高中数学21对数与对数运算第1课时示范教案新人教A版必修1.docx
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高中数学21对数与对数运算第1课时示范教案新人教A版必修1
2019-2020年高中数学(2.1对数与对数运算第1课时)示范教案新人教A版必修1
教学分析
我们在前面的学习过程中,已了解了指数函数的概念和性质,它是后续学习的基础,从本节开始我们学习对数及其运算.使学生认识引进对数的必要性,理解对数的概念及其运算性质,了解对数换底公式及其简单应用,能将一般对数转化为常用对数或自然对数,通过阅读材料,了解对数的发现历史及其对简化运算的作用.
教材注重从现实生活的事例中引出对数概念,所举例子比较全面,有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望.教学中要充分发挥课本的这些材料的作用,并尽可能联系一些熟悉的事例,以丰富教学的情景创设.教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能,教材安排了“阅读与思考”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读.根据本节内容的特点,教学中要注意发挥信息技术的力量,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,尽量利用计算器和计算机创设教学情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持.
三维目标
1.理解对数的概念,了解对数与指数的关系;理解和掌握对数的性质;掌握对数式与指数式的关系;通过实例推导对数的运算性质,准确地运用对数运算性质进行运算,并掌握化简求值的技能;运用对数运算性质解决有关问题.培养学生分析、综合解决问题的能力;培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度.
2.通过与指数式的比较,引出对数的定义与性质;让学生经历并推理出对数的运算性质;让学生归纳整理本节所学的知识.
3.学会对数式与指数式的互化,从而培养学生的类比、分析、归纳能力;通过对数的运算法则的学习,培养学生的严谨的思维品质;在学习过程中培养学生探究的意识;让学生感受对数运算性质的重要性,增加学生的成功感,增强学习的积极性.
重点难点
教学重点:
对数式与指数式的互化及对数的性质,对数运算的性质与对数知识的应用.
教学难点:
对数概念的理解,对数运算性质的推导及应用.
课时安排
3课时
教学过程
第1课时对数与对数运算
(1)
导入新课
思路1.1.庄子:
一尺之棰,日取其半,万世不竭.
(1)取4次,还有多长?
(2)取多少次,还有0.125尺?
2.假设xx年我国国民生产总值为a亿元,如果每年平均增长8%,那么经过多少年国民生产总值是xx年的2倍?
抽象出:
1.()4=?
()x=0.125x=?
2.(1+8%)x=2x=?
都是已知底数和幂的值,求指数.你能看得出来吗?
怎样求呢?
像上面的式子,已知底数和幂的值,求指数,这就是我们这节课所要学习的对数〔引出对数的概念,教师板书课题:
对数与对数运算
(1)〕.
思路2.我们前面学习了指数函数及其性质,同时也会利用性质解决问题,但仅仅有指数函数还不够,为了解决某些实际问题,还要学习对数函数,为此我们先学习对数〔引出对数的概念,教师板书课题:
对数与对数运算
(1)〕.
推进新课
新知探究
提出问题
(对于课本P572.1.2的例8)
①利用计算机作出函数y=13×1.01x的图象.
②从图象上看,哪一年的人口数要达到18亿、20亿、30亿…?
③如果不利用图象该如何解决,说出你的见解?
即=1.01x,=1.01x,=1.01x,在这几个式子中,x分别等于多少?
④你能否给出一个一般性的结论?
活动:
学生讨论并作图,教师适时提示、点拨.
对问题①,回忆计算机作函数图象的方法,抓住关键点.
对问题②,图象类似于人的照片,从照片上能看出人的特点,当然从函数图象上就能看出函数的某些点的坐标.
对问题③,定义一种新的运算.
对问题④,借助③,类比到一般的情形.
讨论结果:
①如图2-2-1-1.
图2-2-1-1
②在所作的图象上,取点P,测出点P的坐标,移动点P,使其纵坐标分别接近18,20,30,观察这时的横坐标,大约分别为32.72,43.29,84.04,这就是说,如果保持年增长率为1个百分点,那么大约经过33年,43年,84年,我国人口分别约为18亿,20亿,30亿.
③=1.01x,=1.01x,=1.01x,在这几个式子中,要求x分别等于多少,目前我们没学这种运算,可以定义一种新运算,即若=1.01x,则x称作以1.01为底的的对数.其他的可类似得到,这种运算叫做对数运算.
④一般性的结论就是对数的定义:
一般地,如果a(a>0,a≠1)的x次幂等于N,就是ax=N,那么数x叫做以a为底N的对数(logarithm),记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.
