
=1-
t2
+1,
d2y=d⎛dy⎞dt=⎛-2⎞'⋅1=4t
dx2dt⎜dx⎟dx⎜1t2+1⎟
3(t2+1)3(t2+1)3,
<
⇒
d2y
令dx20
⎝⎠⎝⎠
t<0.
又x=t3+3t+1
单调增,在
t<0时,
x∈(-∞,1)。
(∵t=0时,x=1⇒x∈(-∞,1]
时,曲线凸.)
x2-1
(3)⎰+∞dx=.
1x
【答】π
2
【详解】方法一:
+∞dx
πsect⋅tantππ
xx2-1
x=sect
100
⎰⎰2sect⋅tantdt=⎰2dt=2.
1-t2
【详解】方法二:
1-1
t2
0
⎰+∞dxx=1⎰
t(-1)dt=⎰11dt=arcsint1=π
x2-1
1xt1
t2002
(4)设函数z=z(x,y)由方程z=e2x-3z+2y确定,则3∂z+∂z=.
∂x∂y
【答】2
【详解】方法一:
在z=e2x-3z+2y的两边分别对x,y求偏导,z为x,y的函数.
∂z=e2x-3z(2-3∂z),
∂x∂x
∂z=e2x-3z(-3∂z)+2,
∂y∂y
∂z2e2x-3z
从而∂x=1+3e2x-3z,
∂z=
∂y
2
1+3e2x-3z
∂z∂z
1+e2x-3z
所以
方法二:
3∂x+∂y=2⋅1+3e2x-3z=2
令F(x,y,z)=e2x-3z+2y-z=0
则∂F=e2x-3z⋅2,∂F=2,∂F=e2x-3z(-3)-1
∂x∂y∂z
∂F
∂x∂F
∂z
-
∂ze2x-3z⋅22e2x-3z
∴
∂x=-=-
(1+3e2x-3z
)=1+3e2x-3z,
∂F
∂y
∂F
∂z
∂z=-=-2=2,
∂y-(1+3e2x-3z)1+3e2x-3z
∂z∂z
⎛3e2x-3z1⎞
⎝⎠
从而3∂x+∂y=2⎜1+3e2x-3z+1+3e2x-3z⎟=2
方法三:
利用全微分公式,得
dz=e2x-3z(2dx-3dz)+2dy
=2e2x-3zdx+2dy-3e2x-3zdz
(1+3e2x-3z)dz=2e2x-3zdx+2dy
2e2x-3z2
∴dz=1+3e2x-3zdx+1+3e2x-3zdy
即
∂z=
∂x
2e2x-3z∂z
1+3e2x-3z,∂y
=2
1+3e2x-3z
从而3∂z+∂z=2
∂x∂y
(5)微分方程(y+x3)dx-2xdy=0满足y
x=1
=6的特解为.
5
【答】
y=1x3+
x
5
【详解】方法一:
原方程变形为dy-1
dx2x
y=1x2,
2
先求齐次方程dy-1
dx2x
dy=1
x
y2x
y=0的通解:
dx
积分得lny=1lnx+lnc⇒
2
y=c
x
x
x
设y=c(x)
为非齐次方程的通解,代入方程得
c'(x)
+c(x)1
-1c(x)2x
=1x2
2
2x
从而c'(x)=
13
x2,
2
3
5
积分得c(x)=⎰1x2dx+C=1x2+C,
25
于是非齐次方程的通解为
y=
x(1
5
x
x2+C)=C
+1x3
6
55
y
x=1=5
⇒C=1,
x
故所求通解为y=+1x3.
5
方法二:
原方程变形为dy-1
dx2x
y=1x2,
2
由一阶线性方程通解公式得
⎰
=⎰1dx⎡1
-⎰1dx⎤
2
ye2x
⎢x2e
⎣
2xdx+C⎥
⎦
⎰
=1lnx⎡1
-1lnx⎤
e2⎢
⎣2
⎡1
x2e2
3
dx+C⎥
⎦
x
⎤⎡15⎤
x
=⎢⎰
x2dx+C⎥=⎢x2+C⎥
⎣2
y
(1)=6⇒
5
⎦⎣5⎦
C=1,
x
从而所求的解为y=+1x3.
