不等关系与不等式Word格式.docx
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不等关系与不等式Word格式.docx
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答案
(1)>
(2)<
解析
(1)x2-x=x(x-1)
x>1时,x-1>0,x>0,
∴x(x-1)>0,∴x2-x>0.
(2)(+)2=8+2=8+4<10+4.
知识点三 常用的不等式的基本性质
(1)a>
b⇔b<
a(对称性);
(2)a>
b,b>
c⇒a>
c(传递性);
(3)a>
b⇒a+c>
b+c(可加性);
(4)a>
b,c>
0⇒ac>
bc;
a>
b,c<
0⇒ac<
(5)a>
d⇒a+c>
b+d;
(6)a>
b>
0,c>
d>
bd;
(7)a>
0⇒an>
bn)(n∈N,n≥1;
(8)a>
0⇒>
)(n∈N,n≥2.
题型一 用不等式(组)表示不等关系
例1 《铁路旅行常识》规定:
一、随同成人旅行,身高在1.1~1.4米的儿童享受半价客票(以下称儿童票),超过1.4米的应买全价票,每一名成人旅客可免费带一名身高不足1.1米的儿童,超过一名时,超过的人数应买儿童票.
……
十、旅客免费携带物品的体积和重量是每件物品的外部长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米,杆状物品不得超过200厘米,重量不得超过20千克……
设身高为h(米),物品外部长、宽、高尺寸之和为P(厘米),请用不等式表示下表中的不等关系.
文字表述
身高在1.1~1.4米
身高超过1.4米
身高不足1.1米
物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米
符号表示
解 由题意可获取以下主要信息:
(1)身高用h(米)表示,物体长、宽、高尺寸之和为P(厘米);
(2)题中要求用不等式表示不等关系.解答本题应先理解题中所提供的不等关系,再用不等式表示.
身高在1.1~1.4米可表示为1.1≤h≤1.4,
身高超过1.4米可表示为h>1.4,
身高不足1.1米可表示为h<1.1,
物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米可表示为P≤160.如下表所示:
1.1≤h≤1.4
h>1.4
h<1.1
P≤160
跟踪训练1 如下图,在一个面积为350平方米的矩形地基上建造一个仓库,四周是绿地.仓库的长L大于宽W的4倍.写出L与W的关系.
解 由题意,得
题型二 比较实数(式)的大小
例2
(1)比较x6+1与x4+x2的大小,其中x∈R;
(2)设x,y,z∈R,比较5x2+y2+z2与2xy+4x+2z-2的大小.
解
(1)∵x6+1-(x4+x2)
=x6-x4-x2+1
=x4(x2-1)-(x2-1)
=(x2-1)(x4-1)
=(x2-1)2(x2+1)≥0.
∴当x=±
1时,x6+1=x4+x2;
当x≠±
1时,x6+1>x4+x2.
综上所述,x6+1≥x4+x2,当且仅当x=±
1时取等号.
(2)∵(5x2+y2+z2)-(2xy+4x+2z-2)
=4x2-4x+1+x2-2xy+y2+z2-2z+1
=(2x-1)2+(x-y)2+(z-1)2≥0,
∴5x2+y2+z2≥2xy+4x+2z-2,
当且仅当x=y=且z=1时取等号.
跟踪训练2 设a>0,b>0,且a≠b,比较aabb与abba的大小.
解 =aa-bbb-a=a-b,
当a>b>0时,>1,a-b>0,∴a-b>1,
当b>a>0时,0<<1,a-b<0,∴a-b>1,
∴a-b>1,即>1,
又∵aabb>0,abba>0,∴aabb>abba.
题型三 不等式性质的应用
例3 已知a>b>0,c<d<0,e<0,求证:
>.
证明 ∵c<d<0,
∴-c>-d>0,
又∵a>b>0,
∴a+(-c)>b+(-d)>0,
即a-c>b-d>0,
∴0<<,
又∵e<0,
∴>.
跟踪训练3 已知a>b,m>n,p>0,求证:
n-ap<m-bp.
证明 ∵a>b,又p>0,∴ap>bp.
∴-ap<-bp,
又m>n,即n<m.
∴n-ap<m-bp.
忽视性质成立的条件导致错误
例4 已知1≤a-b≤2且2≤a+b≤4,求4a-2b的取值范围.