有了对数的定义,前面问题的x就可表示了:
x=log1.01,x=log1.01,x=log1.01.
由此得到对数和指数幂之间的关系:
a
N
b
指数式ab=N
底数
幂
指数
对数式logaN=b
对数的底数
真数
对数
例如:
42=162=log416;102=1002=log10100;4=2=log42;10-2=0.01-2=log100.01
提出问题
①为什么在对数定义中规定a>0,a≠1?
②根据对数定义求loga1和logaa(a>0,a≠1)的值.
③负数与零有没有对数?
④=N与logaab=b(a>0,a≠1)是否成立?
讨论结果:
①这是因为若a<0,则N为某些值时,b不存在,如log(-2);
若a=0,N不为0时,b不存在,如log03,N为0时,b可为任意正数,是不唯一的,即log00有无数个值;
若a=1,N不为1时,b不存在,如log12,N为1时,b可为任意数,是不唯一的,即log11有无数个值.综之,就规定了a>0且a≠1.
②loga1=0,logaa=1.
因为对任意a>0且a≠1,都有a0=1,所以loga1=0.
同样易知:
logaa=1.
即1的对数等于0,底的对数等于1.
③因为底数a>0且a≠1,由指数函数的性质可知,对任意的b∈R,ab>0恒成立,即只有正数才有对数,零和负数没有对数.
④因为ab=N,所以b=logaN,ab=a=N,即a=N.
因为ab=ab,所以logaab=b.故两个式子都成立.(a=N叫对数恒等式)
思考我们对对数的概念和一些特殊的式子已经有了一定的了解,但还有两类特殊的对数对科学研究和了解自然起了巨大的作用,你们知道是哪两类吗?
活动:
同学们阅读课本P68的内容,教师引导,板书.
解答:
①常用对数:
我们通常将以10为底的对数叫做常用对数.为了简便,N的常用对数log10N简记作lgN.
例如:
log105简记作lg5;log103.5简记作lg3.5.
②自然对数:
在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……为底的对数,以e为底的对数叫自然对数,为了简便,N的自然对数logeN简记作lnN.
例如:
loge3简记作ln3;loge10简记作ln10.
应用示例
思路1
例1将下列指数式写成对数式,对数式写成指数式:
(1)54=625;
(2)2-6=;(3)()m=5.73;
(4)log16=-4;(5)lg0.01=-2;(6)ln10=2.303.
活动:
学生阅读题目,独立解题,把自己解题的过程展示在屏幕上,教师评价学生,强调注意的问题.
对
(1)根据指数式与对数式的关系,4在指数位置上,4是以5为底625的对数.
对
(2)根据指数式与对数式的关系,-6在指数位置上,-6是以2为底的对数.
对(3)根据指数式与对数式的关系,m在指数位置上,m是以为底5.73的对数.
对(4)根据指数式与对数式的关系,16在真数位置上,16是的-4次幂.
对(5)根据指数式与对数式的关系,0.01在真数位置上,0.01是10的-2次幂.
对(6)根据指数式与对数式的关系,10在真数位置上,10是e的2.303次幂.
解:
(1)log5625=4;
(2)log2=-6;(3)log5.73=m;
(4)()-4=16;(5)10-2=0.01;(6)e2.303=10.
思考指数式与对数式的互化应注意哪些问题?
活动:
学生考虑指数式与对数式互化的依据,回想对数概念的引出过程,理清对数与指数幂的关系,特别是位置的对照.
解答:
若是指数式化为对数式,关键要看清指数是几,再写成对数式.若是对数式化为指数式,则要看清真数是几,再写成幂的形式.最关键的是搞清N与b在指数式与对数式中的位置,千万不可大意,其中对数的定义是指数式与对数式互化的依据.
变式训练
课本P64练习1、2.
例2求下列各式中x的值:
(1)log64x=;
(2)logx8=6;
(3)lg100=x;(4)-lne2=x.
活动:
学生独立解题,教师同时展示学生的作题情况,要求学生说明解答的依据,利用指数式与对数式的关系,转化为指数式求解.
解:
(1)因为log64x=-,所以x=64=
(2)=2-4=.
(2)因为logx8=6,所以x6=8=23=()6.因为x>0,因此x=.
(3)因为lg100=x,所以10x=100=102.因此x=2.
(4)因为-lne2=x,所以lne2=-x,e-x=e2.因此x=-2.
点评:
本题要注意方根的运算,同时也可借助对数恒等式来解.