5
⎛210⎞
⎜⎟
(6)设矩阵A=⎜120⎟,矩阵B满足ABA*=2BA*+E,其中A*为A的伴
⎝⎠
⎜001⎟
随矩阵,E是单位矩阵,则B=.
【答】1
9
【详解】方法一:
ABA*=2BA*+E
⇔ABA*-2BA*=E,
⇔(A-2E)BA*=E,
∴A-2EBA*=E=1,
A-2EA*
0
1
0
10
00
0-1
A2
B=1=1
=1
(-1)⋅(-1)32
=1.
9
【详解】方法二:
由A*=AA-1,得
ABA*=2BA*+E⇒ABAA-1=2BAA-1+AA-1
⇒AAB=2AB+A
⇒A(A-2E)B=A
⇒A3
A-2EB=A
∴B=
1=1
A2A-2E9
二.选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
+x2x2x3
(7)把x→0
时的无穷小量α=⎰0costdt,β=⎰0tantdt,γ=⎰0sintdt排
列起来,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是
(A)α,β,γ.
(C)β,α,γ.
【答】应选(B)
(B)α,γ,β.
(D)β,γ,α.
【】
⎰xsint3dt
【详解】∵
lim
x→0+α
=lim
x→0+
0
⎰
xcost2dt0
3
sinx2⋅13
=lim2x=limx2
=limx=0,
即γ=o(α).
x→0+
cosx2
x→0+2x
x→0+2
又limβ
=lim
2
x
⎰0tan
tdt
=lim
tanx⋅2x
3
=lim
2x2
=0,
x→0+γ
x→0+
sint3dt
x
⎰
0
x→0+
sinx2⋅1
x→0+1x
2x
2
即β=o(γ).
从而按要求排列的顺序为α、γ、β,故选(B).
(8)设f(x)=x(1-x),则
(A)x=0是f(x)的极值点,但(0,0)不是曲线y=f(x)的拐点.
(B)x=0不是f(x)的极值点,但(0,0)是曲线y=f(x)的拐点.
(C)x=0是f(x)的极值点,且(0,0)是曲线y=f(x)的拐点.
(D)x=0不是f(x)的极值点,(0,0)也不是曲线y=
【答】应选(C)
f(x)的拐点.
【】
⎧-x(1-x),-1 ⎩ 【详解】f(x)=⎨x(1-x),0 ⎨ f'(x)=⎧-1+2x,-1 ⎩1-2x,0 ⎩ f''(x)=⎧2, -1 从而-1 ⎨-2,0 f(x)凹,1>x>0时, f(x)凸,于是(0,0)为拐点. 又f(0)=0, x≠0、1时, f(x)>0,从而x=0为极小值点. 所以, x=0是极值点,(0,0)是曲线y= f(x)的拐点,故选(C). n(1+1)2(1+2)2…(1+n)2 n n n (9)limln等于 n→∞ (A)⎰2ln2xdx.(B)2⎰2lnxdx. 11 (C)2⎰2ln(1+x)dx.(D)⎰2ln2(1+x)dx 11 【】 【答】应选(B) n(1+1)2(1+2)2…(1+n)2 n n n 【详解】limln n→∞ 2 =limln⎡(1+1)(1+2)…(1+n)⎤n n→∞⎢⎣ nnn⎥⎦ =lim2⎡ln(1+1)+ln(1+2)+…+(1+n)⎤ n→∞n⎢⎣ n =lim2∑ nnn⎥⎦ ln(1+i)1 n→∞ i=1nn ⎰ =21ln(1+x)dx 2 0 故选(B). 1+x=t 2⎰1lntdt =22lnxdx ⎰ 1 (10)设函数f(x)连续,且f'(0)>0,则存在δ>0,使得 (A)f(x)在(0,δ)内单调增加. (B)f(x)在(-δ,0)内单调减小. (C)对任意的x∈(0,δ)有f(x)> f(0). (D)对任意的x∈(-δ,0)有f(x)> 【答】应选(C) 【详解】由导数的定义知 f(0). 