高考数学专题71不等式关系与不等式解法基本不等式及应用理.docx
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高考数学专题71不等式关系与不等式解法基本不等式及应用理
专题7.1不等式关系与不等式解法、基本不等式及应用
【三年咼考】
0,且ab1,则下列不等式成立的是
(A)a
1b
b
歹
log2ab
(C)a
1b
log
2ab2
2a
【答案】
B
【解析】
因为
a
b0,且ab
a1,0
b
1,
2a1,log2(a
1a-
2b
a
1
aba1
b)log22.ab1,
log2(ab),所以选B.
b
b
1所以
1.【2017山东,理7】若ab
(B)
(D)
2.
【2017天津,理8】已知函数
2
xf(x)
x
x3,x
2
x1.
x
log2a
1,
设aR,若关于
x的不等式
—39
(D)[2憑祁
x
f(x)I-a|在R上恒成立,则a的取值范围是
2
(A)[47,2](B)[47,39](C)[23,2]
161616
【答案】A
x
I解析】不等式f(x)2a为f(x)
f(x)(*),当x1时,(*)式即为
2小x
2
2x
亠2
3c口
xx3—a
x
x3,
x
3ax
x3,乂
2
2
2
2X小,
1、2
47
47
1
23门
3、2
39
39
x3(x
-)2
(x
-时取等号)
xx3
(x
-)2
2
4
16
16
4
2
4
16
16
.3...
47
39
2
x
2
(x时取等号),
所以
a
当x1时,
(*)式为x-
a
x
4
16
16
x
2
x
x232
a,又x
2x2x
47
a
16
—个等号腿療件®斗两个等号可以同时取得,则当且仅当比拿宀半时取需-
【答案】C
5.【2016高考浙江理数】已知实数a,b,c
【答案】D
【答案】(2,4)
【答案】(1,2).
[t2]2,…,[tn]n同时成立,则正整数的最大值是(
A.3
【答案】B
【解析】因为[町表示不超过兀的最大整数•由”]=1得卍由=由[门=3得
4 ]=3W3 <+,所吵4“<4a/5,由[卢]=3 1 间丄,2上单调递减,则mn的最大值为( 2 (A)16 (B)18 (C)25 【答案】 当m2时,抛物线开口向下,据题意得, mn(182n)n(1828)816,所以最大值为18.选B.. 【2017考试大纲】 1.不等关系: 了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景 2.一元二次不等式; (1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. (2)通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. (3)会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图. 3.基本不等式: ab2.ab(a0,b0) (1)了解基本不等式的证明过程• (2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 【三年高考命题回顾】纵观前三年各地咼考试题,对不等式关系与不等式解法、基本不等式及应用的考查,主要考查不等式性质、不等关系、二次不等式解法、基本不等式及其应用,高考中一般会以小题形式形式考查,个别省市在大题中考查不等式的应用. 【2018年咼考复习建议与咼考命题预测】 由前三年的高考命题形式可以看出,不等式是中学数学的主体内容之一,是进一步学习高 等数学的基础知识和重要工具,因而是数学高考命制能力题的重要版块.在近年来的高考数学中,有关不等式的试题都占有较大的比重.不仅考查有关不等式的基础知识、基本技能、基本思想方法,而且注重考查逻辑思维能力、运算能力以及分析问题和解决问题的能力.在题型 上,选择题、填空题主要考查不等式的性质、解简单不等式、绝对值不等式、简单转化求参数范围、比较大小等;解答题主要考查基本不等式的应用、含参不等式的解法、求恒成立中的参数范围、证明不等式、最值型综合题以及实际应用题等.试题常常是不等式的证明、解不等式、求参数范围于函数、数列、复数、三角、解析几何、立体几何、实际应用等问题之中,知识覆盖面广、综合性强、思维力度大、能力要求高,是高考数学思想、数学方法、考能力、考素质的主阵地.从近几年数学试题得到启示: 涉及不等式解法的题目,往往较为容易;对基本不等式的考查,较多的寓于综合题目之中.因此,在2017年复习备考中,要注意不等式 性质运用的条件,以及与函数交汇考查单调性,对不等关系,要培养将实际问题抽象为不等关系的能力,从而利用数学的方法解决,对不等式解法主要是二次不等式的解法,往往与集合知识交汇考查,注意含参数的二次不等式的解法.对基本不等式及其应用,会涉及求函数的最值问题,或者将实际问题抽象出数学最优化问题,利用基本不等式求解.