变式训练
求下列各式中的x:
①log4x=;②logx27=;③log5(log10x)=1.
解:
①由log4x=,得x=4=2;
②由logx27=,得x=27,所以x=27=81;
③由log5(log10x)=1,得log10x=5,即x=105.
点评:
在解决对数式的求值问题时,若不能一下子看出结果,根据指数式与对数式的关系,首先将其转化为指数式,进一步根据指数幂的运算性质算出结果.
思路2
例1以下四个命题中,属于真命题的是()
(1)若log5x=3,则x=15
(2)若log25x=,则x=5(3)若logx=0,则x=(4)若log5x=-3,则x=
A.
(2)(3)B.
(1)(3)C.
(2)(4)D.(3)(4)
活动:
学生观察,教师引导学生考虑对数的定义.
对数式化为指数式,根据指数幂的运算性质算出结果.
对于
(1)因为log5x=3,所以x=53=125,错误;
对于
(2)因为log25x=,所以x=25=5,正确;
对于(3)因为logx=0,所以x0=,无解,错误;
对于(4)因为log5x=-3,所以x=5-3=,正确.
总之
(2)(4)正确.
答案:
C
点评:
对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据.
例2
对于a>0,a≠1,下列结论正确的是()
(1)若M=N,则logaM=logaN
(2)若logaM=logaN,则M=N(3)若logaM2=logaN2,则M=N
(4)若M=N,则logaM2=logaN2
A.
(1)(3)B.
(2)(4)C.
(2)D.
(1)
(2)(4)
活动:
学生思考,讨论,交流,回答,教师及时评价.
回想对数的有关规定.
对
(1)若M=N,当M为0或负数时logaM≠logaN,因此错误;
对
(2)根据对数的定义,若logaM=logaN,则M=N,正确;
对(3)若logaM2=logaN2,则M=±N,因此错误;
对(4)若M=N=0时,则logaM2与logaN2都不存在,因此错误.
综上,
(2)正确.
答案:
C
点评:
0和负数没有对数,一个正数的平方根有两个.
例3计算:
(1)log927;
(2)log81;(3)log(2-3);(4)log625.
活动:
教师引导,学生回忆,教师提问,学生回答,积极交流,学生展示自己的解题过程,教师及时评价学生.利用对数的定义或对数恒等式来解.求式子的值,首先设成对数式,再转化成指数式或指数方程求解.另外利用对数恒等式可直接求解,所以有两种解法.
解法一:
(1)设x=log927,则9x=27,32x=33,所以x=;
(2)设x=log81,则()x=81,3=34,所以x=16;
(3)令x=log(2-)=log(2+)-1,
所以(2+)x=(2+)-1,x=-1;
(4)令x=log625,所以()x=625,5x=54,x=3.
解法二:
(1)log927=log933=log99=;
(2)log81=log()16=16;
(3)log(2-)=log(2+)-1=-1;
(4)log625=log()3=3.
点评:
首先将其转化为指数式,进一步根据指数幂的运算性质算出结果,对数的定义是转化和对数恒等式的依据.
变式训练
课本P64练习3、4.
知能训练
1.把下列各题的指数式写成对数式:
(1)42=16;
(2)30=1;(3)4x=2;(4)2x=0.5;(5)54=625;(6)3-2=;(7)()-2=16.
解:
(1)2=log416;
(2)0=log31;(3)x=log42;(4)x=log20.5;(5)4=log5625;
(6)-2=log3;(7)-2=log16.
2.把下列各题的对数式写成指数式:
(1)x=log527;
(2)x=log87;(3)x=log43;(4)x=log7;
(5)log216=4;(6)log27=-3;(7)log=6;(8)logx64=-6;
(9)log2128=7;(10)log327=a.
解:
(1)5x=27;
(2)8x=7;(3)4x=3;(4)7x=;(5)24=16;(6)()-3=27;(7)()6
=x;(8)x-6=64;(9)27=128;(10)3a=27.
3.求下列各式中x的值:
(1)log8x=;
(2)logx27=;(3)log2(log5x)=1;(4)log3(lgx)=0.
解:
(1)因为log8x=,所以x=8=(23)==2-2=;
(2)因为logx27=,所以x=27=33,即x=(33)=34=81;
(3)因为log2(log5x)=1,所以log5x=2,x=52=25;
(4)因为log3(lgx)=0,所以lgx=1,即x=101=10.
4.
(1)求log84的值;
(2)已知loga2=m,loga3=n,求a2m+n的值.
