考研数二真题及解析考研数二真题及解析docx.docx
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2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题:
1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项
符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.
(1)设f(x)x2(x1)(x2),求f(x)的零点个数()
A0B1C2D3
(2)如图,曲线段方程为y
f(x),
函数在区间[0,a]上有连续导数,则
y
C(0,f(a))
A(a,f(a))
a
定积分
xf(x)dx等于(
)
y=f(x)
0
A曲边梯形ABOD面积.
B梯形ABOD面积.
D
C曲边三角形ACD面积.
D三角形ACD面积.OB(a,0)x
(3)在下列微分方程中,以yC1ex
C2cos2x
C3sin2x(C1,C2,C3为任意常数)为通解
的是(
)
Ay
y4y4y0.
B
y
y4y4y0.
Cy
y4y4y0.
D
y
y4y4y0.
(4)判断函数f(x)
lnxsinx(x0)间断点的情况()
x1
A有1个可去间断点,1个跳跃间断点
B有1个跳跃间断点,1个无穷间断点
C有两个无穷间断点
D有两个跳跃间断点
第1页共14页
(5)
设函数f
(x)在(
)内单调有界,
xn为数列,下列命题正确的是
(
)
A
若
xn收敛,则
f(xn)
收敛.
B
若xn单调,则f(xn)
收敛.
C
若
f(xn)
收敛,则xn
收敛.
D
若f(xn)
单调,则
xn
收敛.
设函数f
连续.若F
u,v
f
x2
y2
Duv为图中阴影部分,则
(6)
x2
dxdy,其中区域
Duv
y2
F
(
)
y
x2+y2=u2
u
A
vf
u2
x2+y2=1
B
vf
u2
u
C
vf
u
v
Duv
Dvfuu
Ox
(7)设A为n阶非零矩阵,E为n阶单位矩阵.若A3O,则()
AEA不可逆,EA不可逆.BEA不可逆,EA可逆.
CEA可逆,EA可逆.DEA可逆,EA不可逆.
1
2
A合同的矩阵为()
(8)设A
,则在实数域上与
2
1
2
1
.
2
1
A
2
B
2
1
1
2
1
1
2
C
.
D
1
1
2
2
.
.
二、填空题:
9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.
(9)
f(x)连续,lim
1
cos(sinx)
1,则f(0)
2
x
0(ex
1)f(x)
(10)
微分方程(y
x2ex)dxxdy
0的通解是y
第2页共14页
(11)
曲线sinxy
ln
yx
x在点0,1处的切线方程为
.
2
(12)
求函数f(x)
(x
5)x3
的拐点______________.
y
(13)已知z
x
x
y
z
_______.
,则
x(1,2)
(14)矩阵A的特征值是,2,3,其中未知,且2A48,则=_______.
三、解答题:
15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)(本题满分9分)
sinx
sinsinx
sinx
求极限lim
x
4
.
x0
(16)(本题满分10分)
xx(t)
设函数yy(x)由参数方程t2确定,其中x(t)是初值问题
yln(1u)du
0
dx
2tex
0
d2y
dt
的解.求
dx
2.
x|t0
0
(17)(本题满分9分)
1
x
2arcsinx
计算
dx
0
1x2
(18)(本题满分11分)
计算
max,1
其中
D{(x,y)0x2,0y2}
xy
dxdy
D
(19)(本题满分11分)
设f(x)是区间[0,)上具有连续导数的单调增加函数,且f(0)1.对于任意的
t[0,),直线x0,xt,曲线yf(x)以及x轴所围成曲边梯形绕x轴旋转一周生
成一旋转体.若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍,求函数f(x)的表达式.
第3页共14页
(20)(本题满分11
分)
(I)
证明积分中值定理:
若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则至少存在一点
[a,b],
b
f(x)dx
f()(ba);
使得
a
(x)具有二阶导数,且满足,
(2)
(1),
(2)
3
(II)
若函数
(x)dx,则至少存在
2
一点
(1,3),使得()0.
(21)(本题满分11分)
求函数ux2y2z2在约束条件zx2y2和xyz4下的最大和最小值.
(22)(本题满分12分)
设n元线性方程组
Axb,其中
2a
1
x1
1
a2
2a
x2
0
A
1
,x
,b
a2
2ann
xn
0
(I)
证明行列式A
n1an
(II)
当a为何值时,该方程组有唯一解,并求
x1
(III)当a为何值时,该方程组有无穷多解,并求通解
(23)(本题满分10分)
设A为
3阶矩阵,
1,2为A的分别属于特征值
1,1的特征向量,向量
3满足
A32
3,
(I)证明1,2,3线性无关;
(II)令P1,2,3,求P1AP
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析
第4页共14页
一、选择题
(1)【答案】D
【详解】因为
f(0)
f
(1)
f
(2)
0,由罗尔定理知至少有
1(0,1),
2(1,2)使
f
(1)
f
(2)
0,所以
f(x)至少有两个零点
.由于f(x)是三次多项式,三次方程
f(x)0的实根不是三个就是一个,故
D正确.
(2)【答案】C
a
a
xf(x)0a
a
f(x)dxaf(a)
a
【详解】
xf(x)dx
xdf(x)
0
f(x)dx
0
0
0
其中af(a)是矩形ABOC面积,
a
(x)dx为曲边梯形ABOD的面积,所以
a
f
xf(x)dx为
0
0
曲边三角形的面积.