【】 f'(0)=lim x→0 f(x)-f(0)>0, x-0 由极限的性质, ∃δ>0,使x<δ时,有 f(x)-f(0)>0 x 即δ>x>0时, f(x)> f(0), -δ f(x)< f(0), (11)微分方程y''+y=x2+1+sinx的特解形式可设为 (A)y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx). (B)y*=x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx). (C)y*=ax2+bx+c+Asinx. (D)y*=ax2+bx+c+Acosx 【答】应选(A) 【详解】对应齐次方程y''+y=0 【】 的特征方程为 特征根为 λ2+1=0, λ=±i, 对y''+y=x2+1=e0(x2+1) 而言,因0不是特征根,从而其特解形式可设为 1 y*=ax2+bx+c 对y''+y=sinx=Im(eix),因i为特征根,从而其特解形式可设为 2 y*=x(Asinx+Bcosx) 从而y''+y=x2+1+sinx 的特解形式可设为 y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx) (12)设函数f(u)连续,区域D={(x,y)x2+y2≤2y},则⎰⎰f(xy)dxdy等于 D ⎰⎰ 11-x2 (A)-1dx-1-x2 f(xy)dy. ⎰⎰ 22y-y2 (B)20dy0 f(xy)dx. ⎰θ⎰ π2sinθ (C)0d0 ⎰θ⎰ π2sinθ (D)0d0 【答】应选(D) f(r2sinθcosθ)dr. f(r2sinθcosθ)rdr 【】 【详解】积分区域见图.在直角坐标系下, 1-(y-1)2 2 ⎰⎰f(xy)dxdy=⎰0dy⎰-1-(y-1)2 D f(xy)dx ⎰ =⎰1 1+1-x2 dx -1 故应排除(A)、(B). 1-1-x2 f(xy)dy ⎧x=rcosθ ⎩ 在极坐标系下,⎨y=rsinθ, ⎰⎰⎰θ⎰ π2sinθ f(xy)dxdy=0d0 f(r2sinθcosθ)rdr, D 故应选(D). y (13)设A是3阶 x 2 ⋅1 -1 o 1 方阵,将A的第1列与第2 列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C,则满足AQ=C的可逆矩阵Q为 ⎛010⎞⎛010⎞ (A)⎜100⎟.(B)⎜101⎟. ⎜⎟ ⎝⎠ ⎜101⎟ ⎛010⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎜001⎟ ⎛011⎞ (C)⎜100⎟.(D)⎜100⎟. ⎜⎟ ⎝⎠ ⎜011⎟ 【答】应选(D) ⎛010⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎜001⎟ 【】 ⎛100⎞ 【详解】由题意B=A⎜100⎟,C=B⎜011⎟, ⎜⎟ ⎝⎠ ⎜001⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎜001⎟ ⎛010⎞⎛100⎞⎛011⎞ ∴C=A⎜100⎟⎜011⎟=A⎜100⎟=AQ, ⎛011⎞ ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ ⎜001⎟⎜001⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎜001⎟ ⎜⎟ 从而Q=⎜100⎟,故选(D). ⎝⎠ ⎜001⎟ (14)设A,B为满足AB=0的任意两个非零矩阵,则必有 (A)A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关. (B)A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关. (C)A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关. (D)A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关. 