解:
(1)设log84=x,根据对数的定义有8x=4,即23x=22,所以x=,即log84=;
(2)因为loga2=m,loga3=n,根据对数的定义有am=2,an=3,
所以a2m+n=(am)2·an=
(2)2·3=4×3=12.
点评:
此题不仅是简单的指数与对数的互化,还涉及到常见的幂的运算法则的应用.
拓展提升
请你阅读课本75页的有关阅读部分的内容,搜集有关对数发展的材料,以及有关数学家关于对数的材料,通过网络查寻关于对数换底公式的材料,为下一步学习打下基础.
课堂小结
(1)对数引入的必要性;
(2)对数的定义;(3)几种特殊数的对数;(4)负数与零没有对数;(5)对数恒等式;(6)两种特殊的对数.
作业
课本P74习题2.2A组1、2.
【补充作业】
1.将下列指数式与对数式互化,有x的求出x的值.
(1)5=;
(2)log24=x;(3)3x=;
(4)()x=64;(5)lg0.0001=x;(6)lne5=x.
解:
(1)5=化为对数式是log5=;
(2)x=log4化为指数式是()x=4,即2=22,=2,x=4;
(3)3x=化为对数式是x=log3,因为3x=()3=3-3,所以x=-3;
(4)()x=64化为对数式是x=log64,因为()x=64=43,所以x=-3;
(5)lg0.0001=x化为指数式是10x=0.0001,因为10x=0.0001=10-4,所以x=-4;
(6)lne5=x化为指数式是ex=e5,因为ex=e5,所以x=5.
2.计算的值.
解:
设x=log3,则3x=,(3)x=(),所以x=log.
所以3===.
3.计算(a>0,b>0,c>0,N>0).
解:
===N.
设计感想
本节课在前面研究了指数函数及其性质的基础上,为了运算的方便,引进了对数的概念,使学生感受到对数的现实背景,它有着丰富的内涵,和我们的实际生活联系密切,也是以后学习对数函数的基础,鉴于这种情况,安排教学时,无论是导入还是概念得出的过程,都比较详细,通俗易懂,要反复练习,要紧紧抓住它与指数概念之间的联系与区别,结合指数式理解对数式,强化对数是一种运算,并注意对数运算符号的理解和记忆,多运用信息化的教学手段,顺利完成本堂课的任务,为下一节课作准备.
(设计者:
路致芳)
2019-2020年高中数学(2.1对数与对数运算第2课时)示范教案新人教A版必修1
导入新课
思路1.碳14测年法.原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳14,并与氧结合成二氧化碳后进入所有活组织,先为植物吸收,再为动物吸收,只要植物和动物生存着,它们就会不断地吸收碳14在机体内保持一定的水平.而当有机体死亡后,即会停止吸收碳14,其组织内的碳14便以约5730年的半衰期开始衰变并消失.对于任何含碳物质只要测定剩下的放射性碳14的含量,便可推断其年代(半衰期:
经过一定的时间,变为原来的一半).引出本节课题:
指数与指数幂的运算之分数指数幂.
思路2.同学们,我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质,那么整数指数幂是否可以推广呢?
答案是肯定的.这就是本节的主讲内容,教师板书本节课题——指数与指数幂的运算之分数指数幂.
推进新课
新知探究
提出问题
(1)整数指数幂的运算性质是什么?
(2)观察以下式子,并总结出规律:
a>0,
①==a2=a;
②==a4=a;
③==a3=a;
④==a5=a.
(3)利用
(2)的规律,你能表示下列式子吗?
,,(x>0,m,n∈N*,且n>1).
(4)你能用方根的意义来解释(3)的式子吗?
(5)你能推广到一般的情形吗?
活动:
学生回顾初中学习的整数指数幂及运算性质,仔细观察,特别是每题的开始和最后两步的指数之间的关系,教师引导学生体会方根的意义,用方根的意义加以解释,指点启发学生类比
(2)的规律表示,借鉴
(2)(3),我们把具体推广到一般,对写正确的同学及时表扬,其他学生鼓励提示.
讨论结果:
(1)整数指数幂的运算性质:
an=a·a·a·…·a,a0=1(a≠0);00无意义;
a-n=(a≠0);am·an=am+n;(am)n=amn;(an)m=amn;(ab)n=anbn.
(2)①a2是a10的5次方根;②a4是a8的2次方根;③a3是a12的4次方根;④a5是a10的2次方根.实质上①=a,②=a,③=a,④=a结果的a的指数是2,4,3,5分别写成了,,,,形式上变了,本质没变.
