第1章一元二次方程 同步优生能力达标测评附答案学年苏科版九年级数学上册.docx
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第1章一元二次方程同步优生能力达标测评附答案学年苏科版九年级数学上册
2021-2022学年苏科版九年级数学上册《第1章一元二次方程》
同步优生能力达标测评(附答案)
一.选择题(共10小题,每小题3分,共计30分)
1.若关于x的一元二次方程(a﹣2)x2+2x+a2﹣4=0有一个根为0,则a的值为( )
A.﹣2B.2C.±2D.±
2.一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为2,则p的值以及另一个根为( )
A.1,﹣1B.1,1C.﹣1,﹣1D.﹣1,1
3.把方程x2﹣8x+3=0化成(x+m)2=n的形式,则m+n的值是( )
A.23B.17C.15D.9
4.若关于x的一元二次方程(m﹣1)x2+x+1=0有两个实数根,则m的取值范围是( )
A.m≤
B.m>
C.m≤
且m≠1D.m<
且m≠1
5.受新冠疫情影响,我国2020年国内生产总值(GDP)比2019年增长了2.3%,是全球唯一保持经济正增长的国家,预计今年2021年比2020年增长6%,若这两年年平均增长率为x,则x满足的关系是( )
A.2.3%+6%=x
B.(1+2.3%)(1+6%)=2(1+x)
C.2.3%+6%=2x
D.(1+2.3%)(1+6%)=(1+x)2
6.将代数式3x2+6x+2配方成a(x+k)2+h形式为( )
A.
B.3(x+1)2+1C.3(x+1)2﹣1D.
7.若x=0是一元二次方程x2+
x+b2﹣4=0的一个根,则b的值是( )
A.2B.﹣2C.±2D.4
8.关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m=0的两实数根x1,x2,满足x1x2=2,则(x12+2)(x22+2)的值是( )
A.8B.32C.8或32D.16或40
9.已知a是方程x2+x﹣2021=0的一个根,则
的值为( )
A.2020B.2021C.
D.
10.已知一元二次方程x2﹣3x+1=0的两根为x1,x2,则x12﹣5x1﹣2x2的值为( )
A.﹣7B.﹣3C.2D.5
二.填空题(共10小题,每小题3分,共计30分)
11.长方形ABCD面积为12,周长为14,则对角线AC的长为 .
12.商场某种商品进价为120元/件,售价130元/件时,每天可销售70件;售价单价高于130元时,每涨价1元,日销售量就减少1件.据此,若销售单价为 元时,商场每天盈利达1500元.
13.一个等腰三角形的底边长为10,腰长是一元二次方程x2﹣11x+30=0的一个根,则这个三角形的周长是 .
14.若方程x2+5x﹣6=0的两根为x1,x2,则|x1﹣x2|= .
15.为了践行“绿水青山就是金山银山”,蜀山区计划经过两年时间,使绿地面积增加44%,这两年平均每年绿地面积的增长率是 .
16.已知代数式x2+2x+5可以利用完全平方公式变形为(x+1)2+4,进而可知x2+2x+5的最小值是4.依此方法,代数式y2﹣6y+10的最小值是 .
17.若a是方程2x2+x﹣2=0的根,则代数式2021﹣a2﹣
a的值是 .
18.若方程ax2+bx+c=0(a≠0),满足3a﹣b+
c=0,则方程必有一根为 .
19.一个直角三角形的两边长分别是方程x2﹣8x+15=0的两根,则这个直角三角形的第三边长为 .
20.已知α、β是一元二次方程x2﹣2021x+2020=0的两实根,则代数式(α﹣2021)(β﹣2021)= .
三.解答题(共6小题,每小题10分,共计60分)
21.用适当的方法解下列方程:
(1)3x(x﹣1)=2(x﹣1);
(2)2x2+x=3.
22.已知关于x的方程x2﹣8x﹣k2+4k+12=0.