错解 1≤a-b≤2,①
2≤a+b≤4,②
由①+②,得3≤2a≤6,
∴≤a≤3,③
由②+①×
(-1),得0≤2b≤3,
∴0≤b≤,④
由③×
4+④×
(-2),
得3≤4a-2b≤12.
错因分析 由上述解题过程可知,当a=且b=时,3≤4a-2b才取等号,而此时a-b=0,不满足①式,因此4a-2b是不能等于3的.同理可验证4a-2b也不能等于12.出现上述错误的原因是“同向不等式两边分别相加所得不等式与原不等式同向”这一性质是单向的,用它来作变形,是非同解变形,因此结论是错误的.
正解 令a+b=u,a-b=v,
则2≤u≤4,1≤v≤2.
由解得
∴4a-2b=4·
-2·
=2u+2v-u+v=u+3v.
∵2≤u≤4,3≤3v≤6,
∴5≤u+3v≤10.
∴5≤4a-2b≤10.
误区警示 把条件中的a-b和a+b分别看做一个整体,采用整体代入法,并结合不等式的性质求解,可以得到正确的结论.
1.完成一项装修工程,请木工共需付工资每人500元,请瓦工共需付工资每人400元,现有工人工资预算20000元,设木工x人,瓦工y人,则工人满足的关系式是( )
A.5x+4y<200 B.5x+4y≥200
C.5x+4y=200 D.5x+4y≤200
2.设x<
a<
0,则下列不等式一定成立的是( )
A.x2<
ax<
a2 B.x2>
ax>
a2
C.x2<
a2<
ax D.x2>
a2>
ax
3.设M=x2,N=-x-1,则M与N的大小关系是( )
A.M>N B.M=N
C.M<N D.与x有关
4.若x∈R,则与的大小关系为________.
一、选择题
1.已知a+b>0,b<0,那么a,b,-a,-b的大小关系是( )
A.a>b>-b>-a B.a>-b>-a>b
C.a>-b>b>-a D.a>b>-a>-b
2.设0<b<a<1,则下列不等式成立的是( )
A.ab<b2<1 B.logb<loga<0
C.2b<2a<2 D.a2<ab<1
3.已知a,b∈(0,1),记M=ab,N=a+b-1,则M与N的大小关系是( )
A.M<N B.M>N
C.M=N D.不确定
4.已知四个条件:
①b>0>a,②0>a>b,③a>0>b,④a>b>0,能推出<成立的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
5.已知a,b,c满足c<b<a,且ac<0,则下列选项中不恒成立的是( )
A.> B.>0
C.> D.<0
6.下列命题中,一定正确的是( )
A.若a>b,且>,则a>0,b<0
B.若a>b,b≠0,则>1
C.若a>b,且a+c>b+d,则c>d
D.若a>b,且ac>bd,则c>d
7.甲、乙两人同时从寝室到教室,甲一半路程步行,一半路程跑步,乙一半时间步行,一半时间跑步,如果两人步行速度、跑步速度均相同,则谁先到教室( )
A.甲 B.乙
C.同时到达 D.无法判断
二、填空题
8.给出下列命题:
①a>b⇒ac2>bc2;
②a>|b|⇒a2>b2;
③a>b⇒a3>b3;
④|a|>b⇒a2>b2.其中正确的命题序号是________.
9.一辆汽车原来每天行驶xkm,如果该辆汽车每天行驶的路程比原来多19km,那么在8天内它的行程就超过2200km,写出不等式为______________;
如果它每天行驶的路程比原来少12km,那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间,用不等式表示为______________.
10.已知实数x,y满足-4≤x-y≤-1,-1≤4x-y≤5,则9x-3y的取值范围是______.
三、解答题
11.
(1)若bc-ad≥0,bd>0,求证:
≤;
(2)已知a,b,m均为正数,且a<b,求证:
12.若二次函数f(x)的图象关于y对称,且1≤f
(1)≤2,3≤f
(2)≤4,求f(3)的取值范围.
13.设f(x)=1+logx3,g(x)=2logx2,其中x>0且x≠1,试比较f(x)与g(x)的大小.
当堂检测答案
1.答案 D
解析 据题意知,500x+400y≤20000,即5x+4y≤200,故选D.
