线性代数与解析几何答案 线性代数第2版答案解析.docx
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线性代数与解析几何答案线性代数第2版答案解析
姓名学号院系级班
大连理工大学
课程名称线性代数与解析几何A卷考试形式闭卷授课院(系)数学科学学院考试日期2013年11月18日试卷共6页
标准分得分
一
二
三
四
五
六
七
八
总分
一、填空题(每小题4分,共40分)
装订线
?
11?
?
33?
T设A=1?
1,则AA=31113
?
214?
TTT3029
设a=[1,?
1,2],b=[2,1,4],则(ab)=92?
1?
4?
428
?
1
?
0
设A=?
?
0k
?
3
k1001?
0k10
0?
0?
?
则A=1?
k4k1?
设A=,AB=B+3E,则B=?
12
3
设A为三阶矩阵,将A的第1行加到第2行得到B,再对调B的2,3行得到E,则
?
100?
A=101?
010
已知a1,a2,a3为三元列向量,a1,a2,a3=1,则a1+a2,?
a3,a1+4a2=1
设A为三阶方阵,A=2,则A+2A=
32
已知在空间直角坐标系下a=2i+j?
k,b=2i+j?
3k,则a?
b=a×b=?
2i+4j.
?
120?
12?
2?
则A?
1=?
1?
11?
设A=111,
?
001?
001
8,
10.点(1,2,?
1)到平面2x+2y?
z=?
5的距离为4二、单项选择题(每小题2分,共10分)
设A为n阶方阵,则
(2)不是对称矩阵
(1)A+AT
(2)A?
AT(3)AAT(4)ATA
设A和B都是n阶方阵,下列选项正确的是(4)
(1)若A=E,则A=E或A=?
E.
(2)若A=O,则A=O.(3)(A+B)=A+2AB+B..(4)(A+E)=A+2A+E..设A和B都是n阶方阵,下列选项正确的是
(2)
(1)A+B=A+B.
(2)AB=BA.
2
2
2
2
2
22
(3)?
A=?
A.(4)
AB22
=A?
B
BA
?
?
OA?
设A和B都是n阶矩阵,A=2,B=3,则=(BO
3)
?
O3B
(1)?
(2)
O2A?
O3A
?
O2B
?
O2B?
O2A
(3)?
?
(4)
AOBO33
设A和B为矩阵,下列选项正确的是
(1)
(1)若A和B等价,且A可逆,则B也可逆.
(2)(A+B)(3)若AB可逆,则A和B都可逆.(4)(AB)三、(8分)计算行列式
?
1?
1
=A?
1+B?
=A?
1B?
1
+abbbb
babbbbbabbbbbabbb
b=(a+3b)(a?
b)2+(a+4b)(a?
b)3=(a2+3ab?
b2+a+3b)(a?
b)2ba
四、(8分)设A为n阶可逆矩阵,α为n元列向量,P=?
T?
αA
?
E
0?
,A
?
A
M=?
T
?
αα?
,
(1)计算并化简PM.
(2)证明M可逆的充要条件是αTA?
1α≠k.?
k?
?
A
解
(1)PM=?
?
0
2
?
4分
A(k?
αTA?
1α)
α
(2)PM=A(k?
αTA?
1α),P=A≠0,
M可逆?
M=A(k?
αTA?
1α)≠0?
αTA?
1α≠k.4分?
211?
?
1?
五、(9分)设A=022,B=AB+A,求B.
?
2028?
8?
8
解B=32?
2416?
1616?
8
?
x=5?
t
x?
2yz?
1?
,直线L2的方程为?
y=2t,六、(12分)已知直线L1的方程为==
112?
z=1+2t
?
(1)证明L1和L2为异面直线.
(2)求经过直线L1并平行于直线L2的平面的方程。
(1)证P1(2,0,1),P2(5,0,1),s1=[1,1,2],s2=[?
1,2,2]
T
T
300
12=?
6≠0,∴L1和L2为异面直线.6分∵(PP12,s1,s2)=1
?
122
(2)2x+4y?
3z=18分
七、(8分)设n>1,α为n元列向量,αα=1,A=ααT,证明A不可逆,A+E可逆。
(1)证法1因为A的1,2行成比例,A=0,所以A不可逆3分方法2设β与α垂直,Aβ=0,方程组Ax=0有非零解,所以A不可逆
(2)A=(αα)(αα)=α(αα)α=αα=A,A?
A=0,
2
T
T
T
T
T
T
2
(A+E)(A?
2E)=?
2E,所以A+E可逆。
3分
八、(5分)设n1,n2,n3分别为三个平面的法向量,n1+n2,n2+n3,n3不共面,证明
这三个平面相交于唯一点。
证记A=[n1,n2,n3],这三个平面的系数矩阵的行列式的转置为A,由
n1+n2,n2+n3,n3不共面可知A≠0,所以这三个平面相交于唯一点。
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