(1)求证:
无论k取何值,这个方程总有两个实数根;
(2)若△ABC的两边AB,AC的长是这个方程的两个实数根,第三边BC的长为5,当△ABC是等腰三角形时,求k的值.
23.已知关于x的一元二次方程x2+2(k﹣1)x+k2﹣1=0有两个不相等的实数根.
(1)求实数k的取值范围;
(2)若方程的两根x1,x2满足x12+x22=16,求k的值.
24.2020年上半年受到新冠状肺炎疫情的影响,汽车销售行业处于不景气状态,2020年下半年合肥某汽车销售公司推行了一种新型低能耗汽车,于2020年10月份销售该型号汽车20辆,由于该型号汽车经济适用性强,销量快速上升,12月份该公司销售该型号汽车达45辆.
(1)求11月份和12月份的平均增长率;
(2)该型号汽车每辆的进价为10万元,且销售a辆汽车,汽车厂队销售公司每辆返利0.03a万元,该公司这种型号汽车的售价为11万元/辆,若使2021年1月份每辆汽车盈利不低于2.6万元,那么该公司1月份至少需要销售该型号汽车多少辆?
此时总盈利至少是多少万元?
(盈利=销售利润+返利)
25.列方程(组)解应用题
端午节期间,某水果超市调查某种水果的销售情况,下面是调查员的对话:
小王:
该水果的进价是每千克22元;
小李:
当销售价为每千克38元时,每天可售出160千克;若每千克降低3元,每天的销售量将增加120千克.
根据他们的对话,解决下面所给问题:
超市每天要获得销售利润3640元,又要尽可能让顾客得到实惠,求这种水果的销售价为每千克多少元?
26.利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题,观察下列式子:
①x2+4x+2=(x2+4x+4)﹣2=(x+2)2﹣2,
∵(x+2)2≥0,
∴x2+4x+2=(x+2)2﹣2≥﹣2.
因此,代数式x2+4x+2有最小值﹣2;
②﹣x2+2x+3=﹣(x2﹣2x+1)+4=﹣(x﹣1)2+4,
∵﹣(x﹣1)2≤0,
∴﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4≤4.
因此,代数式﹣x2+2x+3有最大值4;
阅读上述材料并完成下列问题:
(1)代数式x2﹣4x+1的最小值为 ;
(2)求代数式﹣a2﹣b2﹣6a+4b﹣10的最大值;
(3)如图,在紧靠围墙的空地上,利用围墙及一段长为100米的木栅栏围成一个长方形花圃,为了设计一个尽可能大的花圃,设长方形垂直于围墙的一边长度为x米,则花圃的最大面积是多少?
参考答案
一.选择题(共10小题,每小题3分,共计30分)
1.解:
把x=0代入方程得:
a2﹣4=0,
(a﹣2)(a+2)=0,
可得a﹣2=0或a+2=0,
解得:
a=2或a=﹣2,
当a=2时,a﹣2=0,此时方程不是一元二次方程,舍去;
则a的值为﹣2.
故选:
A.
2.解:
设方程的另一个根为t,
根据题意得2+t=﹣p,2t=﹣2,
解得t=﹣1,p=﹣1.
故选:
C.
3.解:
方程整理得:
x2﹣8x=﹣3,
配方得:
x2﹣8x+16=13,即(x﹣4)2=13,
∴m=﹣4,n=13,
则m+n=9.
故选:
D.
4.解:
根据题意得m﹣1≠0且Δ=12﹣4(m﹣1)≥0,
解得m≤
且m≠1.
故选:
C.
5.解:
设2019年国内生产总值为1,则2021年国内生产总值为1×(1+2.3%)(1+6%),
依题意得:
1×(1+x)2=1×(1+2.3%)(1+6%),
即(1+2.3%)(1+6%)=(1+x)2.
故选:
D.
6.解:
3x2+6x+2
=3(x2+2x+1﹣1)+2
=3(x+1)2﹣3+2
=3(x+1)2﹣1,
故选:
C.