不等式几乎能与所有数学知识建立广泛的联系,通常以不等式与函数、三角、向量、数列、解析几何、数列的综合问题的形式出现,尤其是以导数或向量为背景的不等式,函数的综合题和有关不等式的证明或性质的代数逻辑推理题,问题多属于中档题甚至是难题,对不等式的知识,方法与技巧要求较高.预测2018年可能有一道选择或者填空出现,考查不等式的解法,或不等式的性质,或基本不等式,可能与导数结合出一道解答题. 【2018年高考考点定位】高考对不等式关系与不等式解法、基本不等式及应用的考查有以下几种主要形式: 一是考查不等式的性质;二是不等式关系;三是不等式解法;四是基本不等式及应用,其中经常与函数、方程等知识的相联系. 【考点1】不等式性质 【备考知识梳理】 1.不等式的基本性质: (1)abba (2)ab,bcac(3) c0acbe abca c b,abi ac b c (4)abc0 acbc c0 acbc 2.不等式的运算性质: (1)加法法则: a b,c d acbd (2)减法法则: a b,cda d b c, (3) 乘法法则: ab0,cd 0 acbd0 (4)除法法则: a b0,cd 0 a d b c 0, (5)乘方法则: ab0an bn 0(nN,n 2) (6)开方法则: a b0na nb 0(n N,n 2) 【规律方法技巧】 1•判断一个关于不等式的命题的真假时,先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑,找到与命题相近的性质,并应用性质判断命题的真假,当然判断的同时可能还要用到其他知识,比如对数函数、指数函数的性质. 2•特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法,在命题真假未定时,先用特殊值试试,可以得到一些对命题的感性认识,如正好找到一组特殊值使命题不成立,则该命题为假命题. 【考点针对训练】 1.【贵州省遵义市2017届高三第一次联考】 11 已知0,给出下列四个结论: ab abab③ab④abb2其中正确结论的序号是() A.①②B.②③C.②④D.③④ 【答案】C 112 【解析】0ba0|a||b|,ab0ab,bab,因此选C. ab 2.【重庆市第八中学2017届高三第二次适应性考试】已知下列四个关系: ① 2211 小a b一■丄 ab ac bc: ②ab —;③a b0,cd 0 : ④ab1 a b d c c0 ca b.其中正确的有( ) A.1个 B.2个 c. 3个 D.4个 【答案】 B 【解析】 c 0时,①错误•a0 b时②错误• 根据不等式的性质知③正确 .根据指数函数的 单调性可知④正确•故有两个正确 【考点2】不等关系 【备考知识梳理】 在日常生产生活中,不等关系更为普遍,利润的优化、方案的设计等方面都蕴含着不等关系,再比如几何中的两点之间线段最短,三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边等等,用数学中的不等式表示这些不等关系,建立数学模型,利用数学知识解决现实生活的不等关系• 表示,而不 b等式子表示,不等关系 【规律方法技巧】 区分不等关系与不等式的异同,不等关系强调的是关系,可用符号 等式则是表现两者的不等关系,可用ab,ab,ab,ab,a 是通过不等式表现. 【考点针对训练】 1.【福建省2017届高三毕业班总复习过关测试】若 7,Q>a3a4a0,则P,Q的大小关系为( A..PQ B.PQ C.PQ D.由的取值确定 【答案】C 【解析】假设 P 2a+7+2Jaa7 <2a+7+ •••0<12成立,•••P 2.【河南省郑州市第一中学 2017届高三期中】 b c 3ln3,则a,b,c 的大小关系是( A.cab D.acb 【答案】 【解析】 In30log21log51,3ln303109243也3,cba,故选C. 43 【考点3】一元二次不等式解法 【备考知识梳理】 2 b4ac,它的 2 对于一元二次方程axbxc0(a0)的两根为为、X2且XiX2,设 图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式 22 axbxc0(a0)或axbxc0(a0)的解集. 2 b4ac 0 0 0 二次函数 yax2bxc (a0)的图象 工 ax2bxc0 (a0)的根 有两相异实根 Xi,X2(XiX2) 有两相等实根 b xix2— 2a 无实根 ax2bxc0(a0)的解集 xxX-1或Xx2 b XX \2a R ax2bxc0 (a0)的解集 XXiXX2 【规律方法技巧】 1•解一元二次不等式首先要看二次项系数a是否为正;若为负,则将其变为正数; 2•若相应方程有实数根,求根时注意灵活运用因式分解和配方法; 3•写不等式的解集时首先应判断两根的大小,若不能判断两根的大小应分类讨论; 4•根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根,我们可以利用韦达定理,找到不等式的解 集与其系数之间的关系; 5•若所给不等式最高项系数含有字母,还需要讨论最高项的系数 【考点针对训练】 1.