【】 【答】应选(A) 【详解】方法一: 设A=(aij)l⨯m,B=(bij)m⨯n,记 A=(A1 A2… Am) ⎛b11 b12 …b1n⎞ ⎜bb…b⎟ AB=0 ⇒(AA …A)⎜ 21222n⎟ 12m⎜⋅⋅…⋅⎟ ⎜bb…b⎟ ⎝m1m2mn⎠ =(b11A1+…+bm1Am …b1nA1+…+bmnAm)=0 (1) 由于B≠0,所以至少有一 bij≠0(1≤i≤m,1≤ j≤n), 从而由 (1)知, b1jA1+b2jA2+…+bijAi+…+bm1Am=0, 于是A1,A2,…,Am线性相关. ⎛B1⎞ ⎜B⎟ 又记B=⎜2⎟,则 ⎜#⎟ ⎜B⎟ ⎝m⎠ ⎛a11a12 …a1m⎞⎛B1⎞ ⎛a11B1+a12B2+…+a1mBm⎞ ⎜aa …a⎟⎜B⎟ ⎜aB+aB+…+aB⎟ AB=0⇒ ⎜21222m⎟⎜ 2⎟=⎜ 2112222mm⎟=0 ⎜⋅⋅…⋅⎟⎜#⎟⎜…⎟ ⎜aa …a⎟⎜B⎟ ⎜aB + aB +…+aB⎟ ⎝l1l2 lm⎠⎝m⎠ ⎝l11 l22 lmm⎠ 由于A≠0,则至少存在一aij≠0(1≤i≤l,1≤j≤m),使 ai1B1+ai2B2+aijBj+…+aimBm=0, 从而B1,B2,…,Bm线性相关, 故应选(A). 方法二: 设A为m×n矩阵,B为n×s矩阵,则由AB=0知, r(A)+r(B) 又A、B为非零矩阵,所以r(A)>0,r(B)>0,从而r(A) 的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关,故应选(A). 三.解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15)(本题满分10分) 1⎡⎛2+cosx⎞x⎤ 求极限lim 3⎢⎜⎟ -1⎥. x→0x ⎢⎣⎝3⎠⎥⎦ 【详解】方法一: xln⎛2+cosx⎞ 1⎡⎛2+cosx⎞x⎤e⎜3⎟-1 lim 3⎢⎜⎟ ⎝⎠ -1⎥=lim3 x→0x ⎢⎣⎝3⎠ ⎦⎥x→0 x ln⎛2+cosx⎞ ⎜3⎟ =lim⎝⎠ x→0x2 =limln(2+cosx)-ln3 x→0 x2 1(⋅-sinx) =lim2+cosx x→0 =-1lim 2x 1⋅sinx=-1 【详解】方法二: 2x→02+cosxx6 xln⎛2+cosx⎞ 1⎡⎛2+cosx⎞x⎤ e⎜3⎟-1 lim 3⎢⎜⎟ ⎝⎠ -1⎥=lim3 x→0x ⎢⎣⎝3⎠ ⎦⎥x→0 x ln⎛2+cosx⎞ ⎜3⎟ =lim x→0 ⎝⎠ x2 ln(1+cosx-1 ) =lim3 x→0x2 =limcosx-1=-1 x→03x26 (16)(本题满分10分) 设函数f(x)在(-∞,+∞)上有定义,在区间[0,2]上, 任意的x都满足f(x)=kf(x+2),其中k为常数.(Ⅰ)写出f(x)在[-2,0]上的表达式; f(x)=x(x2-4),若对 (Ⅱ)问k为何值时,f(x)在x=0处可导. 【详解】(Ⅰ)当-2≤x<0,即0≤x+2<2时, f(x)=kf(x+2)=k(x+2)[(x+2)2-4]=kx(x+2)(x+4). (Ⅱ)由题设知f(0)=0. + f'(0)=lim x→0+ f(x)-f(0) x-0 =lim x→0+ x(x2-4) x =-4 f'(0)=lim f(x)-f(0)=limkx(x+2)(x+4)=8k. -x→0- x-0 x→0-x 令f'(0)=f'(0),得k=-1. -+ 即当k=-1时, 2 2 f(x)在x=0处可导. (17)(本题满分11分) x+π 设f(x)=⎰xsintdt, 2 (Ⅰ)证明f(x)是以π为周期的周期函数;(Ⅱ)求f(x)的值域. 【详解】(Ⅰ)设t=u+π,则有 f(x+π)=⎰ f(x+π)=⎰ x+3π 2 x+π x+π 2 sint
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