根据4个式子的最后结果可以总结:
当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数作为指数的形式(分数指数幂形式).
(3)利用
(2)的规律,=5,=7,=a,=x.
(4)53的四次方根是5,75的三次方根是7,a7的五次方根是a,xm的n次方根是x.
结果表明方根的结果和分数指数幂是相通的.
(5)如果a>0,那么am的n次方根可表示为m=a,即a=m(a>0,m,n∈N*,n>1).
综上所述,我们得到正数的正分数指数幂的意义,教师板书:
规定:
正数的正分数指数幂的意义是a=m(a>0,m,n∈N*,n>1).
提出问题
①负整数指数幂的意义是怎样规定的?
②你能得出负分数指数幂的意义吗?
③你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义?
④综合上述,如何规定分数指数幂的意义?
⑤分数指数幂的意义中,为什么规定a>0,去掉这个规定会产生什么样的后果?
⑥既然指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢?
活动:
学生回想初中学习的情形,结合自己的学习体会回答,根据零的整数指数幂的意义和负整数指数幂的意义来类比,把正分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义融合起来,与整数指数幂的运算性质类比可得有理数指数幂的运算性质,教师在黑板上板书,学生合作交流,以具体的实例说明a>0的必要性,教师及时作出评价.
讨论结果:
①负整数指数幂的意义是:
a-n=(a≠0),n∈N*.
②既然负整数指数幂的意义是这样规定的,类比正数的正分数指数幂的意义可得正数的负分数指数幂的意义.
规定:
正数的负分数指数幂的意义是a==(a>0,m,n∈N*,n>1).
③规定:
零的分数指数幂的意义是:
零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义.
④教师板书分数指数幂的意义.分数指数幂的意义就是:
正数的正分数指数幂的意义是a=(a>0,m,n∈N*,n>1),正数的负分数指数幂的意义是a==(a>0,m,n∈N*,n>1),零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义.
⑤若没有a>0这个条件会怎样呢?
如(-1)=3-1=-1,(-1)=6(-1)2=1具有同样意义的两个式子出现了截然不同的结果,这只说明分数指数幂在底数小于零时是无意义的.因此在把根式化成分数指数时,切记要使底数大于零,如无a>0的条件,比如式子3a2=|a|,同时负数开奇次方是有意义的,负数开奇次方时,应把负号移到根式的外边,然后再按规定化成分数指数幂,也就是说,负分数指数幂在有意义的情况下总表示正数,而不是负数,负数只是出现在指数上.
⑥规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.
有理数指数幂的运算性质:
对任意的有理数r,s,均有下面的运算性质:
(1)ar·as=ar+s(a>0,r,s∈Q),
(2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q),
(3)(a·b)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).
我们利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质可以解决一些问题,来看下面的例题.
应用示例
思路1
例1求值:
①8;②25③()-5;④().
活动:
教师引导学生考虑解题的方法,利用幂的运算性质计算出数值或化成最简根式,根据题目要求,把底数写成幂的形式,8写成23,25写成52,写成2-1,写成()4,利用有理数幂的运算性质可以解答,完成后,把自己的答案用投影仪展示出来.
解:
①8=(23)=2=22=4;
②25=(52)=5=5-1=;
③()-5=(2-1)-5=2-1×(-5)=32;
④()=()=()-3=.
点评:
本例主要考查幂值运算,要按规定来解.在进行幂值运算时,要首先考虑转化为指数运算,而不是首先转化为熟悉的根式运算,如8===4.
例2用分数指数幂的形式表示下列各式.
a3·;a2·;(a>0).
活动:
学生观察、思考,根据解题的顺序,把根式化为分数指数幂,再由幂的运算性质来运算,根式化为分数指数幂时,要由里往外依次进行,把握好运算性质和顺序,学生讨论交流自己的解题步骤,教师评价学生的解题情况,鼓励学生注意总结.
解:
a3·=a3·a=a=a;
a2·=a2·a=a=a;
=(a·a)=(a)=a.
点评:
利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时,其顺序是先把根式化为分数指数幂,再由幂的运算性质来运算.对于计算的结果,不强求统一用什么形式来表示,没有特别要求,就用分数指数幂的形式来表示,但结果不能既有分数指数又有根式,也不能既有分母又有负指数.
例3计算下列各式(式中字母都是正数):
(1)(2ab)(-6ab)÷(-3ab);
(2)(mn)8.
活动:
先由学生观察以上两个式子的特征,然后分析,四则运算的顺序是先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号的先算括号内的,整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后,其运算顺序仍符合我
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