(3)【答案】D
【详解】由微分方程的通解中含有
ex
、cos2x、sin2x知齐次线性方程所对应的特征方程
有根r1,r
2i,所以特征方程为
(r
1)(r
2i)(r2i)0,即r3
r2
4r
40.故
以已知函数为通解的微分方程是y
y
4y
40
(4)【答案】A
【详解】x
0,x
1时f(x)无定义,故
x
0,x
1是函数的间断点
因为lim
f(x)
lim
lnx
1
lim
1x
cscx
lim
1|
cscxcotx
x0
x0
x0|x
x0
lim
sin2x
lim
x
0
x0
xcosx
x0
cosx
同理
又
所以
lim
f(x)
0
x
0
lim
f(x)
lim
lnx
x
1
x
1
x
1
lim
f(x)
lim
lnx
x
1
x
1
1
x
x0是可去间断点,
limsinx
lim
1
sin1sin1
x1
x1
x
limsinx
sin1
x1
x1是跳跃间断点.
(5)【答案】B
【详解】因为
f(x)在(,
)内单调有界,且
{x}单调.所以{f(xn)}单调且有界.故
n
第5页共14页
{f(xn)}一定存在极限.
(6)【答案】A
f
u2
v2
v
u
2
)rdr
u
2)dr
【详解】用极坐标得
Fu,v
u2
v2
dudv
dv
f(rr
vf(r
D
0
1
1
所以
F
vf
u2
u
(7)【答案】C
【详解】(EA)(EAA2)EA3E,(EA)(EAA2)EA3E
故EA,EA均可逆.
(8)【答案】D
1
2
【详解】记D
,
2
1
1
2
2
1
2
2
则ED
1
1
4,又EA
1
4
2
2
1
所以A和D有相同的特征多项式,所以
A和D有相同的特征值.
又A和D为同阶实对称矩阵,所以
A和D相似.由于实对称矩阵相似必合同,故
D正确.
二、填空题
(9)【答案】2
【详解】
所以
1
cos[xf(x)]
lim
2sin2[xf(x)2]
lim
2sin2[xf(x)2]
f(x)
lim
2
x2f(x)
[xf(x)2]2
4
x0(ex
1)f(x)
x0
x0
1lim
f(x)
1
f(0)
1
2x
0
2
f(0)
2
(10)【答案】x(ex
C)
【详解】微分方程y
x2ex
dx
xdy
0可变形为dy
y
xex
dx
x
1
1
xxex1
dx
xexe
dx
C
dx
C
x(ex
C)
所以yex
xdx
x
第6页共14页
(11)【答案】
【详解】设
yx
1
1
1
dy
Fx
ycos(xy)
x
F(x,y)
y
,
sin(xy)ln(yx)x,则
1
dx
Fy
xcos(xy)
x
y
将y(0)1代入得dy1,所以切线方程为y1x0,即yx1
dxx0
(12)【答案】(1,6)
【详解】y
x53
5x23
y
5x23
10x13
10(x
2)
3
3
3x13
y
10
x13
10
x43
10(x
1)
9
9
9x43
x
1时,y
0
;x
0时,y
不存在
在x
1左右近旁
y
异号,在x
0左右近旁y
0,且y
(1)6
故曲线的拐点为(
1,
6)
(13)【答案】
2(ln21)
2
【详解】设
所以
u
y,v
x,则z
uv
x
y
z
zu
zv
vuv1(
y2
)uvlnu1
x
ux
vx
x
y
xy
1lny
uv
vylnu
y
1
ux2
y
x
y
x
所以
z
2(ln2
1)
x(1,2)
2
(14)【答案】-1
【详解】|A|
23
6
|2A|23|A|
23
6
48
1
第7页共14页
三、解答题
(15)【详解】
[sinx
sin(sinx)]sinx
sinx
sin(sinx)
方法一:
lim
x
4
lim
x
3
x0
x0
cosx
cos(sinx)cosx
1
cos(sinx)
1sin
2x
1
lim
lim
lim2
3x
2
3x
2
2
6
x0
x0
x
0
3x
方法二:
sinxx
1x3
o(x3)
sin(sinx)sinx
1sin3x
o(sin3x)
6
6
lim
[sinx
sin(sinx)]sinx
lim
sin4xo(sin4
x)
1
x
4
6x
4
x
4
6
x0
x0
(16)【详解】
方法一:
由dx
2
x
0
x
2tdt,积分并由条件x
得
e
x
1
t
2
,即x
n(1l
)t
2
dt
te
得edx
t0
dy
dy
ln(1
t2)
2t
所以
dt
(1
2
)ln(1
2
)
dx
dx
2t
t
t
dt
1
t2
d
2
2
d2y
d
dy
dt
[(1
t
)ln(1
t
)]
2tln(1
t2)
2t
dx2
dx
dx
dx
2t
dt
1
t2
(1
t2)[ln(1
t2)
1]
方法二:
由dx
2
x
0
得
x
2tdt,积分并由条件
xt0
得
e
x
1
t
2
,即x
n(1l
)t
2
dt
te
edx
dy
dy
ln(1
t2)
2t
所以
dt
(1
2
)ln(1
2
)
x
dx
dx
2t
t
t
ex
dt
1
t2
所以
d2y
ex(x1)
dx2
(17)【详解】
x2
arcsinx
1
x2arcsinx
方法一:
由于lim
2
,故
dx是反常积分.
x1
1
x
0
1
x
2
令arcsinx
t
,有x
sint,t
[0,
2)
第8页共14页
1x2arcsinx
tsin2
t
costdt
2tsin
2
tdt
t
tcos2t
dx
2
2
(
)dt
0
1x2
0cost
0
0
2
2
t22
1
2tdsin2t
2
tsin2t2
40
4
16
4
0
0
2
1
2
2
1
cos2t
16
16
4
8
0
1
2sin2tdt
4
0
1x2
arcsinx
dx
1
1
2
d(arcsinx)
2
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