【安徽师范大学附属中学 2017届高三期中】已知不等式 ax2 5xb 0的解集为 {x|3 x2},则不等式 bx25x a 0的解集为 【答案】 {x|x1或X 3 1 2} 【解析】 5 根据题意可得一 a 1,ba 6, a5,b30,所以bx 25xa 0可化为 2 6xx 103x1 2x1 0, 所以不等式的解集为 {x| x1或 3 x弓■ 2.【江苏省苏北三市2017届三模】已知对于任意的X,15,,都有 2 X2a2Xa0,则实数的取值范围是. 【答案】1,5(或1a5) 【解析】利用一元二次方程根的分布去解决,设fxx22a2xa,当 2 4a24a0时,即1a4时,fx0对xR恒成立;当a1时, 0 1a25 f10,不合题意;当a4时,f20符合题意;当0时,上,门 f10 f50 a1或a4 即2a7,即: 4a5,综上所述: 实数的取值范围是1,5. a5 a5 【考点4】基本不等式及应用 【备考知识梳理】 1、如果a,bR,那么a2b22ab(当且仅当ab时取等号“=”) 2b2 推论: aba一(a,bR) 2 2、如果a0,b0,则ab2.ab,(当且仅当ab时取等号“=”). 22 ab\2abzab、2 推论: ab^—)(a0,b0);-^―^—) 222 【规律方法技巧】 1.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况,要从整体上把握运用基本不等式,对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换,常见的变形技巧有: 拆项,并项,也可乘上一个数或加上一个数,“1”的代换法等. 2.在用基本不等式求函数的最值时,应具备三个条件: 一正二定三取等 1一正: 函数的解析式中,各项均为正数; 2二定: 函数的解析式中,含变数的各项的和或积必须有一个为定值; 3三取等: 函数的解析式中,含变数的各项均相等,取得最值. 若使用基本不等式时, 【考点针对训练】 等号取不到,可以通过“对勾函数”,利用单调性求最值 小值是 【答案】 【答案】2;3 【解析】不等式恒成立,则 a0且V44ab0,即ab1,又存在x0R,使 2 ax°2x0b0成立,可得V0,所以ab1,a1.可得 822•故本题应填22. 【应试技巧点拨】 1•使用均值不等式求最值时,注意在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑” 等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另 边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误 2•基本不等式及其变式中的条件要准确把握. 如a2b22ab(a,bR),ab2ab(a,bR)等. 3.利用基本不等式求函数或代数式的最大值、最小值时,注意观察其是否具有“和为定 值”“积为定值”的结构特点•在具体题目中,一般很少直接考查基本不等式的应用,而是 需要将式子进行变形,寻求其中的内在关系,然后利用基本不等式得出最值•即应用基本不 等式,应注意“一正、二定、三相等”,缺一不可.灵活的通过“拆、凑、代(换)”,创造 应用不等式的条件,是解答此类问题的技巧;忽视等号成立的条件,是常见错误之一. 3.求解含参不等式恒成立问题的关键是过好双关: 第一关是转化关,即通过分离参数,先转 化为f(a)>g(x)(或f(a) x€D恒成立,再转化为f(a)>g(x)ma乂或f(a) 第二关是求最值关,即求函数g(x)在区间D上的最大值(或最小值)问题. 4.应用导数证明不等式,解题格式明确、规范,基本思路清晰,能使问题解决的领域更宽广. 解题过程中,注意处处应用转化与化归思想,化生为熟、化难为易、化繁为简,是解决问题 的基本方法. 5•对于判断不等式恒成立问题,一般采用举反例排除法•解答本题时能够对四个选项逐个利 用赋值的方式进行排除,确认成立的不等式. 1.【重庆市第八中学2017届高三第二次适应性考试】已知a0,b0且2aba2b, 则a8b的最小值为( D. 27 2 【答案】 B 【解析】 2ab a 2b 11 两边除以2ab得丄—1,所以 a2b 1 1 8ba a8b — 5 549. a 2b a2b A.42B.c.10 an满足 ■..naman4a1,且a6 a5 2a4,则1 4 的最小值是( ) m n A3 B .2 C. 7 D 25 A.