7.解:
把x=0代入x2+
x+b2﹣4=0得b2﹣4=0,
解得b=±2,
∵b﹣1≥0,
∴b≥1,
∴b=2.
故选:
A.
8.解:
由题意得Δ=(2m)2﹣4(m2﹣m)≥0,
∴m≥0,
∵关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m=0的两实数根x1,x2,满足x1x2=2,
则x1+x2=﹣2m,x1•x2=m2﹣m=2,
∴m2﹣m﹣2=0,解得m=2或m=﹣1(舍去),
∴x1+x2=﹣4,
(x12+2)(x22+2)
=(x1x2)2+2(x1+x2)2﹣4x1x2+4,
原式=22+2×(﹣4)2﹣4×2+4=32;
故选:
B.
9.解:
∵a是一元二次方程x2+x﹣2021=0的一个根,
∴a2+a﹣2021=0,
∴a2+a=2021,
∴
=
﹣
=
=
,
故选:
D.
10.解:
∵一元二次方程x2﹣3x+1=0的两根为x1,x2,
∴x12﹣3x1=﹣1,x1+x2=3,
∴x12﹣5x1﹣2x2=x12﹣3x1﹣2(x1+x2)=﹣1﹣2×3=﹣7.
故选:
A.
二.填空题(共10小题,每小题3分,共计30分)
11.解:
设长方形的一边长为x,则相邻的一边长为(
﹣x)=(7﹣x),
依题意得:
x(7﹣x)=12,
整理得:
x2﹣7x+12=0,
∴x2﹣7x=﹣12,
∴对角线AC的长=
=
=
=5.
故答案为:
5.
12.解:
设销售单价为x元,则每天可销售70﹣(x﹣130)=(200﹣x)件,
依题意得:
(x﹣120)(200﹣x)=1500,
整理得:
x2﹣320x+25500=0,
解得:
x1=150,x2=170.
故答案为:
150或170.
13.解:
解方程x2﹣11x+30=0得:
x=5或6,
当腰为5时,三角形的三边为5,5,10,5+5=10,此时不符合三角形三边关系定理,不合题意;
当腰为6时,三角形的三边为6,6,10,此时符合三角形三边关系定理,三角形的周长为6+6+10=22,
故答案为:
22.
14.解:
∵方程x2+5x﹣6=0的两根为x1,x2,
∴x1+x2=﹣5,x1x2=﹣6,
∴|x1﹣x2|2=(x1+x2)2﹣4x1x2=(﹣5)2﹣4×(﹣6)=49,
∴|x1﹣x2|=7,
故答案为:
7.
15.解:
设这两年平均每年绿地面积的增长率为x,
依题意,得:
(1+x)2=1+44%,
解得:
x1=0.2=20%,x2=﹣2.2(不合题意,舍去).
答:
这两年平均每年绿地面积的增长率是20%,
故答案为:
20%.
16.解:
y2﹣6y+10=y2﹣6y+32+1=(y﹣3)2+1≥1,
则代数式y2﹣6y+10的最小值是1.
故答案为:
1.
17.解:
∵a是方程2x2+x﹣2=0的根,
∴2a2+a=2,
∴2021﹣a2﹣
a=2021﹣
(2a2+a)=2021﹣
×2=2020.
故答案为:
2020.
18.解:
当把x=﹣3代入方程ax2+bx+c=0能得出9a﹣3b+c=0,即3a﹣b+
c=0,
即方程一定有一个根为x=﹣3,
故答案是:
﹣3.
19.解:
∵直角三角形的两边长恰好是方程x2﹣8x+15=0的两个根,
∴直角三角形的两边是3,5,
当是原方程的两边的是两条直角边时,根据勾股定理得其斜边为
=
;
当是原方程的两边的是一条直角边和斜边时,斜边一定是5,根据勾股定理得其另一条直角边为
=4.
故答案为
或4.
20.解:
∵α、β是一元二次方程x2﹣2021x+2020=0的两实根,
∴α+β=2021,αβ=2020,
∴(α﹣2021)(β﹣2021)=αβ﹣2021(α+β)+20212
=2020﹣2021×2021+20212
=2020.