2.答案 B
解析 ∵x<
0,∴x2>
a2.
∵x2-ax=x(x-a)>
ax.
又ax-a2=a(x-a)>
0,∴ax>
∴x2>
xa>
3.答案 A
解析 M-N=x2+x+1=(x+)2+>0.
∴M>N.
4.答案 ≤
解析 -==≤0.
∴≤.
课时精练答案
1.答案 C
解析 方法一 ∵a+b>0,∴a>-b,
又b<0,∴a>0,且|a|>|b|,
∴a>-b>b>-a.
方法二 设a=3,b=-2,则a>-b>b>-a.
2.答案 C
解析 设a=,b=,验证即得A、D错误;
结合y=logx,y=2x的单调性得B错误,C正确.
3.答案 B
解析 M-N=ab-(a+b-1)=ab-a-b+1
=(a-1)(b-1).
∵a,b∈(0,1),∴a-1<0,b-1<0
∴M-N>0,∴M>N.
4.答案 C
解析 ①中,a<0<b,∴<,
②中,b<a<0,∴<,
④中a>b>0,∴<,
故①②④三个均可推得<.
5.答案 C
解析 ∵c<b<a,且ac<0,∴a>0,c<0.由a>0,得>0,
又b>c,∴>,故A恒成立;
∵b<a,∴b-a<0,又c<0,∴>0,故B恒成立;
∵c<a,∴a-c>0,又ac<0,∴<0,故D恒成立;
当b=-2,a=1时,b2>a2,又c<0,∴<,故C不恒成立.故选C.
6.答案 A
解析 对于A,∵>,∴>0,
又a>b,∴b-a<0,∴ab<0,∴a>0,b<0,故A正确;
对于B,当a>0,b<0时,有<1,故B错;
对于C,当a=10,b=2时,有10+1>2+3,但1<3,故C错;
对于D,当a=-1,b=-2时,有(-1)×
(-1)>(-2)×
3,但-1<3,故D错.故选A.
7.答案 B
解析 设路程为S,步行速度v1,跑步速度v2,则
甲用时t1=+,
乙用时t2=,
t1-t2=+-
=S
=·
S
=>0
∴甲用时多.
8.答案 ②③
解析 ①当c2=0时不成立.
②一定成立.
③当a>b时,a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)=(a-b)·
>0成立.
④当b<0时,不一定成立.如:
|2|>-3,但22<(-3)2.
9.答案 8(x+19)>2200 >9
解析 由题意知,汽车原来每天行驶xkm,8天内它的行程超过2200km,则8(x+19)>2200.若每天行驶的路程比原来少12km,则原来行驶8天的路程就要用9天多,即>9.
10.答案 [-6,9]
解析 设9x-3y=a(x-y)+b(4x-y)=(a+4b)x-(a+b)y,
∴⇒
∴9x-3y=(x-y)+2(4x-y),
∵-1≤4x-y≤5,∴-2≤2(4x-y)≤10,
又-4≤x-y≤-1,
∴-6≤9x-3y≤9.
11.解
(1)方法一 ∵bc-ad≥0,
∴bc≥ad.
∵bd>0,∴≥,
∴+1≥+1,
即≤.
方法二 作差比较,
-==,
∵ad-bc≤0,bd>0,
∴≤0,∴≤.
(2)-==,
∵a<b,∴b-a>0,
又m,b均为正数,∴>0,
12.解 由题意设f(x)=ax2+c(a≠0),
则
所以
而f(3)=9a+c=3f
(2)-3f
(1)+
=,
因为1≤f
(1)≤2,3≤f
(2)≤4,
所以5≤5f
(1)≤10,24≤8f
(2)≤32,
所以-10≤-5f
(1)≤-5,
所以14≤8f
(2)-5f
(1)≤27,
所以≤≤9,
即≤f(3)≤9.
13.解 f(x)-g(x)=1+logx3-2logx2=logx,
(1)当或
即1<x<时,logx<0,∴f(x)<g(x);
(2)当=1,即x=时,logx=0,即f(x)=g(x);
(3)当或
即0<x<1,或x>时,logx>0,即f(x)>g(x).
综上所述,当1<x<时,f(x)<g(x);
当x=时,f(x)=g(x);
当0<x<1,或x>时,f(x)>g(x).
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