— 2 3 6 【答案】 A 【解析】 由a6a52a4得q5 4 q 2q3解得q 2,再由■,-ma? 4-得qm n2 1624, 所以m n6,所以丄4 1 14 m 1ln4mn5- -9 3 mn 6i mn 6mn 6 2 2.【河南省豫北名校联盟 2017届高三精英对抗赛】 已知在正项等比数列 an中,存在两项am, 3.【贵州省遵义市2017届高三第一次联考】 11 已知0,给出下列四个结论: ①ab② ab A.①② B .②③C. ②④D •③④ 【答案】 C 【解析】 1 丄0b a0 2 |a||b|,ab0ab,bab,因此选C a b 4.【河北省武邑2017届高三三调】 已知 2 abab③ab④abb其中正确结论的序号是() b 1 1 1 1 ab0,ab1,x y lOgab zlogb—,则() a a b a A.xzyB - xyz C.zyx D.xyz 【答案】B 【解析】 (丄)0 1,ylOgab丄1lOgab(a-7b)1,Zlogb_ abababa 两点,且2^3absinCa2b2c2,则2ab的 logbalogbb1xyz,故选B. 5.【贵州省遵义市第四中学2016届高三第四次月考】已知直线|: x丄1a0,b0在 ab 两坐标轴上的截距之和为4,则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积的最大值是() A.2^2B.C.D.2 【答案】D Xy 【解析】直线丨: 一Z1a0,b0在两坐标轴上的截距之和为4,所以ab4,即 ab A 42巫ab4-ab2,则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积的最大值是. 2 6.【福建省莆田2017届高三二模】若实数、、cR,且abacbc2>/56a2,则 2abc的最小值为() A.451B.451C.2药2D.2弱2 【答案】D 【解析】因为冋十皿十阮十2>污二6—/.所以血十/十皿十比=讥口十时十十4)二(口十匚)(□十=6-亦=逆-斗}所以\2农=(口+亡)+(应十乃)上2/应+亡)(&十=2击一2,当且fl? 当@+芒)二(d+b)时,等号成立-故选乩 7.【湖南省岳阳2018届高三第一次月考】如右图所示,已知点yfx是mJ§,2的 重心,过点c一作直线与sJ31两边分别交于 6 23sinAsinBsinCsin2Asin2Bsin2C 【答案】C 【解析】因为甌工G三点共线,所以^=A(^,AG-An=A[AX-AG],因为G是 由基本不等式得 A. 2忑 B. 4 C. 42 D. 2 5 5 2 3 【答案】C 【解析】宙题盍可得: +结合不等式的性质有: /+尸+尸之占(网+以)「当且仅当兀三二老y时等号成立,即弓理学p玉冬,异'铲工2H十y+z2x+y+z 的最小值为—■本题选择C选项. 2 9.【陕西省黄陵中学2017届考前模拟】两圆Xy22axa240和 22211 xy4by14b0恰有三条公切线,若aR,bR,且ab0,则一2-—2的 ab 最小值为() 410 A.B.C.D. 99 【答案】C 【解析】因为两圆的圆心和半径分别为C1a,0,h2,C20,2b,r21,所以由题设可知 1a24b 21 1 144b2 a25 4 b299 一_2 a b2 999a2 9b29 9 【湖南省长沙市 2017届高三 5月模拟】设正实数x,y,z满足 xy取得最大值时, z 2 x 12yz 的最大值为( ) ri 1,应选答案Co 10. 当 A.0B.1C. D.3 1 2'a D,故a24b2 22 x3xy4yz0,则 两圆相外切,贝yGC2 22 9,即a4b1,所以 99 【答案】 【解析】 据已知不等式得 2小 x3xy 4y2 xy 1 1 xy z 3 xyz 4y x 2 ,据均值不等式得 即x2y时取得最大值,此时 z2y2且— x 2 2y2 ,当y 1时取得最大值1. 11.【2016届河南省新乡卫辉一中高考押题一】 若一组数据 2,4, 6,8的中位数、方差分别 11 ,则的最小值为 ab A.62.3B 【答案】 【解析】 由题意得 1 m5,n(9 4 19)5,所以 (丄\(5a5b)105a abb 5b102 a■b 5a5b20,a 当且仅当a b时取等号, D. 12.【2016年福建厦门一中高三质量检测】函数 x23xa,gx fgx0对x0,1恒成立,则实数的取值范围是 上单调递增,在上[沧,1]单调递减,g(x)在x0,1的值域 [1,g(x)],(gX。 )2"x02)f(t)0,即at23t,a2•故选C. flog13x1log13x11的解集为() 22 A.2, B 2C .0,1U1,2
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