故答案为:
2020.
三.解答题(共6小题,每小题10分,共计60分)
21.解:
(1)∵3x(x﹣1)=2(x﹣1),
∴3x(x﹣1)﹣2(x﹣1)=0,
则(x﹣1)(3x﹣2)=0,
∴x﹣1=0或3x﹣2=0,
解得x1=1,x2=
;
(2)∵2x2+x=3,
∴2x2+x﹣3=0,
则(x﹣1)(2x+3)=0,
∴x﹣1=0或2x+3=0,
解得x1=1,x2=﹣1.5.
22.
(1)证明:
∵Δ=(﹣8)2﹣4(﹣k2+4k+12)=4(k﹣2)2≥0,
∴无论k取何值,这个方程总有两个实数根;
(2)解:
x2﹣8x﹣k2+4k+12=0,
(x+k﹣6)(x﹣k﹣2)=0,
解得:
x1=﹣k+6,x2=k+2,
当AB=AC时,﹣k+6=k+2,则k=2;
当AB=BC时,﹣k+6=5,则k=1;
当AC=BC时,则k+2=5,解得k=3,
综合上述,k的值为2或1或3.
23.解:
(1)∵a=1,b=2(k﹣1),c=k2﹣1,
∴Δ=b2﹣4ac>0,即[2(k﹣1)]2﹣4×1×(k2﹣1)>0,
∴k<1.
(2)∵关于x的一元二次方程x2+2(k﹣1)x+k2﹣1=0的两根为x1,x2,
∴x1+x2=﹣2(k﹣1),x1x2=k2﹣1.
∵x12+x22=16,
∴(x1+x2)2﹣2x1x2=16,即[﹣2(k﹣1)]2﹣2(k2﹣1)=16,
整理,得:
k2﹣4k﹣5=0,
解得:
k1=5,k2=﹣1.
又∵k<1,
∴k=﹣1.
24.解:
(1)设11月份和12月份的平均增长率为x,
依题意得:
20(1+x)²=45,
解得:
x1=0.5=50%,x2=﹣2.5(不合题意,舍去).
答:
11月份和12月份的平均增长率为50%.
(2)依题意得:
11﹣10+0.03a≥2.6,
解得:
a≥53
.
又∵a为整数,
∴a可取的最小值为54,
∴此时总盈利为54×(11﹣10+0.03×54)=141.48(万元).
答:
该公司1月份至少需要销售该型号汽车54辆,此时总盈利至少是141.48万元.
25.解:
设降低x元,超市每天可获得销售利润3640元,由题意得,
(38﹣x﹣22)(160+
×120)=3640,
整理得x2﹣12x+27=0,
∴x=3或x=9.
∵要尽可能让顾客得到实惠,
∴x=9,
∴售价为38﹣9=29元/千克.
答:
水果的销售价为每千克29元时,超市每天可获得销售利润3640元.
26.解:
(1)x2﹣4x+1=(x2﹣4x+4)﹣3=(x﹣2)2﹣3,
∵(x﹣2)2≥0,
∴(x﹣2)2﹣3≥﹣3,原式有最小值是﹣3;
故答案为:
﹣3;
(2)﹣a2﹣b2﹣6a+4b﹣10=﹣(a2+6a+9)﹣(b2﹣4b+4)+3=﹣(a+3)2﹣(b﹣2)2+3,
∵(a+3)2≥0,(b﹣2)2≥0,
∴﹣(a+3)2≤0,﹣(b﹣2)2≤0,
∴﹣(a+3)2﹣(b﹣2)2+3的最大值为3;
(3)花圃的面积:
x(100﹣2x)=(﹣2x2+100x)平方米;
﹣2x2+100x=﹣2(x﹣25)2+1250,
∵当x=25时,100﹣2x=50<100,
∴当x=25时,花圃的最大面积为1250平方米.
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