《线性代数》样卷B及答案.docx
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《线性代数》样卷B及答案
《线性代数》样卷B
、选择题(本题共10小题,每小题2分,共20分)
(从下列备选答案中选择一个正确答案)
1、排列7352164的逆序数为()
(A)11(B)12(C)13(D)14
2、若A为n阶可逆矩阵,下列各式正确的是()
(A)(2A)12A1(B)AA0
(C)(A)1
A1
A
(D)[(A
1T1T1T
)][(A)]
0
0
1
00
1
3、以初等矩阵0
1
0右乘初等矩阵
A10
0相当于对矩阵A施行初等变换为()
1
0
0
01
0
(A)r2r3
(B)C2C3
(C)r1
「3(D)G
C3
4、奇异方阵经过
(
)后,矩阵的秩有可能改变
(A)初等变换
(B)左乘初等矩阵
(C)左右冋乘初等矩阵(D)
和一个单位矩阵相加
5、如果n元齐次线性方程组Ax
0有基础解系并且基础解系含有
s(sn)个解向量,那
么矩阵A的秩为()
(A)n
(B)S
(C)nS
(D)以上答案都不正确
6、向量组
1,2,
3线性无关,2,
3,4线性相关,
则有(
)
(A)
1可由
4,2,3线性表示
(B)
2可由1,
4,3线性表示
(C)
3可由
1,2,4线性表小
(D)
4可由1,
2,3线性表示
7、以下结论正确的是()
(A)一个零向量一定线性无关;(B)—个非零向量一定线性相关;
8、n阶方阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的()
(A)充要条件(B)充分不必要条件(C)必要不充分条件(D)既不充分也不必要条件
10、下列不可对角化的矩阵是(
(A)实对称矩阵(B)有n个相异特征值的n阶方阵
(C)有n个线性无关的特征向量的n阶方阵
(D)
不足n个线性无关的特征向量的n阶方阵
(请将正确答案填入括号内)
34
23,则6A218A223A234A24=
12
21
3.设A为三阶可逆矩阵,且
A
1,则
1
3A
3
2
1
5
4、
=
1
3
1
1
2
5、矩阵
1
3
4的秩是
1
3
4
1
2
3
6、行列式
2
4
7
中兀素一2的代数余子式是
6
2
5
7、设AX0为一个4元齐次线性方程组,若1,2,3为它的一个基础解系,则秩
R(A)
9、已知x(6,4,3)T,y(1,3,2)T,贝Vx,y
三、计算题(本题共2小题,每小题6分,共12分)
四、综合应用题(
本题共4小题,
共48分)
(要求写出主要计算步骤及结果)
(要求写出主要计算步骤及结果)
1、(8分)已知向量组11,2,3,2
1,1,3,0
T
5,7,3,4,,
(1)求该向量组的秩.
(2)求该向量组的一个最大无关组
(3)将不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示
2、(8分)验证1(0,2,1)t,2(2,1,3)t,3(3,3,4)T为R3的一个基
并求1(1,2,3)t,2(2,3,1)t在这个基中的坐标。
3、(14分)设有向量组A:
a1(2,2,4)t,a2(1,2,4)T,a3(2,,3)T
及向量b(1,3,)T,问,取何值时。
(1)向量b不能由A向量组线性表示?
(2)向量b能由A向量组线性表示,且表示式唯一?
(3)向量b能由A向量组线性表示,且表示式不唯一?
4、(18分)已知二次型
22
=2x14x1x2+x24x2x3,
(2)求矩阵A的特征值.(3分)
(3)求矩阵A的特征值对应的特征向量.(6分)
(4)求正交变换xPy把二次型=2xj4x1x2+x224x2x3化为标准型.(6分)
《线性代数》样卷B答案及评分标准
、选择题(本题共10小题,每小题2分,共20分)
(2n
2)2n1
(6分)
1-5:
CBDDC6-10:
DCBAD
、填空题
(本题共
10空,每空
2分,共20分)
1
3
5
1、8
2、
03、
4
、
5、2
1
2
10
0
6、-4
7、
18、
01
09
、一1210、
—3
00
1
三、计算题(本题共2小题,每小题6分,共12分)
1、
1
2
2
L
2
2
1
2
2
L
2
1
4
2
L
2
2
0
2
0
L
0
C1Ci
解:
Dc1(2n2)
M
M
M
GA(2n2)
0
0
2
L
0
1(2n2)
1
2
2
L
4
2
i2,Ln
M
M
M
M
1
2
2
L
2
4
0
0
0
L
2
四、综合应用题(本题共4小题,共48分)(要求写出主要计算步骤及结果)
3)将不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示
1
1
5
1
0
2
2
1
7r
0
1
3
解:
A
(2分)
3
3
3
0
0
0
2
0
4
0
0
0
(1)
该向量组的秩
R(1,2,
3)
2
,(2分)
2)该向量组的一个最大无关组为1,2(2分)
(3)3
2132(
2分)
2、(8分)
验证1
(0,2,1)T,
2
(2,1,3)t,3(3,3,4)t为R3的一个基
并求1
(1,2,3)T,
2(2,
3,1)T
在这个基中的坐标。
解:
证A
(1,2,
3)B
(1,
2)
3、(14分)设有向量组A:
a,(2,2,4)t,a2(1,2,4)T,a3(2,,3)T
及向量b(1,3,)T,问,取何值时。
(1)向量b不能由A向量组线性表示?
(2)向量b能由A向量组线性表示,且表示式唯一?
(3)向量b能由A向量组线性表示,且表示式不唯一?
解:
设x1a1
X2a2
X3a3b记A
(a1,a2,a3)
X
(X1,X2,X3)T
2
1
212
12
1
(Ab)
2
2
30
32
4
(5分)
4
4
30
032
6
(1)当
3且
2
6时R(A)
2R(代b)
3,
Axb无解,即b不能由A组线性
表示。
(3分)
(2)当
4
3步
3,Ax
—时R(A)R(A,b)
b有唯解,b冃匕由A组唯表小。
(3分丿
(3)当
1
3且
6时,R(A)
R(A,b)
23,
Axb有无穷多解,b能由A表
示且不唯一。
(3分)
(1)写出二次型对应的矩阵A.(3分)
(2)求矩阵A的特征值.(3分)
2
(4)求正交变换xPy把二次型=2xj
2
4X1X2+X24X2X3化为标准型•(6分)
(3)求矩阵A的特征值对应的特征向量.(6分)
解:
(1)
A
-2
1-2
(3分)
0
-20
2
20
(2)
A
E
2
12
(1
)(
4)(
2)
0
2
故得特征值为1
2,2
1,3
4.(3分)
4
20
X
(3)当
1
2时,
由(A
2E)X
0,即
2
32
X20
0
22
X3
X
1
1
解得
X2
k12•
得特征向量
1
2(2分)
X3
2
2
1
2
0x1
当21时,由(A-E)X
0,即2
0
2x2
0
0
2
1X3
X
2
2
解得
X2
k21
得特征向量2
1
(2分)
X3
2
2
2
20
X1
当34时,由(A-4E)X
0,即
2
32
X20
0
24
X3
X
2
2
解得X2
k
3
2
得特征向量3
2
(2分)
X3
1
1
2-20
(3)特征向量
1,
2,
3两两正交,
将1,2,3单位化得Pl
132323
23P213P323(3分)
232313
于是正交变换xPyp1,p2,p3y
122
1
212y
3
221
2222
把二次型=2%4x1x2+x24x2x3化为标准型f2y-iy2
2
4y3(3分)
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- 线性代数 答案